ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN

1. Resorte ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN kx asa F Masa m Un ejemplo de este tipo de elemento es un sensor elástico de fuerza tal como se muestra en la figura: Amortiguador x x=0

2. El sensor convierte una entrada de fuerza F en una salida de desplazamiento x. • El sistema está inicialmente en estado de reposo al tiempo t=0-, es decir velocidad inicial y la aceleración inicial . • La fuerza de entrada inicial F(0-) se equilibra por la fuerza del resorte en el desplazamiento inicial x(0-), es decir: . • Si la fuerza de entrada se incrementa repentinamente al tiempo t= 0, entonces el elemento ya no se encuentra en estado estable y su comportamiento dinámico lo describe la segunda ley de Newton: • fuerza resultante = masa x aceleración

3. Si se define: La ecuación diferencial se puede expresar en la forma estándar: Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación se tiene:

4. Como: Así, Donde: 1/k = sensibilidad K en estado estable Función transferencia para un elemento de segundo orden

5. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO • Con objeto de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento, deben utilizarse señales estándar de entrada. • Las dos señales estándar de uso común son la onda escalonada y la onda sinoidal. Respuesta escalonada de elementos de primer orden Si un elemento de primer orden esta sujeto a una señal de entrada de escalón unitario (µ(t) = 1), la transformación de Laplace de la señal de salida es: Expresando la ecuación en fracciones parciales:

6. Al utilizar la tabla de la transformada de Laplace en sentido contrario, se tiene: Respuesta del elemento de primer orden a un escalón unitario fo(t) Para t=τ, fo(t) = 0.63 Para t=2τ, fo(t) = 0.87 t/τ 12

7. Ejemplo: considere un sensor de temperatura, al inicio, la temperatura del sensor es igual a la del fluido, o sea, T(0-) = TF(0-) = 25 0C. Si de repente TF se eleva a 100 0C, entonces esto representa un cambio escalonado ∆ TF,, cuya altura es de 75 0C. El cambio correspondiente en la temperatura del sensor es: Así, al tiempo t = τ,T = 25 + 75x0.63 = 72.3 0C . Y midiendo el tiempo que tarda T en subir a 72.3 0C, puede obtenerse la constante de tiempo τ del elemento.

8. Respuesta escalonada de elementos de segundo orden Si un elemento de segundo orden, está sujeto a una señal de entrada de escalón unitario, entonces la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento es: Al expresar la ecuación en fracciones parciales, se tiene:

9. Existen tres casos por considerar: 1. Amortiguamiento excesivo o sobreamortiguado ( > 1) fo(t) ωnt Resulta aparente que la forma de la respuesta se asemeja a una de primer orden pero con un cierto retardo.

10. 2. Amortiguamiento crítico ( = 1) Al utilizar la transformada inversa de Laplace se tiene: Respuesta del elemento de segundo orden a un amortiguamiento crítico de escalón unitario cuya representación gráfica es prácticamente idéntica a la indicada en la gráfica anterior para  prácticamente 1.

11. 3. Amortiguamiento insuficiente o subamortiguado ( < 1) fo(t) ωnt

12. En la gráfica se observa el comportamiento general, según cambia el coeficiente de amortiguamiento (x ). • Las respuestas subamortiguadas son más rápidas, en su arranque a tiempo = 0, que todas las otras formas de respuesta de segundo orden. • Aún cuando la respuesta parte rápido y llega pronto a su valor final, luego sigue creciendo y oscila con una amplitud que decrece en el tiempo. • El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento.

13. Ejemplo: Considérese la respuesta escalonada de un sensor de fuerza con rigidez k= 103 Nm-1, masa m= 0.1 kg y constante de amortiguamiento λ= 10 Nsm-1. La sensibilidad de estado estable K=1/k= 10-3 mN-1, la frecuencia natural ωn= √(k/m) = 100 rad/s y el coeficiente de amortiguamiento  = λ/(2√(km)) = 0.5. Inicialmente, al tiempo t = 0-, una fuerza constante F(0-) = 10 N causa un desplazamiento sostenido de 10 mm. Supóngase que al tiempo t = 0 la fuerza se incrementa repentinamente de 10 a 12 N, o sea hay un cambio escalonado ∆F de 2 N. El cambio resultante ∆x(t) en el desplazamiento se determina utilizando: ∆x(t) = sensibilidad en estado estable x altura del escalón x respuesta fo(t) de escalón unitario

14. Respuesta a un escalón unitario para un  = 0.5 fo(t) 1 2 3 4 ωnt

15. Al final, conforme t se agranda, ∆x tiende a valer 2 mm, esto es , x se coloca en un nuevo valor estable de 12 mm. La figura anterior muestra que para  = 0.5, fo(t) tiene un valor máximo en la cresta de la primera oscilación; así, ∆x(t) tiene un valor máximo de 2.34 mm. La cresta de la primera oscilación ocurre al tiempo tP, donde ωntP = 1.8; es decir, tP = 36 ms. Con esta ecuación se puede hallar  EXCEDENTE MÁXIMO: Y luego se puede hallar ωn a partir de la medición de tP , con la siguiente ecuación: