Combinatorial Theory in Mathematics, Computer Science, and Physics

1. Combinatoire, Informatique et Physique des liens anciens et étroits Quels langages communs ? Gérard H. E. Duchamp Séminaire du Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre Jeudi neuf Mars 2006

2. Chaos Theory Continuous & Discrete Modelisation Business Banking Complex Systems Complexity Computation Techniques Decision Making Artificial Intelligence Mathematics Image Processing Computer Science Physics Mechatronics Electronics Adaptronics Abstract Applied

6. Mathématiques Informatique Physique • Non commutatif • Mots • Produits d’opérateurs • Représentations • Automates • Structures de • Transition • Champs, Flots, • Systèmes • Dynamiques • Formules, • Algèbre Universelle • Arbres avec • Opérateurs • Diagrammes • Déformations • q-analogues • Groupes quantiques C o m b i n a t o i r e

7. … des mots C o m b i n a t o i r e énumérative analytique algébrique • Langages • Théorie des codes • Automates • Structures de • transition • Grammaires • Transducteurs • Expressions • rationnelles et • algébriques • … • Polyominos • Chemins • (Dycks,…) • Configurations • q-grammaires • Séries génératrices • Fractions continues • multivariées • Polynômes • orthogonaux • … • Fractions continues • non commutatives • Représentations • des groupes et • déformations • Groupes quantiques • Foncteurs • combinatoires • Caractères • Fonctions spéciales • … Et, depuis peu

8. L a C o m b i n a t o i r e D y n a m i q u e Voir à la fin

9. 20 villes. À chaque carrefour le voyageur peut tourner à droite (D) ou à gauche (G)

10. DG3D= G2 de même … GD3G= D2 D5 = G5 = 1 DG2D= GDG de même … GD2G= DGD

11. D5 = G5 = 1 DG3D= G2 GD3G= D2 DG2D= GDG GD2G= DGD Trois questions importantes : Q1) Cette liste est-elle suffisante ? (Expérience de pensée des deux pièces) Q2) Peut-on la réduire ? (relations déduites) (voir diapo suivante) Q3) Peut-on décider de l’égalité de deux chemins ?

12. Exemple de déduction à l’aide des relations données : le voyage équatorialDG DG DG DG DG = 1

13. Ici < ac=ca > le nombre de mots par longueur est Long. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ac=ca 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 17711 acca 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

15. e

17. Exemple avec = a+ a a+ aa+ oùaa+= a+ a+ 1 a+ a a+ a a+

18. a+ a a+ a a+

19. a+ a a+ a a+

20. a+ a a+ a a+ a+aa+aa+= 1 a+a+a+aa + 3 a+a+a + 1 a+

21. Chemins de Dyck (parenthésages, arbres, physique, …) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) )

22. ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) Equation : D = vide + (D) D … on compte les «mots» avec un « x » par parenthèse et on trouve T(x)=x0 + x2 T2(x) ce qui se résout par la méthode usuelle … x2 T2 –T+1=0 Variable : T Paramètre : x

24. Changement de niveau en physique 2 1 0 Positifs = D(aD)*

26. Automates et rationalité

28. New ! C o m b i n a t o i r e D y n a m i q u e • Automates (à multiplicités et systèmes complexes) • GIS : triangulations de Delaunay et cohérence • Graphe de Young et probabilités • Structures complémentaires (monoïde, Hopf)

32. Weight 4

33. Diagrams of (total) weight 5 Weight=number of lines

34. Mathématiques Physique Conclusion Informatique • Non commutatif • Mots • Produits d’opérateurs • Représentations • Automates • Structures de • Transition • Champs, Flots, • Systèmes • Dynamiques • Formules, • Algèbre Universelle • Arbres avec • Opérateurs • Diagrammes • Déformations • q-analogues • Groupes quantiques C o m b i n a t o i r e