排列： b c d ，

1. 一、一般組合 1. 一般組合： 從 a,b,c,d 4本不同的書一次任取 3 本成為一組， 則取出的順序 a,b,c 與 b,a,c視為相同的組合， 即集合{a,b,c}={b,a,c}， 因為集合是不論元素順序。 組合 3! 種排列法 a bca， acb， bac， cba。 cab， 排列：abc， c b a dba。 adb， dab， 排列：abd， bad， bda， d b a 排列：acd， cad， cda， dac， dca。 adc， c d b 排列：bcd， dcb。 bdc， cbd， dbc， cdb， c d 所以，4相異物任取 3個為一組的方法數共 To be continued

2. 4相異物任取 3個為一組的方法數共 同理，n 相異物任取k個為一組的方法數共 注意： 本段結束

3. 2. 範例：一籃球隊有 12 人，求下列各方法數： (1) 選出 3 人打掃更衣室。 (2) 選一名隊長，一名副隊長，一名總務。 = 220 。 解： = 1320 。 Let’s do an exercise ! 馬上練習：由 10 名男生，5 名女生中，選出一個 5人小組， 求下列方法數：(1) 選出 3 名男生 2 名女生。 (2) 男女至少各 2 人。 Ans：(1) 1200 (2) 1650。 = 120 10 = 1200 。 解： = 120 10 + 45 10 = 1650 。 ＃

4. 3. 餘組合： 從 10本不同的書中 取出 7 本 時， 同時也會 留下 3 本 書， 即 選 7 本 與 捨棄 3 本 是同一回事， = 故 0 k n時， 例： To be continued  範例

5. 範例： (2) 已知 n 及 k 為正整數，且 n > k， n= 2 或 12。 或 4 + (n+2) = 18 解：(1) 4 = n+2 又 n 10， Let’s do an exercise !

6. 4. 範例：(1)自來水公司預計於下週一至下週日的7天中，選擇2天停水， 若要求停水2天不相連，求其方法數。 (2)兄弟兩人在排成一列的20個空位中，選坐不相鄰的兩個坐位有幾種方法? (3) 10間相連的教室，選彼此不相鄰的4間教室放置蒸飯箱，共有多少種方法? ：停水， 解：(1) 令 ○：有水， 放進(○○○○○)的 6個空隙， 停水2天不相連 (2) 兄弟坐進 18 個空位的 19 個空隙， = 19 18 = 342。 (3) 令 ○：無蒸飯箱， ：有蒸飯箱。 蒸飯箱不相連 放進(○○○○○○)的 7個空隙， Let’s do an exercise !

7. 馬上練習：一列火車從第一車到第十車共十節車廂，求下列方法數：馬上練習：一列火車從第一車到第十車共十節車廂，求下列方法數： (1) 指定其中三節車廂准許吸煙 (2) 承(1)，若可吸煙的車廂不相銜接。 (3) 承(2)，甲乙二人在可吸煙的不同車廂。 Ans：(1) 120。 (2) 56。 (3) 336 解：(1) 從 10 節中廂選出 3節的方法數 ：可吸煙， (2) 令 ○：禁煙， 放進(○○○○○○○)的 8個空隙， 吸煙不相連 = 56 6 = 336。 ＃

8. 5. 範例：若平面上有 10 個相異點，其中 4 點共線，此外， 任三點皆不共線，則：(1) 過其中至少 2 點的直線有幾條? (2) 取3點可作成三角形者有幾個? (4點共線所決定的直線) +(4點共線所在直線) 解：(1)所求=(任2點決定一直線) A4 L = 45  6+ 1 = 40。 A3 A2 (2) 所求 = (任3點決定的)  (4點共線所決定的) A1 =116。 注意：凸 n 邊形的對角線數 Let’s do an exercise !

9. 馬上練習：若平面上有15個相異點，其中 A1,A2,A3 三點共線，A4,A5,A6 三點也在過 A1 的另一直線上，其餘任三點皆不共線， 則：(1) 過其中至少2點的直線有幾條? (2) 取3點可作成三角形者有幾個? Ans：(1) 98 (2) 450。 解： L A3 A2 A1 = 1053+16+1 = 98。 A4 A5 (2)所求 = (任3點決定的)  (4點共線所決定的) A6 M = 455  14 = 450。 ＃

10. 6. 範例：如圖，每個小方格均為正方形， 求矩形與正方形各有多少個? 解：矩形： = 168 個。 正方形：11有 7  3 = 21 個。 22有 6  2 = 12 個。 33有 5  1 = 5 個。  正方形共有 21 + 12 + 5 = 38個。 Let’s do an exercise !

11. 馬上練習：右圖由三組平行線所構成， A 求平行四邊形與梯形各有多少個? Ans：平行四邊形 108 個 ， 梯方形 270 個。 B 解：平行四邊形： C = 30 + 60 + 18 = 108個。 梯形： = 120 + 90 + 60 = 270個。 ＃

12. 7. 範例：如圖，至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形共有幾個? 解：所求 = ( 含 A ) + (含 B )  ( 同時含 A 與 B ) B A = 24 + 36  8 = 52。 ＃

13. 8. 範例：從「aaabbcd」七個字母中，求依下列方式的方法數： (1) 任取三個的組合數 (2) 任取三個的排列數。 c 有 1 個 ， d 有 1 個。 b有 2 個 ， a有3 個 ， 解：字母有四類： 三同(如aaa) 二同一異(如aab) 三異(如abc) 11 個 43個 Let’s do an exercise !

14. 馬上練習：從「aaaabbbccc」十個字母中，求依下列方式的方法數：馬上練習：從「aaaabbbccc」十個字母中，求依下列方式的方法數： (1) 任取四個的組合數 (2) 任取四個的排列數。 Ans：(1) 13 (2) 79。 c 有 3 個。 a有 4 個 ， b 有 3 個 ， 解：字母有三類： 四同(如aaaa) 三同一異(如aaab) 二同二同(如aabb) 二同二異(如aabc) 13 個 79個 ＃

15. 9. 範例：從 5 對夫婦中選出 4人，求下列方法數： (1) 4人皆為相同性別。 (2) 至少有一對是夫婦。 = 5 + 5 = 10。 解： = 120+10 = 130。 注意： Let’s do an exercise !

16. 馬上練習： 6 男 4 女共 10 名學生，分別輪流擔任本週 5 天的值日生， 若每天 2 名值日生且每日至少須有 1 名男生， 求本週值日生安排的方法數。 Ans：(1) 10 (2) 130。 餘四天均為 1 男1 女， 解：五天中必有一天是 2 男， 男 男 男 男 男 女 女 女 女 男 = 43200。 ＃

17. 10. 範例：正八邊形的八個頂點，任取三個頂點， 可作下列三角形各有多少個? (1)任意三角形 (2)直角三角形 (3)鈍角三角形 (4)銳角三角形 A1 解： = 56 。 A8 A2 A7 A3 A4 A6 = 24 。 A5 A1 A8 A2 = 24。 A7 A3 (4) 所求 = 全  直角  鈍角 A4 A6 = 56  24  24 = 8。 A5 Let’s do an exercise !

18. 馬上練習：正十邊形的十個頂點，任取三個頂點，馬上練習：正十邊形的十個頂點，任取三個頂點， 可作下列三角形各有多少個? (1)任意三角形 (2)直角三角形 (3)鈍角三角形 (4)銳角三角形 A1 Ans：(1) 120 (2) 40 (3) 60 (4) 20。 A10 A2 A9 解： A3 = 120。 A4 A8 A7 A5 = 40。 A6 A1 A10 A2 A9 A3 = 60。 (4) 所求 = 全  直角  鈍角 A8 A4 = 120  40  60 = 20。 A7 A5 ＃ A6

19. 注意：若凸 n 邊形的對角線沒有三線共點，則： (1) 此凸 n 邊形的所有對角線最多 (因兩對角線交於一點) (2) 此凸 n 邊形的邊與對角線可圍出  的個數 (見附錄四) ＃

20. 12. 範例：用 1，2，3，4，5，6，7 等七個數寫出一個五位數 n， 使 n=a104+b103+c102+d10+e，其中 a, b, c, d ,e 皆相異， 且 a <b< c 且 c>d>e ，則 n共可寫出多少個? 解：先從 1~7 之中選出五個數字填入 a ~ e ， 即 c> > > > ， 而滿足 a < b <c且c> d > e， d , e由左至右填入  ， 其中 b, a 由左至右填入  ； 故所求 = 21  6 = 126種。 ＃

21. 二、分組與分堆 1. 範例：將 6 本不同的書，依下列分法，各有幾種方法? (1) 依1、2、3分成三堆。(2) 依1本給甲、2本給乙、3本給丙。 (3) 依1、2、3本隨意分給甲、乙、丙。 = 6101 = 60。 解： = 60。 = 606 = 360。 Let’s do an exercise !

22. 馬上練習：將 9 本不同的書，依下列分法，各有幾種方法? (1) 依2、3、4分成三堆。(2) 依2本給甲、3本給乙、4本給丙。 (3) 依2、3、4本隨意分給甲、乙、丙。 Ans：(1)1260 (2)1260 (3)7560。 = 36351 = 1260。 解： = 1260。 = 12606 = 7560。 ＃

23. a a c e e c c a e a a c e e a c c e f d b f d b b f d d d b b b f d f f 2. 相同數目的分堆： 將 a,b,c,d,ef六本不同的書平分成三堆(即依 2，2，2 的數目)。 對應同一種 ( a b，c d，e f ) 分堆方式。 本段結束

24. 3. 範例：將 6 本不同的書，依下列分法，各有幾種方法? (1) 平分成三堆。 (2)平分給A、B、C三人。 (3) 依4本、1本、1本分成三堆。 (4) 依4本給A、1本給B、1本給C。 (5) 依4本、1本、1本隨意分給A、B、C。 解： = 90。 = 30。 = 90。 Let’s do an exercise !

25. 馬上練習：有 6 件不同禮物分給四人，求每人至少得 1 件的方法數。 Ans：1560。 解：6 件先分數目：(3,1,1,1)、(2,2,1,1)。 = 480。 = 1080。 ＃

26. 4. 範例：(1) 將 8人平分成兩組，其中 A、B、C 三人必在同一組， 有幾種方法 ? (2) 將 9人平分成三組，其中 A、B、C 三人必不在 同一組， 有幾種方法 ? (3) 將 9 人平分成甲、乙、丙三組， 其中 A、B、C 三人必不在同一組的方法數 ? = 5。 解： = 90。 = 540。 Let’s do an exercise !

27. 馬上練習：(1) 將 10 人平分成兩組，其中 A、B、C 三人必在同一組， 有幾種方法 ? (2) 將 12 人平分成三組，其中 A、B、C 三人 必不在同一組，有幾種方法 ? (3) 將 12 人平分成甲、乙、丙三組， 其中 A、B、C 三人必不在同一組的方法數 ? Ans：(1) 21 (2) 1680 (3) 10080。 = 21。 解： = 1680。 = 10080。 ＃

28. 三、巴斯卡定理 1. 範例：從{ a, b, c, d, e, f, g, h }8個字母中，一次取出3個字母，則 (1)含 a 的有幾種組合? (2)不含 a 的有幾種組合? (3)全部有幾種組合? 解：(1) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h } 7 個字母中， 一次取出 2個的組合數 (2) 所求即為 {b , c , d , e , f , g , h} 7 個字母中， 一次取出 3個的組合數 = 21 + 35 = 56。 ＃

29. 2. 巴斯卡定理： 從 10 本中選取 7 本的 設 A為 10 本不同的書之一， 可分為兩種：A在其中與 A不在其中。 故 1 k  n 時， 例： 本段結束

30. 巴斯卡三角形： 2 錯排的方法數 = 2!1 1!2 + 0!1 係數：1，2，1 3 錯排的方法數 = 3!1  2!3 + 1!3  0!1 係數：1，3，3，1 4 錯排的方法數 = 9 = 4!1  3!4 + 2!6  1!4 + 0!1 係數：1，4， 6， 4，1 5錯排的方法數 = 44 = 5!1  4!5 + 3!10  2!10 + 1!5  0!1 係數：1，5，10，10，5，1 本段結束

31. 3. 範例： 解： Let’s do an exercise !

32. 馬上練習： 有 10 個房間，第一間有 1 人，第二間有 2 人，…， 第十間有 10 人，共 55 人，從這 55 人中任選 2 人， 此 2 人不在同一房間有幾種選法? Ans：1320。 解：所求 = 全  ( 2 人在同一間房) = 1320。 ＃

33. 4. 範例： 解： Let’s do an exercise !

34. 馬上練習：編號 3，4，…，20 的袋子中， 分別有相異球 3，4，…，20 個球，今任選一袋， 且從 k 號袋中取 k1 個球，k = 3，4，…，20， 問共有幾種取法? Ans：207。 解： = 207。 ＃

35. 1 . 重複組合 從 a、b、c，3 類取 2 個(不重複)有 3 種：ab、bc、ac， 從 a、b、c，3 類取 2 個(可重複)有 6 種：ab、bc、ac、aa、bb、cc， 令 x1、x2、x3分別表 a、b、c 的個數，則： x1+ x2+ x3= 2 的非負整數解如下： ab1 1 0 bc 0 11 ac 1 0 1 共 6 種，即 x1+ x2 + x3 = 2 的 aa2 0 0 bb 0 2 0 cc 0 0 2 To be continued：非負整數解求法。 即為 x1 + x2 + x3= 2 的非負整數解個數。 3 類取 2 個的 即為 x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數。 同理，3 類取 5 個的

