Statystyka – zadania, część 2

1. Statystyka – zadania, część 2 Dr Janusz Górczyński

2. Zadanie 1 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 tej zmiennej.

3. Zadanie 1 - rozwiązanie Korzystając z wzoru na obliczanie momentu zwykłego rzędu k mamy kolejno:

4. Zadanie 1 - interpretacja Moment zwykły rzędu 1 ma specjalne znaczenie w opisywaniu rozkładu zmiennej losowej, jest bowiem wartością oczekiwaną (średnią) tego rozkładu. W naszym przykładzie wartość oczekiwana jest równa 0, a to oznacza, że przy wielokrotnym powtarzaniu tego eksperymentu przeciętna wartość tej zmiennej będzie równa 0. Moment zwykły rzędu 2 nie ma swojej interpretacji, wykorzystamy go dalej do obliczenia momentu centralnego rzędu 2.

5. Zadanie 2 – obliczanie parametrów Dla zmiennej losowej o f.r.p przedstawionej na slajdzie 3 chcemy wyznaczyć moment centralny rzędu 2. Będziemy korzystać z wzoru na moment centralny rzędu k dla zmiennej skokowej, czyli:

6. Zadanie 2 – obliczanie parametrów cd. Po podstawieniu danych z f.r.p i wykorzystując fakt, że EX=0 mamy: Moment centralny rzędu 2 jest, podobnie jak moment zwykły rzędu 1, szczególnie ważnym parametrem. Jest on miarą zróżnicowania (dyspersji) wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

7. Zadanie 2 – interpretacja Moment centralny rzędu 2 będziemy nazywać wariancją zmiennej losowej i oznaczać D2X. Wariancja, podobnie jak wartość oczekiwana, jest liczbą mianowaną. Jej mianem jest kwadrat jednostki, w której wyrażona jest zmienna losowa. Wariancja jest zawsze nieujemna, a jej wielkość mówi o zróżnicowaniu (dyspersji, rozproszeniu) wartości zmiennej losowej wokół EX. Uzyskany w przykładzie wynik 3,4 można zinterpretować dość skromnie: wariancja tej cechy jest równa właśnie 3,4.

8. Zadanie 3 Proszę wyznaczyć momenty zwykłe rzędu 1 i 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

9. Zadanie 3 – rozwiązanie Korzystamy z wzoru na moment rzędu k zmiennej losowej ciągłej:

10. Zadanie 3 – obliczenie m1 W naszym przykładzie mamy kolejno:

11. Zadanie 3 – obliczenie m2 W naszym przykładzie mamy kolejno:

12. Zadanie 4 Proszę wyznaczyć moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

13. Zadanie 4 - rozwiązanie Będziemy korzystać z następującego wzoru na moment centralny rzędu 2 zmiennej losowej ciągłej:

14. Zadanie 4 – rozwiązanie cd Korzystając z obliczonej w zadaniu 3 wartości EX mamy kolejno:

15. Zadanie 4 – rozwiązanie cd

16. Zadanie 4 – inny sposób rozwiązania Jak widzieliśmy wyznaczanie momentów centralnych rzędu 2 z definicji może być kłopotliwe. Znacznie łatwiej jest obliczyć moment rzędu 2 ze związku, jaki zachodzi między tym momentem, a momentami zwykłymi rzędu 1 i 2: W naszym zadaniu mamy:

17. Zadanie 5 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

18. Zadanie 5 – rozwiązanie Mediana, to taka wartość Me, dla której spełnione są dwie nierówności: Sprawdźmy, czy medianą MOŻE być liczba mniejsza od zera (np. –0,1) ? Jak widzimy medianą nie może być liczba mniejsza od zera, ponieważ pierwsza nierówność nie będzie spełniona.

19. Zadanie 5 – rozwiązanie cd A może medianą jest liczba większa od 0 (np. 0,1)? Jak widzimy także nie, tym razem nie jest spełniona druga nierówność. A może medianą jest zero? Oba warunki są spełnione, tym samym Me=0.

20. Zadanie 6 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć medianę tej zmiennej.

21. Zadanie 6 – rozwiązanie W zadaniu 5 medianą była JEDNA liczba, ale nie musi tak być zawsze. W zadaniu 6 f.r.p jest takiej postaci, że medianą jest wartość –1: Medianą jest także wartość 0: Tym samym medianą jest KAŻDA liczba z przedziału domkniętego <-1; 0>.

