TEOREMA LUI PITAGORA

1. b c a TEOREMA LUI PITAGORA

2. catetă b catetă c a Ipotenuză Teorema lui Pitagora Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană. Teorema lui Pitagora afirmă că: "într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei". Completaţi textul: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul …………..este egal cu ………… pătratelor …………………. Demonstraţie intuitivă

3. Demonstraţie matematică: A • Fie triunghiul dreptunghic ABC, m(‹A)=90°. Construim perpendiculara din A pe latura opusă BC şi fie D piciorul acestei perpendiculare. Triunghiul ABC fiind dreptunghic putem aplica teorema catetei, de două ori, pentru fiecare din catetele sale. • Pentru cateta AC, obţinem: AC²=CD·CB (1) Pentru cateta AB, obţinem: D B C AB2=DB·BC (2) Adunând relaţiile (1) şi (2) obţinem: AC²+AB²=CD·CB+DB·BC AC² +AB²=BC·(CD+DB) AC²+AB²=BC²(q.e.d) Alta demonstraţie

4. Probleme 1.Fie triunghi ABC dreptunghic în A: a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4cm, respectiv 3cm, determinaţi lungimea ipotenuzei BC. b) Dacă cateta AC=6cm, iar ipotenuza BC= 10cm, determinaţi lungimea catetei AB. Rezolvare Obs: teorema lui Pitagora poate fi folosită şi pentru determinarea lungimii unei catete: Pătratul lungimii unei catete este egal cu diferenţa dintre pătratul lungimii ipotenuzei şi pătratul lungimii celeilalte catete.

5. Probleme 2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei, a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei Rezolvare

6. catetă b catetă c a Ipotenuză Test Numai dreptunghic daca este Un biet triunghi, nu e poveste,Ci-n totdeauna este adevarat:Ipotenuza la patratEgala este, neaparat,Cu o cateta la patrat Ce adunata trebuie-ndatCu cealalalta la patrat. Ştiaţi că:

7. Rezolvare problema 1 a)

8. b)

9. Rezolvare problema 2 • În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC² =AB² +AC² • Înlocuim: 62 = AB² +32 AB² = 36-9 AB² = 25 cm, de unde AB= 5cm. • În triunghiul dreptunghic ADB: AB=2·AD AD=2,5cm.

10. Test Scrieţi Teorema lui Pitagora pentru toate triunghiurile dreptunghice din figura alăturată. Scrieţi în casetele de dialog răspunsul corect.

11. PITAGORA Pitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematiciangrec, originar din insula Samos, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. Ne-a lăsat moştenire: sistemul zecimal, tabla înmulţirii şi faimoasa teoremă care i-a fixat numele în nemurire. Teorema era cunoscută de babilonieni cu un mileniu înainte de Pitagora , demonstrată de el şi redemonstrată ulterior de 370 de ori. După ce a demonstrat teorema, de bucurie, Pitagora a mers la ocolul vitelor şi a sacrificat o sută de boi graşi. Pe aceştia i-a sacrificat şi i-a jertfit zeilor, ca mulţumire pentru faptul că i-au inspirat faimoasa teoremă. Până noaptea târziu, Pitagora a şezut împreună cu prietenele sale triunghiurile, iar ele l-au glorificat şi i-au cântat: „Pitagora ne-a dat teorema Vitele-o ştiu pe propria piele, Învaţ-o degrabă de teamă Să n-ajungi să fii printre ele!” Legenda spune că la şcoala care îi purta numele, Pitagora a introdus un sistem de recompense: pentru fiecare teoremă demonstrată, un student primea o monedă de aur. Unul din elevii săi silitori, după ce a acumulat o sumă oarecare s-a îndrăgostit de geometrie şi-i cerea lui Pitagora noi şi noi teoreme pentru as le demonstra. Pitagora a fost de acord, dar i-a cerut el studentului câte o monedă pentru fiecare nouă teoremă prezentată. Şi nu după multă vreme monedele s-au întors la Pitagora.

12. Ştiaţi că: • Egiptenii realizau unghiuri drepte cu ajutorul funiei cu 12 noduri! Echidistant dispuse pe o funie cele 12 noduri permiteau transformarea funiei cu ajutorul unor ţăruşi într-un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4, 5. Se utiliza astfel reciproca teoremei lui Pitagora.

13. se duce înălţimea din vârful unghiului drept al triunghiului dreptunghic: Pe fiecare catetă se construiesc pătrate şi se colorează în culori diferite Apoi se construieste un pătrat pe ipotenuză se colorează dreptunghiurile formate

14. Demonstraţie

15. Demonstraţie intuitivă Fig. 1 Fig. 2 În fig 2 sunt reprezentate patru triunghiuri dreptunghice congruente, cu catetele a şi b şi ipotenuza c. Aceste triunghiuri sunt amplasate astfel încât conturul lor superior să formeze un pătrat cu latura a+b, iar conturul interior – un pătrat cu latura c (laturile acestui pătrat sunt ipotenuzele triunghiurilor). Reorganizăm , ca un puzzel, triunghiurile si se formează fig. 1: Dacă pătratul cu latura c îl decupăm, iar cele 4 triunghiuri le grupăm în 2 dreptunghiuri (Fig. 1), vedem că locul rămas liber este egal cu a ² +b². Însă, mai devreme am spus că această suprafaţă este egală cu c ². Deci, a ² +b ² =c ². Teorema a fost demonstrată

16. Teorema catetei Teorema catetei: Într-un triunghidreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei ipotenuzei şi a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuză.