7. Stavba l átok

1. 7. Stavba látok Stavebné časticeplynov, kvapalín a pevných látok , t.j. atómy alebo molekuly, pred- stavujú zložité systémy pohybujúcich sa elektrických nábojov. Celý kladný náboj a takmer celá hmotnosť týchto častíc sú sústredené do jadier atómov, z ktorých sa časti- ce skladajú. Kladný náboj je kompenzovaný záporným nábojom ľahkých elektrónov, ktoré sa pohybujú okolo jadier do vzdialeností až 10000-krát prevyšujúcich rozmery jadier. Elektrické pole častice látky, ktoré je superpozíciou elektrických polí produko- vaných kladnými a zápornými nábojmi, preto veľmi rýchlo klesá so vzdialenosťou od atómu, či molekuly, a vo vzdialenosti rovnej 2-3 priemerom elektrónového obalu je už prakticky nulové, a teda od tejto vzdialenosti pôsobí častica ako elektricky neut- rálny objekt. Plyny Atómy, či molekuly plynov konajú neustály chaotický pohyb, pričom sa s veľkou frekvenciou zrážajú s ostatnými časticami. Ich dráhy sú preto kľukaté čiary skladajú- ce sa z takmer rovných úsekov, po ktorých sa častica pohybuje medzi dvoma za sebou nasledujúcimi zráž- kami. Keďže dosah elektrického poľa atómov a mole- kúl je veľmi malý, prebieha elektrostatická interakcia medzi dvoma časticami plynu prakticky len počas

2. zrážok a charakterizuje ju krivka elektrostatickej potenciálnej energie . Táto krivka je superpozíciou potenciálnych energií prislúchajúcich príťažlivým (krivka 1) a odpudi- vým (krivka 2) silám. Je zrejmé, že sila v tomto prípade je definovaná ako záporne vzatá deri- vácia potenciálnej energie podľa vzdialenosti rdvoch atómov či molekúl. Definujme ďalej príťažlivé sily ako záporné a odpudivé sily ako kladné. Potom prídeme k záveru, že ak je vzdia- lenosť dvoch zrážajúcich sa atómov, či molekúl menšia ako , celkový účinok síl pôsobia- cich medzi týmito dvoma časticami je odpudivý, lebo smernica dotyčnice ku krivke ver- zus r je záporná. Ak naopak , výsled- ný silový účinok medzi časticami je príťažlivý, keďže v tejto oblasti je smernica do- tyčnice ku krivke verzus r kladná. Keď sú dve častice vo vzdialenosti , potenciálna energia ich vzájomnej interakcie nadobúda svoje minimum o hodnote . Ako vieme, v tomto bode teda pôsobí medzi zrážajúcimi sa čas- ticami nulová sila. Zrážajúce sa častice však majú určitú rýchlosť, keď sa dostanú do vzájomnej vzdialenosti , preto zotrvačnosťou môžu prekonať pôsobe-

3. nie odpudivých síl, a tak sa môžu dostať do vzájomnej vzdialenosti menšej, ako je rovnovážna vzdialenosť . Do akej vzájomnej vzdialenosti sa dve zrážajúce sa častice plynu dostanú, závisí od momentálnej konfigurácie elektrických nábojov, od toho, ako zrážka prebehne (napr. čelná alebo okrajová), ale aj od teploty plynu, t.j. od veľkosti rýchlosti zrážajúcich sa atómov, či molekúl. Ako sa ukázalo, potenciálna energia prislúchajúca príťažlivým silám môže byť dobre aproximovaná závislosťou úmernou a potenciálna energia prislúchajúca odpu- divým silám sa dá dobre popísať funkciou úmernou . Veľmi často sa tak na vy- jadrenie krivky potenciálnej energie popisujúcej vzájomnú interakciu dvoch častíc plynu používa tzv. Lennardov-Jonsonov potenciál navrhnutý Lennardom a Jonesom v roku 1924. Táto funkčná závislosť má formu (1) Výpočtom sa ľahko možno presvedčiť, že funkcia (1) nadobúda svoje minimum v bo- de .