36. 2. 非負整數解： 方程式 x1+x2+x3=5 的非負整數解 ( 0 或正整數 )， 可表成 5 個「」與 2 個「+」的排列，如下所示： 分堆 ++ ++ ++ 3種排列 5 (0, 5, 0) (5, 0 ,0) (0, 0, 5) 0 0 ++ ++ ++ 6種排列 4 (4, 0, 1) (1, 4, 0) (4, 1, 0) 1 0 … ++ ++ ++ (0, 1, 4) (1, 0, 4) (0, 4, 1) 而「++」 To be continued：「++」之 21 種排列

37. 分堆 ++ ++ ++ 3種排列 5 (0, 5, 0) (5, 0 ,0) (0, 0, 5) 0 0 ++ ++ ++ 6種排列 4 (4, 0, 1) (1, 4, 0) (4, 1, 0) 1 0 ++ ++ ++ (0, 1, 4) (1, 0, 4) (0, 4, 1) ++ ++ ++ 6種排列 3 (3, 2, 0) (2, 3, 0) (3, 0, 2) 2 0 ++ ++ ++ (2, 0, 3) (0, 2, 3) (0, 3, 2) 3種排列 ++ ++ ++ 3 1 1 (1, 3, 1) (3, 1, 1) (1, 1, 3) ++ ++ ++ 3種排列 2 (2, 1, 2) (2, 2, 1) 2 1 (1, 2, 2) To be continued

38. 由上可知： x1 + x2 + x3 = 5 的非負整數解個數 即為「++」的排列數 其中，xn 的個數n = 3， 「 」的個數 = 5， = 31 = 2。 而「+」的個數 = 「xn 的個數」1 同理， x1 + x2 + x3 + x4 = 7 的非負整數解個數 即為「+++」排列數 x1+x2+…+xn = k 的非負整數解個數 即為 k 個「」與 n1個「+」排列數 通常我們將 x1+x2+x3=5 的非負整數解個數 To be continued  符號練習 x1+x2+x3+x4= 7 的非負整數解個數 x1+x2+…+xn= k 的非負整數解個數

39. 符號練習： (1) x1+x2+x3+x4= 7 的非負整數解個數 (2) x1+x2+x3= 5 的非負整數解個數 (3) x1+x2+x3+x4= 2 的非負整數解個數 (4) x1+x2+x3+x4+x5= 2 的非負整數解個數 (5) x1+x2+x3+x4= 4 的非負整數解個數 本段結束

40. 3. 範例：(1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。 (2) 某茶飲店賣：紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶， 求外帶三杯的選法有幾種? (3) 將 5 個蘋果，分給 3 個人，有幾種方法? (4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果? 解： (2) 所求為從4種茶，取 3杯 即 x1 + x2 + x3 + x4 = 3的非負整數解個數 (其中 x1：紅茶杯數， x2：綠茶杯數，x3：青茶杯數， x4：烏龍茶杯數) 例：(2 , 1 , 0 , 0) 紅茶 2 杯 ， 綠茶 1 杯 。 To be continued  (3) (4 )

41. (1) 求 x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 3 的非負整數解個數。 (2) 某茶飲店賣：紅茶、綠茶、青茶、烏龍茶， 求外帶三杯的選法有幾種? (3) 將 5 個蘋果，分給 3 個人，有幾種方法? (4) 同時擲 2 粒相同的骰子有幾種可能的結果? 解： (2) 所求為從 4種茶，取 3杯 (3) 所求為從 3人身上，取出 5個蘋果 (4) 所求為從 6種點數，取 2次的方法數， 即 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6= 2的非負整數解個數 (例：x1 表 1點出現的次數) 注意：n類取 k個的 Let’s do an exercise ! 根據題意必可表成 x1 + x2 + … + xn = k 。

42. 馬上練習：(1) 同時擲 4 粒相同的骰子有幾種可能的結果? (2) 將 7 個梨，分給 3 個人，有幾種方法? (3) 候選人4 名，選舉人18 名，求無記名投票有幾種結果? (4) 有 5人猜拳(只出剪刀、石頭、布)，會出現幾種結果? Ans：(1) 126 (2) 36 (3) 1330 (4) 21。 解：(1) 6 種點數，取 4 次 (2) 3 個人身上，取出 7 個梨 (3) 4 種選票，取 18 張 (4) 3 種拳，取 5 次 ＃

43. 4. 範例：(1) 將 5 顆不同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法? (2) 將 5 顆相同的球放入 3 個不同的箱子，有幾種放法? (3) 將 5 顆相同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法? (4) 將 5 顆不同的球放入 3 個相同的箱子，有幾種放法? 解：(1) 3  3  3  3  3 = 243種。 (3) 即 5個分三堆， (2, 2, 1)， 共 5種。 (3, 1, 1)、 (3, 2, 0)、 (4, 1, 0)、 有 (5, 0, 0)、 (4) 依 (5, 0, 0)、(4, 1, 0)、(3, 2, 0)、(3, 1, 1)、(2, 2, 1)數目分堆 = 41種。 ＃

44. 馬上練習：(1) 將 6 件相同物，放入 3 個相同的箱子，有幾種放法? (2) 將 6 件相同物，放入 3 個相異的箱子，有幾種放法? (3) 將 6 件相異物，放入 3 個相異的箱子，有幾種放法? (4) 將 6 件相異物，放入 3 個相同的箱子，有幾種放法? Ans：(1) 7 (2) 28 (3) 729 (4) 122。 (4, 2, 0)、 有 (6, 0 ,0)、 (5, 1, 0)、 解：(1) 即 6 個分三堆， (2, 2, 2)， 共 7 種。 (3, 2, 1)、 (3, 3, 0)、 (4, 1, 1)、 (3) 所求 = 333333 = 36 = 729。 (4) 依 (6, 0, 0)、(5, 1, 0)、(4, 2, 0)、(4, 1, 1)、 (3, 3, 0)、(3, 2, 1)、(2, 2, 2)數目分堆 = 122 種。 ＃

45. 5. 非負整數解與正整數解： (1) 從 n 類不同物品中，取出 k 件的重複組合數 方程式 x1 + x2 + … + xn= k 的「非負整數解」的個數 將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數 To be continued  正整數解。

46. x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解如下： ( 3 , 1 , 1 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 2 , 0 , 0 ) ( 1 , 3 , 1 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 2 , 0 ) ( 1 , 1 , 3 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 0 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 1 , 0 ) ( 2 , 1 , 2 )  ( 1 , 1 , 1 ) + ( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , 2 , 2 ) ( 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 1 , 1 ) 正整數解 非負整數解 x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數， 等於 x1 + x2 + x3 = 2 的非負整數解個數。 x1 + x2 + x3 = 5 的正整數解個數 同理，x1 + x2 + x3 + x4 + x5= 7 的正整數解個數 To be continued  非負整數解 & 正整數解

47. (1) 從 n 類不同物品中，取出 k 件的重複組合數 方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「非負整數解」的個數 將 k 件相同物品分給 n 個人的方法數 (2) 從 n 類不同物品中，取出 k 件， 每類至少取一件的重複組合數 方程式 x1 + x2 + … + xn = k 的「正整數解」的個數 將 k件相同物分給 n 個人(nk)， 每個人至少得一件的方法數 本段結束

48. 6. 範例：將 4 個梨，5 個蘋果，分給 3 個人，依下列情形， 方法各有幾個? (1) 每人所得不限。 (2) 每人至少1個梨。 (3) 每人至少1個梨或蘋果。 解：(1) 梨的分法有 蘋果的分法有 (2) 每人先得 1 個梨，剩下的 1 個梨的分法有 (3) 所求 = 全  ( 有人沒得 ) = 全  + (甲乙丙均沒) (甲沒+乙沒+丙沒)  (甲乙均沒+乙丙均沒+甲丙均沒) + 0 = 315  (90  3 + 0 ) = 228。 ＃

49. 馬上練習：將 7 個梨，8 個蘋果，分給 3 個人，依下列情形， 方法各有幾個? (1) 每人所得不限 (2)每人至少 1 個梨 (3) 每人至少 1 個水果 ( 1 梨或 1 蘋果)。 Ans：(1) 1620 (2) 675 (3) 1407。 解：(1) 梨的分法有 蘋果的分法有 (2) 每人先得 1 個梨，剩下的 4 個梨的分法有 (3) 所求 = 全  ( 有人沒得 ) = 全  + (甲乙丙均沒) (甲沒+乙沒+丙沒)  (甲乙均沒+乙丙均沒+甲丙均沒) + 0 = 1620  (216  3 + 0 ) = 1407。 ＃

50. 7. 範例：方程式 x+y+z=16，求下列解的個數： (1) 非負整數 (2) 正整數 (3) x>2，y1，z3 的整數解。 解： y=y1+1， z=z1+3， (3) 令x=x1+3， 則 x + y + z = 16 的所求整數解， 即為 (x1+3) + (y1+1) + (z1+3) = 16 的非負整數解， x1+ y1+ z1= 9， Let’s do an exercise !