Stereometrie Kolmost přímek a rovin VY_32_INOVACE_M3r0115 Mgr. Jakub Němec
Kolmost přímky a roviny • Kolmost přímky a roviny je důležitá vlastnost pro hledání vzdálenosti bodu a roviny. • Na začátek je důležité si uvědomit, že dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90°. • Této vlastnosti využijeme k definování kolmosti přímky a roviny: • Přímka a rovina jsou k sobě kolmé v případě, že je přímka kolmá ke všem přímkám roviny. • Díky definici můžeme uvést také tzv. kritérium kolmosti přímky a roviny: • Je–li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k rovině kolmá.
Přímka p je kolmá k rovině. Protíná rovinu v bodě S, který je zároveň patou kolmice, můžeme najít nekonečně mnoho kolmic, které leží v rovině. Namátkou jsou vybrány např. přímky a, b, c.
Věty o kolmosti přímky a roviny • Na základě definice, kritéria kolmosti přímky a roviny a již známých informací z předchozích lekcí můžeme vyslovit dvě věty, které se týkají této problematiky: • Daný bod určuje pouze jednu přímku, která je kolmá k dané rovině. • Daným bod určuje pouze jednu rovinu, která je kolmá k dané přímce. • Díky výše uvedeným znalostem jsme schopni řešit úlohy v praxi.
V krychli ABCDEFGH zjistěte, zda je přímka CE kolmá k rovině BDG.
Naším úkolem je najít dvě různoběžky roviny BDG, které budou kolmé k přímce CE. To je minimální požadavek na kolmost roviny a přímky. Začneme s přímkou BD. Na přímku BD je kolmá přímka AC i AE (rovnoběžka červeně). Tyto dvě kolmice určují rovinu ACE, v níž leží i naše přímka CE. To znamená, že přímka CE musí být kolmá k přímce BD.
Přímka BG je naše druhá přímka (to samé lze provést i s přímkou DG). K přímce BG je kolmá přímka CD (kolmá je také rovnoběžná přímka červenou barvou) a přímka CF. Tyto dvě přímky určují rovinu CDF, v níž leží také přímka CE. To znamená, že přímka CE je kolmá k přímce BG.
V předchozích dvou krocích jsme našli dvě různoběžné přímky roviny BDG, které jsou kolmé k přímce CE. Tím jsme dokázali, že přímka CE je kolmá k rovině BDG.
V krychli ABCDEFGH urči přímku jdoucí vrcholem E, která je kolmá k rovině AFH.
Naším úkolem při hledání přímky, která je kolmá k naší rovině, je najít pomocné roviny, které budou kolmé na libovolné přímky roviny a budou procházet bodem E (přímka a bod jednoznačně určují libovolnou rovinu). Zvolme si např. přímku AH ze zadané roviny. K té jednoduše nalezneme dvě kolmé přímky, z nichž jedna prochází bodem E. Máme nalezenu rovinu.
Obdobně nalezneme kolmou rovinu k přímce AF. Červená přímka je záměrně nepřesně vyznačena, aby nebyla v zákrytu za přímkou AF.
Průsečnice CE nalezených rovin BCE a CDE musí být kolmá k rovině AFH, protože je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny AFH.
Nám již známým postupem jsme schopni přesně určit bod, v němž přímka rovinu protíná. U průsečíku po našem nalezení kolmé přímky můžeme směle vyznačit pravý úhel.
Kolmost rovin • Vzhledem k tomu, že víme, že rovinu určují dvě přímky a že přímka je kolmá k rovině, pokud v rovině nalezneme dvě různoběžné kolmé přímky, můžeme definovat situaci pro kolmost dvou rovin: • Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině.
Jak lze vidět na obrázku, můžeme najít vždy alespoň jednu přímku, která je kolmá k další rovině. Tyto roviny jsou proto navzájem kolmé.
Úkol závěrem • 1) V krychli ABCDEFGH dokaž kolmost přímek • a) EF a HM, kde bod M je střed hrany AE • b) AL a BK, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a CD. • 2) V krychli ABCDEFGH dokaž kolmost přímky a roviny: • a) FH a ACG • b) LM a ACH, kde body L a M jsou po řadě středy hran CD a AE.
Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.