4. Kvapaliny Na základe kriviek potenciálnej energie plynov možno vysvetliť aj súdržnosť kvapa- lín, ak predpokladáme, že stredná vzdialenosť medzi ich stavebnými časticami je pri- bližne . Na rozdiel od plynov, ktorých tepelný pohyb je daný chaotickým postup- ným pohybom a nijakým kmitavým pohybom, tepelný pohyb častíc kvapalín je daný ich kmitaním okolo ich rovnovážnych polôh, ako aj ich premiestňovaním sa do sused- ných rovnovážnych polôh. K zmene rovnovážnej polohy atómu či molekuly kvapali- ny dochádza vtedy, keď amplitúda ich kmitavého pohybu prekročí určitú kritickú hodnotu, čo sa stáva stále viac pravdepodobným pri vzrastajúcej teplote. Častica kvapaliny teda zostáva v každej rovnovážnej polohe určitý čas. Kým tento čas je pre plyny nulový, v látkach pevného skupenstva je o niekoľko rádov väčší ako v kvapalinách. Keďže stavebné častice kvapaliny zotrvávajú vo svojich rovnovážnych polohách určitý čas, je možné, že v oblastiach submikroskopických rozmerov existu- júcich len dočasne môžu vytvoriť štruktúru podobnú kryštalickej štruktúre v pevných látkach. Pevné látky Atómy, ióny, alebo molekuly pevných látok sú v celom objeme látky usporiadané do pravidelnej štruktúry, ktorú nazývame kryštalická mriežka. Túto vlastnosť nemajú ani kvapaliny, ani plyny. Príčinou pravidelného usporiadania častíc pevnej látky je nižšia teplota v porovnaní s plynmi a kvapalinami, čo eliminuje ich tepelný pohyb, a tenden-

5. cia byť v stave s minimálnou potenciálnou energiou. Častice pevných látok už len kmitajú okolo svojich rovnovážnych polôh, pričom presun do susedných rovnováž- nych polôh nastáva, ako sme už povedali, len vo veľkých časových intervaloch. Aby pevná látka ostala tuhou, nesmie byť energia kmitov jej častíc , kde je Bol- tzmannova konštanta a T je absolútna teplota látky, väčšia ako potenciálna energia ich vzájomného pôsobenia prepočítaná na jeden atóm, ión, či molekulu. Charakter krivky potenciálnej energie je podobne ako pre plyny a kvapaliny daný cha- rakterom pôsobenia príťažlivých a odpudivých síl medzi časticami pevnej látky. Pô- vod týchto síl je tiež v elektrostatickom pôsobení elektrických nábojov, ktorých sú tieto častice nositeľmi.

6. Charakter krivky potenciálnej energie pre pevnú látku je podobný ako pre plyny a kvapaliny. Vyplýva z charakteru kriviek pre príťažlivé a odpudivé sily pôsobiace me- dzi časticami pevnej látky ako funkcií medzičasticovej vzdialenosti r. Ako vidno z prvého obrázku na predchádzajúcom slide krivka odpudivých síl klesá oveľa strmšie pre vzdialenosti väčšie, ako je vzdialenosť rovnovážnych polôh , ako krivka príťažlivých síl. Preto pre vzdialenosti väčšie ako prevládne medzi dvoma časti- cami pevnej látky pôsobenie príťažlivých síl. Naopak pre vzdialenosti menšie ako je pre dané r príťažlivá sila v absolútnej hodnote menšia ako príslušná odpudi- vá sila, preto v tejto oblasti vzdialeností dvoch častíc pevnej látky prevládne pôsobe- nie odpudivých síl.Častica pevnej látky má teda vždy tendenciu vracať sa do svojej rovnovážnej polohy. Príslušná krivka potenciálnej energie má teda podobne ako v prípade plynov a kvapa- lín zápornú smernicu pre , čo odpovedá kladnej, t.j. odpudivej sile, a kladnú smernicu pre , čo odpovedá zápornej, t.j. príťažlivej sile.

7. Pružné a nepružné deformácie Pevné telesá za účinku vonkajších síl menia svoj objem, alebo tvar, alebo oboje. Ho- voríme, že sa deformujú, alebo že sú elastické. Deformácia je dokonale pružná – elastická – ak po zrušení účinku vonkajších síl nadobudne teleso svoj pôvodný objem a tvar. Dokonale nepružná – plastická – deformácia je taká deformácia, pri ktorej si teleso po zrušení účinku vonkajších síl úplne zachováva objem a tvar získaný v pro- cese deformácie. Deformácia skutočných pevných telies nikdy nie je dokonale pruž- ná, alebo dokonale nepružná. Pri malých vonkajších silách sa skutočné telesá správa- jú takmer ako dokonale pružné, t.j. po odstránení pôsobenia týchto síl nadobudnú tak- mer taký istý objem a tvar, ako mali pred deformáciou. Keď má vonkajšia sila väčšiu veľkosť ako určitá medzná hodnota, dochádza už takmer k dokonale nepružným de- formáciám, kedy sa tvar a objem deformovaného telesa po zrušení účinku vonkaj- ších síl len nepatrne zmenia, takže teleso si zachováva objem a tvar získaný deformá- ciou. Hovoríme teda o pružných a nepružných deformáciách. Pri pružných deformáciách sa častice pevnej látky vychýlia zo svojich rovnovážnych polôh, čo spôsobuje zväčšenie príťažlivých síl (napr. pri deformácii ťahom) alebo od- pudivých síl (napr. pri deformácii tlakom) medzi nimi pôsobiacich tak, aby boli v rov- nováhe s pôsobiacimi vonkajšími silami. Keďže pri veľmi malých deformáciách sú príťažlivé a odpudivé sily, ktoré nazývame aj elastické sily, približne úmerné výchyl- ke stavebných častíc látky z ich rovnovážnych polôh, je veľkosť vonkajších síl pri-

8. bližne úmerná pozorovateľnej makroskopickej deformácii telesa. Túto vlastnosť látok matematicky popisuje Hookov zákon. Ak už pružná deformácia nestačí na to, aby sa dosiahla rovnováha medzi medzičasti- covými (elastickými) a vonkajšími silami, dochádza k deformácii nepružnej. Stavebné častice látky sa po vrstvách po sebe posúvajú, hovoríme, že dochádza k tečeniu, až kým v deformovanom telese opäť nenastane rovnováha síl. Pokiaľ túto rovnováhu nemožno dosiahnuť ani pri takejto deformácii, nastane deštrukcia telesa. Medzičasticové sily v pevných látkach sprostredkovávajú veľmi silnú väzbu medzi jej stavebnými časticami, preto na ich deformáciu musí byť vynaložená pomerne veľ- ká vonkajšia sila. Napr. ak zavesíme malé auto na oceľovú tyč 1 meter dlhú s prieme- rom podstavy 1 centimeter, predĺži sa táto tyč len o 0.5 mm. Ak na túto tyč zavesíme dve autá, bude sa trvalo deformovať, a ak zavesíme na ňu tri autá, roztrhne sa. Medzi pevné látky však napr. zaraďujeme aj gumu, ktorá sa deformuje veľmi ľahko. Je to preto, lebo častice, z ktorých guma pozostáva, netvoria kryštalickú mriežku, ale sú us- poriadané do dlhých reťazcov, ktoré sú navzájom len veľmi slabo viazané. Poznáme rôzne spôsoby deformovania telies – ťahom, tlakom, šmykom, ohybom, krútením, atď. Všetky môžeme vyjadriť ako kombináciu deformácií ťahových alebo tlakových a šmykových.

9. Časticu nachádzajúcu sa v polohe B môžeme do polohy premiestniť vo dvoch krokoch: najskôr ju presunieme v horizontálnom smere a potom vo vertikálnom smere, alebo naopak. Ak horizontálne posunutie korešponduje deformácii v šmyku, verti- kálne posunutie bude predstavovať deformáciu ťa- hom, resp. tlakom, a naopak. Deformácia v ťahu a tlakom Pri týchto deformáciách pôsobí deformujúca sila kolmo na povrch telesa. Na obrázku je tyč s pôvodným prierezom S a pôvodnou dĺžkou na jednom konci upevnená. Na voľnú pod- stavu tyče pôsobí v kolmom smere sila o veľkosti F pro- dukujúca napätie, t.j. silu pôsobiacu na jednotku plochy . V dôsledku tohto napätia sa tyč predĺži na dĺžku l a, ak ide o valcovú tyč, jej priemer sa zmenší z pôvodnej hodnoty na hodnotu d. Mierou deformá- cie tyče sú potom relatívne predĺženie a relatívne priečne skrátenie . Relatívne predĺženie je dané

10. vzorcom (2) kde je predĺženie tyče. Zo vzorca (2) vyplýva, že relatívne predĺženie bude kladné pre deformácie ťahom a záporné pre deformácie tlakom. Relatívne priečne skrátenie definujeme pre valcovú tyč vzjadrením odkiaľ je evidentné, že bude kladné pre deformácie ťahom a záporné pre defor- mácie tlakom. Medzi a platí vzťah kde je Poissonova konštanta. Deformáciu v ťahu, resp. tlakom, každého materiálu možno charakterizovať závislos- ťou . Túto závislosť môžeme napr. určiť tak, že namáhame ťahom drôt vyrobený z vyšetrovaného materiálu a určujeme napätia, ktoré sú potrebné na dosiah- nutie rôznych relatívnych predĺžení. Pre štandardnú pevnú látku dostaneme zhruba

11. krivku ako na obrázku, ktorá po- zostáva z 5 oblastí: 1. Napätie sa nazýva medza úmernosti, pretože pre napätia menšie ako táto hodnota je vzťah medzi napätím a deformáciou ním spôsobenou lineárny a vyjad- ruje ho Hookov zákon (3) Veličina E vystupujúca v (3) sa volá Youngov modul pružnosti v ťahu. 2. , - medza pružnosti Pre hodnoty napätí z tohto intervalu už neplatí Hookov zákon (3), ale materiál je stále pružný, t.j. po zrušení pôsobenia vonkajšej sily takmer úplne nadobudne pôvodný tvar a objem. Táto časť krivky je rovnaká ako pre zväčšovaní napätia (ťah), tak aj pri zmenšovaní napätia (tlak). 3. , - medza klzu Nastáva trvalá (plastická) deformácia.

12. 4. , - medza pevnosti Spočiatku sa napätie pri zväčšovaní relatívneho predĺženia takmer nemení. Upozor- ňujeme však, že je určované vzhľadom na pôvodný prierez drôtu S. Keďže sa te- da rýchlo zmenšuje prierez drôtu, skutočné napätie narastá. Dochádza k hromadnému presunutiu dislokácií, čo sú poruchy v kryštálovej mriežke, a k náhlym deformáciám, ktoré nazývame tečenie. 5. Po dosiahnutí medze pevnosti sa pri ďalšom predlžovaní drôtu dramaticky zmenšuje jeho prierez, pôsobí menšia sila, takže počítané vzhľadom na počiatoč- ný prierez drôtu klesá, až napokon nastane pretrhnutie drôtu. Hysterézna slučka Predpokladajme, že pri namáhaní ťahom vyjadruje závislosť napätia od deformácie krivka OA, a že bod A odpovedá napätiu ležiacemu medzi medzou pružnosti a medzou pevnosti. Keď prestaneme pô- sobiť napr. na drôt v stave odpovedajúcemu bodu A vonkajšou silou, drôt sa začne skracovať a napä- tie v ňom bude klesať, avšak nie podľa krivky OA. Keď dosiahne napätie v drôte nulovú hodnotu, bu- de drôt vykazovať trvalú deformáciu ťahom, t.j. predĺženie . Aby sme dostali drôt na pôvod-

13. nú dĺžku, t.j. aby , musíme na drôt pôsobiť tlakom, čo je záporné napätie. Ďal- šie zväčšovanie tlaku má za následok zápornú deformáciu, t.j. skrátenie drôtu v po- rovnaní s pôvodnou dĺžkou, a keď sa tlak zmenší na nulu, drôt bude vykazovať zápor- nú deformáciu . Potom opäť pôsobíme ťahom, atď. Takýmto postupom teda dos- taneme uzavretú krivku znázorňujúcu závislosť napätia od deformácie materiálu, kto- rý už bol predtým deformovaný. Túto krivku nazývame hysterézna slučka. Jej plocha je úmerná práci vykonanej pri jednom obehu celou slučkou, t.j. pri jednom cykle. Tá- to práca sa pri tomto kruhovom deji mení na teplo. Deformácia v šmyku Ako vidno z obrázku, pri šmykovej deformácii sa jednotlivé vrstvy kryštálovej mriežky materiálu po sebe posúvajú, pričom vzdialenosť medzi vrstvami ako aj

14. vzdialenosť medzi časticami v tej istej vrstve ostávajú zachované. Keby to tak nebolo, potom by okrem deformácie v šmyku nastala aj deformácia ťahom alebo tlakom. Pri šmykovej deformácii deformujúca sila pôsobí v rovine povrchu telesa, alebo je jeho dotyčnicou. Deformujúca sila je teda v tomto prípade tangenciálna sila. Pre lepšiu názornosť uvažujme hranol s pôvodnými rozmermi a, b, c, ako ukazuje ob- rázok. Nech dolná základňa hranola je upevnená a na hornú základňu nech pôsobí tangenciálna sila o veľkosti , ktorá vyprodukuje tangenciálne napätie . Horná základňa hranola sa vzhľadom na jeho dolnú základňu posunie pod účinkom tejto sily o vzdialenosť u. Mierou deformácie je potom podiel , t.j. relatívne posunutie hornej základne hranola vzhľadom na jeho dolnú základňu. Pre malé relatívne posunutia platí Hookov zákon pre deformáciu v šmyku (4) kde sme položili , keďže je veľmi malé . Veličina G vystupujúca v (4) je modul pružnosti v šmyku.

15. Príklad metódy na určenie modulu pružnosti v šmyku Modul pružnosti v šmyku sa najčastejšie určuje z torzie tyčí alebo drôtov. Torzná de- ormácia je zložitejším prípadom deformácie šmykovej. Jednotlivé priečne vrstvy tele- sa sa krútením vzájomne natáčajú. Každá časť vzorky je namáhaná iba šmykom a pri- tom, i keď šmyk v každej časti vzorky je pomerne malý (leží hlboko pod medzou ú- • mernosti deformácie a napätia), výsledný uhol stoče- • nia vzorky môže byť veľký a teda dobre merateľný. • Obrázok ukazuje tyč v tvare valca o dĺžke L a prie- • mere , ktoráje na jednom konci upevne- • ná. Na druhý koniec tyče pôsobíme silou, ktorej • krútiaci moment vyvolá deformáciu v šmyku každé- • ho pozdĺžneho vlákna dĺžky L, ktorého prierez je • dS. Vyberme jedno pozdĺžne vlákno, ktoré je v kol- • mej vzdialenosti r od torznej osi O. Táto os je pred- • stavovaná neutrálnym vláknom, t.j. vláknom, ktoré • sa pri krútení nedeformuje.Pri natočení voľného • konca tyče vplyvom krútiaceho momentu o uhol • sa posunie voľný koniec vybraného vlákna po kružnici polomeru r o úsek . Tomuto po- sunutiu zodpovedá deformačný uhol , pre

16. ktorý platí Podľa Hookovho zákona na horný koniec sledovaného vlákna pôsobí tangenciálne napätie , kde dF je elementárna sila účinkujúca v rovine hornej podstavy tyče v mieste plôšky dS v smere kolmom na kolmú spojnicu plôšky dS (prierezu vlákna) s neutrálnym vláknom, t.j. dF má smer dotyčnice ku kružnici s po- lomerom r, po ktorej sa posunie pri deformácii horný koniec sledovaného vlákna. Tejto sile zodpovedá vzhľadom na torznú os moment sily Ako je zrejmé, elementárny moment sily dM závisí od vzdialenosti r od torznej osi. Je teda rôzny pre rôzne r. Preto, aby sme vyjadrili celkový moment torzných síl pôso- biacich v hornej podstave tyče, musíme sčítať všetky elementárne príspevky dM od všetkých pozdĺžnych vlákien s elementárnymi prierezmi dS pre celú podstavu voľné- ho konca tyče, čo je vyjadrené toutointegráciou (5) kde

17. je plošný moment zotrvačnosti prierezu tyče vzhľadom na torznú os. Pre tyč s kruho- vým prierezom postupujeme pri výpočte I tak, že plochu kruhu o priemre drozdelí- me na elementydS, ktoré v polárnych súradniciach vyjadríme takto Po dosadení tohto vyjadrenia pre dS do hornej rovnice dostaneme pre plošný moment zotrvačnosti I vzťah (6) Ako vidíme zo vzťahu (5), torzný uhol je priamo úmerný torznému momentu M. Existuje viacero metód, ako sa dá odmerať modul pružnosti v šmyku G použijúc vzťah (5). Tu uvedieme tzv. statickú metódu. Táto metóda merania modulu pružnosti v šmyku využíva torziu tenkej tyče alebo drôtu, vyrobených z materiálu, ktorého mo- dul pružnosti v šmyku chceme určiť. Nech má skúmaný materiál tvar hrubšieho drôtu kruhového prierezu. Ako ukazuje obrázok, drôt je zavesený tak, že jeho horný koniec