22. Zadanie 7 Proszę wyznaczyć medianę zmiennej losowej X, której f.g.p dana jest wzorem:

23. Zadanie 7 - rozwiązanie Z definicji mediany wynika, że dla zmiennych losowych ciągłych medianą będzie taka wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta jest równa 0,5:

24. Zadanie 7 – rozwiązanie cd W naszym zadaniu mamy więc (ograniczając się do tego przedziału, gdzie fgp jest niezerowa) równanie: Całkujemy lewą stronę:

25. Zadanie 7 – rozwiązanie cd Równanie wielomianowe stopnia 3 Ma miejsce zerowe dla Me=1,5 W tym konkretnym zadaniu do tego wyniku można było dojść szybciej korzystając bezpośrednio z definicji mediany. Mediana dzieli bowiem zbiór wartości zmiennej losowej na dwie części po 50% elementów. Dla paraboli o miejscach zerowych 0 i 3 wierzchołek (oś symetrii) położony jest w punkcie 1,5, stąd Me=1,5.

26. Zadanie 8 Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką: Proszę wyznaczyć kwantyl rzędu 0,1 tej zmiennej.

27. Zadanie 8 - rozwiązanie Zgodnie z definicją kwantyli szukamy takiej wartości (oznaczmy ją symbolem kp) dla której spełnione są dwie nierówności: Zgodnie z treścią zadania parametr p jest równy 0,1 , szukamy więc liczby k0,1. F.r.p jest takiej postaci, że kwantyl ten może być gdzieś między –3, a –2.

28. Zadanie 8 – rozwiązanie cd Dla wartości –3 mamy: Dla wartości –2 mamy: Wynika z tego, że kwantylem rzędu 0,1 jest zarówno –3 jak i –2, tym samym jest nim każda liczba należąca do przedziału domkniętego <-3; -2>.

29. Kwartyle, czyli specjalne kwantyle Kwantyle rzędu 0,25 , 0,5 oraz 0,75 nazywamy kwartylami i oznaczamy odpowiednio jako Q1, Q2 i Q3. Kwartyle mają bardzo ładną interpretację dla zmiennych losowych ciągłych (gdzie są pojedynczą liczbą), dzielą bowiem zbiór wartości takiej zmiennej na ćwiartki po 25% ogółu elementów. Mediana jest niczym innym jak kwartylem Q2 Proszę wyznaczyć kwartyl Q3 dla f.r.p ze slajdu 26. Odp. Q3=1

30. Zadanie 9 • Szansa na to, że student zda egzamin ze statystyki jest równa 0,8. Na egzamin wchodzi grupa 5 studentów. Oblicz p-stwa zdarzeń: • Co najmniej jeden student zda egzamin • Egzamin zda nie mniej, jak 4 studentów. Z treści zadania wynika, że mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym (Bernouliego). P-stwo sukcesu jest równe 0,8 a niepowodzenia 1-0,8=0,2. Mamy 5-cio krotne powtórzenie eksperymentu ze zmienną zero-jedynkową, a zmienna przyjmuje 6 wartości: k=0, 1, 2, ..., 5

31. Zadanie 9 – rozwiązanie ad. a) Korzystamy z wzoru na p-stwo zdarzenia przeciwnego: A dalej z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej: Jak widać szansa na to, że ktoś zda jest b. duża!

32. Zadanie 9 – rozwiązanie ad. b) Z treści zadania wynika, że interesuje nas następująca suma p-stwieństw: Korzystając z wzoru na f.r.p zmiennej dwumianowej mamy:

33. Zadanie 10 Pewien automat produkcyjny osiąga wydajność 1000 sztuk pewnego produktu na godzinę. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu jest równe 0,002. Proszę obliczyć p-stwo tego, że automat pracuje bez wad. Z treści zadania wynika, że modelem dla liczby braków w jednostce czasu może być zmienna dwumianowa o n=1000 i p=0,002.

34. Zadanie 10 - rozwiązanie Interesujące nas p-stwo zajścia zdarzenia polegającego na tym, że liczba braków będzie równa 0, stąd szukane p-stwo możemy wyznaczyć z wzoru: Interesujące nas p-stwo możemy także wyznaczyć przyjmując dla liczby braków model Poissona, gdzie parametr =1000•0,002=2. Z wzoru na f.r.p mamy dalej: