Capítulo 34B – Reflexión y espejos II (analítico)

Objetivos: Después de completar este módulo deberá: • Definir e ilustrar los siguientes términos: imagen real y virtual, espejos convergentes y divergentes, distancia focal y amplificación. • Comprender y aplicar las convenciones de signos que se aplican a distancia focal, distancia a la imagen, altura de imagen y amplificación. • Predecir matemáticamente la naturaleza, tamaño y ubicación de la imagen formada por espejos esféricos. • Determinar matemáticamente la amplificación y/o la distancia focal de espejos esféricos.

Óptica analítica En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para describir con más precisión las imágenes especulares. Pero primero se revisarán algunos principios gráficos cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.

Objeto Imagen Distancia al objeto Distancia a la imagen = p q El espejo plano p = q La imagen es virtual Distancia al objeto: Distancia en línea recta pdesde la superficie del espejo al objeto. Distancia a la imagen: Distancia en línea recta qdesde la superficie del espejo a la imagen.

Espejo cóncavo Eje R V C Abertura lineal Centro de curvatura C Radio de curvatura R Vértice V Espejos esféricos Un espejo esférico se forma mediante las superficies interna (cóncava) o externa (convexa) de una esfera. Aquí se muestra un espejo esférico cóncavo con identificación de partes. Se muestran el eje y la abertura lineal.

Rayo paralelo incidente R qi F V C qr La distancia focal f es: Punto focal Distancia focal, f Distancia focal f de un espejo Como qi = qr, se encuentra que F está a medio camino entre Vy C; se tiene: eje f La distancia focal f es igual a la mitad del radio R

Espejo convergente Espejo divergente F C C F Convexo Cóncavo Espejos convergentes y divergentes Los espejos cóncavos y los rayos paralelos convergentes se llamarán espejos convergentes. Los espejos convexos y los rayos paralelos divergentes se llamarán espejos divergentes.

Definiciones Distancia focal: Distancia en línea recta fdesde la superficie del espejo al foco del espejo. Amplificación: Razón del tamaño de la imagen al tamaño del objeto. Imagen real: Imagen formada por rayos de luz reales que se puede proyectar en una pantalla. Imagen virtual: Imagen que parece estar en una ubicación donde no llegan rayos de luz. Espejos convergentes y divergentes: Se refiere a la reflexión de rayos paralelos desde la superficie del espejo.

Rayo 1: Un rayo paralelo al eje del espejo pasa a través del punto focal de un espejo cóncavo o parece venir desde el punto focal de un espejo convexo. Resumen de construcción de imagen: Rayo 2: Un rayo que pasa por el foco de un espejo cóncavo o procede del foco de un espejo convexo se refleja paralelo al eje del espejo. Rayo 3: Un rayo que procede de un radio siempre se refleja de vuelta a lo largo de su trayectoria original.

Rayo 2 Rayo 3 Rayo 1 Rayo 1 C F F C C Rayo 3 Espejo divergente Espejo convergente Imagen Ejemplos de construcción de imagen Los tres rayos principales para espejos convergentes (cóncavos) y divergentes (convexos). Rayo 2

Revisión de hechos de imágenes Para espejos planos, la distancia al objeto es igual a la distancia a la imagen y todas las imágenes son derechas y virtuales. Para espejos convergentes y divergentes, la distancia focal es igual a la mitad del radio. Todas las imágenes formadas en espejos convexos son derechas, virtuales y reducidas. Excepto para objetos ubicados dentro del foco (que son derechas y virtuales), todas las imágenes formadas en espejos convergentes son reales e invertidas.

Preguntas acerca de imágenes 1. ¿La imagen es derecha o invertida? 2. ¿La imagen es real o virtual? 3. ¿Es alargada, reducida o del mismo tamaño? 4. ¿Cuáles son las distancias al objeto y a la imagen, p y q? 5. ¿Cuál es la altura y’ o el tamaño de la imagen? 6. ¿Cuál es la amplificación M = y’/y de la imagen?

p R y Y’ f q Definición de símbolos Al aplicar álgebra y geometría al diagrama de trazado de rayos, como el de abajo, se puede derivar una relación para predecir la ubicación de las imágenes. Dist. a objeto p Dist. a imagen q Distancia focal f Radio R Tamaño de objeto y Tamaño de imagen y’

p R y Y’ f q Ecuación de espejo Las siguientes ecuaciones se dan sin derivación. Se aplican igualmente bien para espejos convergentes y divergentes.

Convención de signos 1. La distancia al objeto p es positiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales. 2. La distancia a la imagen q es positiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales. 3. La distancia focal f y el radio de curvatura R son positivos para espejos convergentes y negativa para espejos divergentes.

p f C F q Ejemplo 1.Un lápiz de 6 cm se coloca a 50 cm del vértice de un espejo de 40 cm de diámetro. ¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la imagen? Bosqueje la imagen burda. p = 50 cm; R = 40 cm

p f C F q Ejemplo 1 (Cont.).¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la imagen? (p = 50 cm; f = 20cm) q = +33.3 cm La imagen es real (+q), invertida, reducida y se ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).

1/x 1/x 1/x 1/x 1/x 1/x + + P q = Cómo encontrar f: P q Enter Cómo encontrar f: Trabajo con recíprocos La ecuación del espejo se puede resolver fácilmente con el botón recíproco (1/x) de la mayoría de las calculadoras: Posible secuencia para encontrar f en calculadoras lineales: Lo mismo con calculadoras con notación inversa puede ser:

Soluciones alternativas Puede ser útil resolver algebraicamente la ecuación para cada uno de los parámetros: ¡Tenga cuidado con la sustitución de los números signados!

Ejemplo 2: Una flecha se coloca a 30 cm de la superficie de una esfera pulida de 80 cm de radio. ¿Cuál es la ubicación y naturaleza de la imagen? Dibuje un bosquejo de la imagen: p = 30 cm; R = -80 cm Resuelva la ecuación del espejo para q, luego observe los signos cuidadosamente en la sustitución:

Ejemplo 2 (Cont.) Encuentre la ubicación y naturaleza de la imagen cuando p = 30 cm y q = -40 cm. q = -17.1 cm La imagen es virtual (-q), derecha y reducida. Parece estar ubicada a una distancia de 17.1 cmdetrás del espejo.

Amplificación: Obj. Obj. Img. Img. y y’ y y’ M = +2 M = -1/2 y y y’ son positivas cuando derechas; negativas invertidas. Amplificación de imágenes La amplificaciónMde una imagen es la razón del tamaño de la imagen y’ al tamaño del objeto y. q es positiva cuando real; negativa cuando virtual. M positiva cuando imagen derecha; negativa invertida.

Imagen virtual q = - 6.67 cm ¡Virtual! Y Y’ Llave p q F C Espejo convergente Amplificación: Como M = y’/yy’ = My o: y’ = +5.34 cm M = +0.667 Ejemplo 3.Una llave de 8 cm se coloca a 10 cm de un espejo divergente de f = -20 cm. ¿Cuál es la ubicación y tamaño de la imagen?

Ejemplo 4.¿Cuán cerca debe estar la cara de una niña a un espejo convergente con distancia focal de 25 cm, para que vea una imagen derecha del doble de tamaño? (M = +2) Además, Por tanto, f = -2(p - f) = -2p + 2f p = 12.5 cm f = -2p + 2f

p R y Y’ f q Resumen Las siguientes ecuaciones se aplican igualmente bien a espejos convergentes y divergentes.

1. Distancia a objeto ppositiva para objetos reales y negativa para objetos virtuales. Resumen: Convención de signos 2. Distancia a imagen qpositiva para imágenes reales y negativa para imágenes virtuales. 3. Distancia focal f y radio de curvatura Rpositivos para espejos convergentes y negativos para espejos divergentes. 4. Tamaño de imagen y’ y amplificación M de imágenes positivos para imágenes derechas y negativos para imágenes invertidas.

Amplificación: Obj. Obj. Img. Img. y y’ y y’ M = +2 M = -1/2 y y y’ positivos cuando derechos; negativos invertidos. Resumen: Amplificación La amplificaciónMde una imagen es la razón del tamaño de la imagen y’ al tamaño del objeto y. q positivo cuando real; negativo cuando virtual. M positivo cuando imagen derecha; negativo invertida.

CONCLUSIÓN: Capítulo 34BReflexión y espejos II (analítico)

Capítulo 34B – Reflexión y espejos II (analítico)