DSP 5 The Discrete Fourier Transform (DFT) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง

DSP 5 The Discrete Fourier Transform (DFT)การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ EEET0485 Digital Signal Processing

เป้าหมาย • นศ รู้จักความหมายของ อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Series :DFS) และผลการแปลงจากสัญญาณในโดเมนเวลา • นศ เข้าใจความสัมพันธ์ของ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Transform: DFT) และ DFS • นศ สามารถทำการแปลง DFT กับสัญญาณเชิงเวลาใดๆได้ EEET0485 Digital Signal Processing

ทำไมต้อง DFT ? หากต้องการใช้คอมพิวเตอร์หรือตัวประมวลผลมาช่วยคำนวณผลเราต้องการจำนวนลำดับที่จำกัด แต่จากเรื่องของ DTFT ซึ่งเป็นการแปลงฟูริเยร์ มีสมการเป็น สังเกตว่า n มีค่าไม่จำกัด การคำนวณการแปลงฟูริเยร์ด้วยอุปกรณ์คำนวณ จะต้องทำให้ n มีค่าจำกัดเสียก่อน EEET0485 Digital Signal Processing

อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องThe Discrete Fourier Series (DFS) ให้สัญญาณที่เป็นรายคาบ ความถี่มูลฐาน เป็น เรเดียน แสดง ได้เป็น ความถี่ฮาร์มอนิก เป็น คือ ค่าสัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง โดยที่ EEET0485 Digital Signal Processing

ก็เป็นสัญญาณรายคาบ เราแทน Analysis (DFS) equation: Synthesis (IDFS) equation: EEET0485 Digital Signal Processing

ตัวอย่าง หา DFS ของสัญญาณรายคาบ ดูจากลักษณะสัญญาณ จะได้ คาบเวลา= 4 (N=4 ) วิธีทำ k=0 k=1 k=2 k=3 EEET0485 Digital Signal Processing

ตัวอย่าง มีสัญญาณพัลส์ (pulse) เป็น รายคาบดังรูป จงหาอนุกรม DFS วิธีทำ L N dsp_5_1.eps EEET0485 Digital Signal Processing

แปลง DFT เราจะนั่งคำนวณด้วยมือก็ได้… หรือใช้ตัวช่วยจาก อนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัด จะดีกว่าไหม? ทำให้ได้ แต่เฉพาะที่ EEET0485 Digital Signal Processing

ช่วงพัลส์บวก L=5 และคาบเป็น N=20 EEET0485 Digital Signal Processing

ข้อสังเกตุ • ช่วงระยะพัลส์บวก สัมพันธ์กับ คาบเวลาและขนาดของผลการแปลง DFS ดังนี้ EEET0485 Digital Signal Processing

DFS กับ z-transform และ DTFT สำหรับสัญญาณจำนวนจำกัดใดๆ N=6 0 5 จัดให้เป็น สัญญาณที่เป็นคาบได้โดยใช้สัญญาณเฉพาะ n = 0 ถึง N-1 … และบวกรวม 0 5 EEET0485 Digital Signal Processing

DFS กับ z-transform และ DTFT (ต่อ) ความสัมพันธ์ DFS และ z-transform ความสัมพันธ์ DFS และ DTFT EEET0485 Digital Signal Processing

DFT กับ DFS • DFS เป็นการแปลงสัญญาณเชิงเวลาไม่ต่อเนื่องและเป็นคาบ ให้เป็นสัญญาณเชิงความถี่แบบไม่ต่อเนื่องและเป็นคาบ • แต่สัญญาณบางอย่างทั่วๆไป อาจจะไม่เป็นคาบก็ได้ • ในการวิเคราะห์จึงต้องตัดสัญญาณนั้นมาหนึ่งช่วงและหา DFS ของช่วงสัญญาณนั้น ซึ่งเราสมมติให้เป็นช่วงหนึ่งคาบ • และเราเรียกการแปลง DFS กับสัญญาณเพียงหนึ่งคาบนั้นว่าการแปลง DFT DFT เป็นการแปลงที่ ใช้การหา DFS ของสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ EEET0485 Digital Signal Processing

CTFT DTFT 1 คาบ DFS k 0 N-1 0 N-1 DFT k 0 N-1 0 N-1 EEET0485 Digital Signal Processing

การเพิ่มจำนวนศูนย์ (zero padding) ตัวอย่าง เป็นสัญญาณที่มีค่าเป็นหนึ่งเฉพาะย่าน นั่นคือ ตัวอย่างเมื่อเพิ่มศูนย์ 4 ตัว EEET0485 Digital Signal Processing

ผลการแปลง DTFT ของ x(n) dsp_5_6.eps EEET0485 Digital Signal Processing

หา DFT ของ x(n) k=0 k=1 k=2 k=3 EEET0485 Digital Signal Processing

N=4 dsp_5_7.eps EEET0485 Digital Signal Processing

ความละเอียด (Resolution) ของการคำนวณสเปคตรัม • การเพิ่มศูนย์ Zero padding เป็นการเติมจุดคำนวณให้มากขึ้น เพื่อช่วยในการเพิ่ม ความหนาแน่น (density)ของการแสดงสเปคตรัม • แต่ไม่ได้เป็นการเพิ่มความละเอียด (resolution)ในการวิเคราะห์สเปคตรัมต้องเพิ่มจำนวนจุด (point) ในการคำนวณ DFT ตัวอย่าง ลำดับ x(n) มีองค์ประกอบความถี่ อยู่สองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing

สำหรับสัญญาณ x(n) n=0 ถึง 9 EEET0485 Digital Signal Processing

เพิ่มศูนย์อีก 40 ตัว EEET0485 Digital Signal Processing

แม้เพิ่มศูนย์อีก 90 ตัว ก็ไม่เพิ่มความละเอียด EEET0485 Digital Signal Processing

ใช้สัญญาณ x(n) จำนวน 100 ลำดับ จะเห็นรายละเอียดของสองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing

สรุป • DFT ใช้ในการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ ด้วยตัวประมวลผล (คอมพิวเตอร์ หรือ โปรเซสเซอร์) • DFT ก็คือ DFS สำหรับสัญญาณเพียงหนึ่งคาบ • DFT (DFS) มีความเชื่อมโยงกับการแปลงแซด และ DTFT • การเพิ่มศูนย์ Zero padding เป็นการเติมจุดคำนวณให้หนาแน่นมากขึ้นแต่ไม่ช่วยเรื่องความละเอียดของสเปคตรัม EEET0485 Digital Signal Processing

DSP 5 The Discrete Fourier Transform (DFT) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง