Download
ring dan ring bagian n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Ring dan Ring Bagian PowerPoint Presentation
Download Presentation
Ring dan Ring Bagian

Ring dan Ring Bagian

326 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

Ring dan Ring Bagian

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Ring dan Ring Bagian

  2. Sistembilangan yang telahdikenalsepertibilanganbulat, bilanganrasionaldanbilangankompleksmempunyaiduaoperasi yang didefinisikanpadanyayaitupenjumlahandanpergandaan. • Di bawahoperasipergandaanhimpunanbilangan-bilangantersebutdiatasmerupakangrupabelian. • Sistemaljabardenganduaoperasisepertidiatastermasukdalamsistemaljabar yang dinamakanring.

  3. RING • Ring adalahsistemaljabar yang terdiridarihimpunananggotaAdenganduaoperasiyaitupenjumlahan (+) danpenggandaan (.) danmemenuhihukum-hukum. < A , +> grupabelianterhadapoperasipenggandaan (a) hukumtertutup : jikaa, bdalamAmakaabdalamA. (b) hukumassosiatif : (ab)c = a(bc) untuksemuaa, bdancdalamA. (c) hukumdistributifkanan : a(b + c) = ab + acuntuksemuaa, bdancdalamA. (d) hukumdistributifkiri : (a + b)c = ac + bcuntuksemuaa, bdancdalamA.

  4. Contoh XI.1 • DapatdibuktikanbahwahimpunanA yang terdiridari 2 elemenyaitu { 0, a } denganoperasi yang didefinisikandengan 0 + 0 = a + a = 0 0 + a = a + 0 = a 0 0 = 0 a = a 0 = 0 aa = a merupakan ring. Sebagaicontohnyata Z2 = { 0, 1 } denganoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 2 merupakanhimpunan yang mempunyaisifattersebut.

  5. Contoh XI.2 • DapatdibuktikanbahwahimpunanA yang terdiridari 2 elemenyaitu { 0, a } denganoperasi yang didefinisikandengan 0 + 0 = a + a = 0 0 + a = a + 0 = a 0 0 = 0 a = a 0 = aa = 0 merupakan ring. Dalamhalini, himpunanA = { 0, 2 } denganoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 4 merupakanhimpunan yang mempunyaisifattersebut.

  6. Contoh XI.3 • DapatdibuktikandenganmudahbahwahimpunanbilanganbulatZ, himpunanbilangan real R, himpunanbilanganrasionalQdanhimpunanbilangankompleksCmerupakan ring terhadapoperasipenjumlahandanperkalianaritmatika.

  7. Teorema XI.1 DiketahuiAsebarang ring dana, b, csebaranganggotaA. Sifat-sifatberikutiniberlaku : 0 . a = a . 0 = 0 (-a) b = a (-b) = - (ab) - (-b) = b (-a) (-b) = ab a(b – c) = ab – ac (a – b)c = ac – ab

  8. Dalammempelajarisebarangtipealjabarselaludigunakancara yang umumuntukpenelaahannya. • Setelahdiberikandefinisidasarcontoh-contoh yang berkenaandenganistilahbarujugaditelititentangsistembagian, sifat-sifatdasar, sistemlebihbesar yang mengandungsistembagian yang lebihkecil, hormomorfismayaitufungsiantaraduasistemsehinggamengawetkanoperasidansistemsepertiG/S yang diturunkandarisistimasalGdenganmembentukkoset. • Penelaahanselanjutnyabiasanyaditunjukkanuntuksifat-sifat yang lebihkhususdarisistemaljabartersebut.

  9. RING BAGIAN • Dalamcontohterdahulutelahdikenalbahwa ring Zterkandungdalam ring Qdan ring RterkandungdalamC. • Dalamhalinidapatdilihatbahwaoperasidari ring yang lebihkeciladalahoperasidari ring yang lebihbesardandibatasipada ring yang lebihkecil. • Sebagaicontohdalam ring Coperasipergandaandidefinisikansebagai (a + bi ) ( c + di ) = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i sedangkanoperasiitudibatasipadaRberartioperasi yang samadenganpembatasanpadaRsehinggaberbentuk ( a + 0 i ) ( c + 0 i ) dandidapat (a + 0 i ) ( c + 0 i ) = ( ac – 0 . 0 ) + ( a. 0 + 0 . c ) i = ac + 0i yang bernilaisamadenganac.

  10. Definisi XI.2 • MisalkanShimpunanbagiandariA. • HimpunanSdinamakanring bagiandariAjikamemenuhi (1) S ring (2) OperasipenjumlahandanpergandaandariSadalahoperasipenjumlahandanpergandaandariA yang dibatasipadaS. Definisitersebuttidakefisienuntukmengecekapakahsuatuhimpunanbagiandari ring Amerupakan ring bagiandariAsehinggadiperlukanteoremaberikutini.

  11. Teorema XI.2 • DiketahuiShimpunanbagiandari ring A. • HimpunanSmerupakan ring bagiandariAjikadanhanyajikaStertutupterhadappergandaandantertutupterhadappengurangan.

  12. Contoh XI.3 • HimpunanbilangangenapEmembentuk ring bagiandarihimpunanbulanganbulat Z. Bukti : • E = { 2 k | k Z } jelashimpunan yang tidakkosong. TinggaldibuktikanbahwaEtertutupterhadapoperasipergandaandanpengurangan. • Tertutupterhadapoperasipergandaan. • Hasil kali (2m)(2n) = 2(m.2n) denganm.2nbilanganbulatsehinggadenganmenggunakanhukumassosiatifpergandaanmakahasilkalinyamasihdalamE. • Tertutupterhadappengurangan. • Karena (2m)-(2n) = 2(m.2n) danm-nbilanganbulat (Z tertutupterhadapoperasipengurangan) sehinggadalam E.

  13. Contoh XI.4 • BiladidefinisikanQ(√2 ) = { a + b √2 │a, bdalamQ } makaakandibuktikanbahwaQ(√2 ) merupakan ring bagiandariR. • KarenaQhimpunan yang tidakkosongmakajelasbahwaQ(√2 ) jugahimpunan yang tidakkosong. • Terhadapoperasipergandaanbersifat • ( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2 bd ) + ( ad + bc ) √2 • danterhadapoperasipenguranganbersifat • ( a + b √2 ) – ( c + d √2 ) = ( a – c ) + ( b – d ) √2 . • Karenaac + 2bd, ad + bc, a – cdana – dtetapdalamQmakahasilpergandaandanhasilpengurangannyatetapdalamQ (√2 ). • OlehkarenaituQ(√2 ) merupakan ring bagiandariR.

  14. Contoh XI.5 • DiketahuiA ring danbanggotatertentudariA. • JikadidefinisikanCb = { xdalamA│bx = xb } makaakandibuktikanCbring bagiandariA. • HimpunanCbtidakkosongkarenabkomutatifdengandirinyasendiri. • Misalkanx, ydalamC. • Karena ( xy )b = x ( yb ) = x ( by ) = ( xb ) y = ( bx ) y = b ( xy ) danjuga • ( x – y )b = xb – yb = bx – by = b ( x – y ) • makaberartixydanx – ykomutatifdenganbsehinggamerupakananggotaC. • OlehkarenaituCbtertutupterhadapoperasipenjumlahandanoperasipergandaandanakibatnyaCbring bagiandariA.▀

  15. Soal XI.1 • ApabilaAmerupakan ring bagiandari ring B, sedangkanBmempunyaielemensatuan, apakahAjugaharusmempunyaielemensatuan? Berikancontoh. Jawab • Tidakperlu ring bagianAmempunyaielemensatuan. SebagaicontohAadalahhimpunanbilangangenap yang merupakan ring bagiandarihimpunanbilanganbulatB. HimpunanAtidakmempunyaielemensatuansedangkanelemensatuandalamBadalah 1 .

  16. Macam – macam Ring • Sepertidalamteorigrup, sifat – sifatdasardari ring dapatdigunakanuntukmengklasifikasikan ring dengantujuanuntukmembedakanantara ring – ring yang tidakisomorfisdenganmenunjukkanperbedaansifat – sifatnya. • Tujuanlainnyaadalahuntukmengurutkan ring - ring kedalamkelas - kelas yang anggotanyamempunyaisifat – sifat yang mengijinkantipetertentudarisuatumasalahdapatterselesaikan. • Sebagaicontoh, kelas ring apa yang selaludapatmencaripenyelesaianpersamaanax + b = 0 dengana, bdalamAdenganpenyelesaiannyadalamA ? • Untukkelas ring apa yang setiapanggotanyadapatdifaktorkansecaratunggal ?

  17. Definisi XI.4 • (1) Ring Adinamakanring komutatifjikaab = bauntuksemuaa, bdalamA. • (2) Ring Adinamakan ring dengananggotasatuan ( unity) jikaAmengandungidentitasterhadappergandaan. • (3) Ring Adinamakandaerah integral (integral domain) jikaA ring komutatifdengananggotasatuandantidakmempunyaipembagi nol. • (4) Ring Adinamakan field jikaA ring komutatifdansetiapangota yang tidaknolmempunyaiinvers.

  18. latihan • Himpunan { 0, 6 } tertutupdibawahoperasipergandaantetapibukan ring bagiandari Z10. • Jelaskanmengapa Z6 bukan ring bagiandariZ12 . • BuktikanbahwaZ [ √5 ] = { a + b √5 │a , bdalamZ } merupakan sub ring dariR. • BuktikanbahwaZ [√-1 ] = z [ i ] = { a + bi │a , bdalamZ } merupakan ring bagiandariC. • JikaadalamZnmakabuktikanbahwahimpunan (a) ring bagiandariZndanbukanhanyabagiansiklikdariZn. • DiketahuiA ring danbanggotatertentudariA. DidefinisikanNb= { xdalamA│xb = 0 }. BuktikanbahwaN bmerupakan ring bagiandariA. ( Nbdinamakan annihilator kiridariA ).