18. je upevnený v držiakua k jeho dolnému koncu je pripevnený kotúč s uhlovou stupnicou. Na obvode kotúča pôsobia sily kolmé na torznú os, vyvolané cez kladky tiažou závaží o hmotnostiachm1 a m2. Výsledný moment týchto síl je (m1+m2)gR, kde R je polomer kotúča. Aby nevznikla sila vychyľujúca os kotú- ča volíme závažia tak, aby m1=m2. V rovnováhe musí byť moment tiažovej si- ly produkovaný závažiami rovný mo- mentu torzných síl vystupujúcemu v rov- nici (5). Preto môžeme dosadiť do rovni- ce (5) za M vyjadrenie (m1+m2)gRa za I vyjadrenie dané vzťahom (6), takže pre modul pružnosti G dostaneme výraz

19. Deformácia všestranným tlakom Všestrannému tlaku sú podrobené pevné telesá v kvapalnom alebo plynnom prostre- dí. jeho zdrojom je fakt, že okolité prostredie pôsobí na teleso tlakovými silami kol- mými na každú plôšku jeho povrchu. Pomenovanie všestranný tlak sa vzťahuje na jeho všesmerové účinky na teleso. Vyjadruje ho rovnica kde B je koeficient všestranného tlaku, V je pôvodný objem a je zmena objemu spôsobená všestranným tlakom p. Pre koeficient všstranného tlaku možno odvodiť vzťah platiaci s dobrou presnosťou pre malé deformácie kde však Poissonova konštanta je definovaná vzťahom Pre názornosť uveďme, že pod tlakom rovným tlaku morskej vody v hĺbke 4000 m – 4x107 Nm-2 – je relatívna kompresia nejakého objemu vody 1.8%, oceľové- ho objektu len 0.025%.

20. Elastická potenciálna energia Videli sme, že deformácia pevných telies sa realizuje účinkom síl, ktorých pôsobisko sa počas ich pôsobenia na teleso posúva. Tieto sily teda vykonajú prácu, na úkor kto- rej sa zväčší potenciálna energia deformovaného telesa. Túto potenciálnu energiu na- zývame elastická potenciálna energia. Pri pružnej deformácii vráti teleso okoliu prak- ticky rovnaké množstvo energie, len čo prerušíme pôsobenie vonkajších síl. Nájdime vyjadrenie pre elastickú potenciálnu energiu pre oblasť napätí a deformácií, v ktorej je vzťah medzi týmito veličinami vyjadrený Hookovým zákonom, a uvažujme deformáciu v ťahu napr. drôtu, alebo tyče. Podľa toho, čo sme povedali, môžeme tú- to energiu vypočítať ako prácu síl, ktoré spôsobili deformáciu. Použijeme pritom Hookov zákon, ktorý je Z tejto rovnice pre silu F vyplýva Ako teda vidíme, sila F sa mení lineárne s meniacim sa , resp. l. Je teda v procese deformácie iná pre každé okamžité l, ktoré označme . Potom elementárna práca

21. vykonaná deformujúcou silou v procese deformácie pri natiahnutí tyče z určitej dĺž- ky na dĺžku je daná skalárnym súčinom (7) kde sme využili, že vektor deformujúcej sily a vektor elementárneho posunutia sú rovnobežné a rovnako orientované. Celkovú prácu pri celkovej deformácii tyče z pôvodnej dĺžky l0 na nejakú konečnú dĺžku l potom vypočítame ako súčet ele- mentárnych prác (7) korešpondujúcim všetkým posunutiam , ku ktorým dôjde pri naťahovaní tyče z l0 na l, t.j. (8) Ďalej platí na základe čoho môžeme vyjadriť elastickú potenciálnu energiu pružného drôtu ale- bo tyče v oblasti ťahových deformácií a napätí, pre ktoré platí Hookov zákon , vzťa- hom

22. V tejto rovnici je objem nedeformovaného drôtu, alebo tyče. Keď vyde- líme výraz pre týmto objemom, získame vzťah pre hustotu elastickej potenciálnej energie Keďže , a teda aj závisia od druhej mocniny relatívneho predĺženia , ma- jú tieto veličiny rovnakú hodnotu, či ide o deformáciu v ťahu alebo tlakom.