880 likes | 1.84k Vues
PERMUTASI dan KOMBINASI. Betha Nurina Sari,S.Kom. Kaleng 1. Kaleng 2. Kaleng 3. sama. sama. sama. Kelereng. 3 cara. m. h. Kaleng. 1. 2. 3. Ilustrasi.
E N D
PERMUTASI danKOMBINASI Betha Nurina Sari,S.Kom
Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3 sama sama sama Kelereng 3 cara m h Kaleng 1 2 3 Ilustrasi Misalada 2 buahkelereng yang berbedawarna : merah (m) danhijau (h). Kemudiandimasukkankedalam 3 buahkaleng, masing-masingkaleng 1 buahkelereng.
Ilustrasi (Cont.) Jumlahcaramemasukkan kelerengkedalamkaleng
Definisi • Kombinasirelemendarinelemenadalah : • jumlahpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen • Kombinasimerupakanbentukkhususdaripermutasi • Perbedaanpermutasidengankombinasi : • Permutasi : urutankemunculandiperhitungkan • Kombinasi : urutankemunculandiabaikan
Definisi • Jumlahpemilihan yang tidakterurutdarirelemen yang diambildarin elemendisebutdengankombinasi-r: • C(n,r) dibaca “n diambil r” r objekdiambildari n buahobjek
Interpretasi Kombinasi • Persoalankombinasisamadenganmenghitungbanyaknyahimpunanbagian yang terdiridarirelemen yang dapatdibentukdarihimpunandengann elemen. Duaataulebihelemen-elemen yang samadianggapsebagaihimpunan yang samameskipunurutanelemen-elemennyaberbeda Contoh : Misal A = {1,2,3} Jumlahhimpunanbagiandengan 2 elemen yang dibentukdarihimpunan A : {1,2} = {2,1} {1,3} = {3,1} 3 buah {2,3} = {3,2}
Interpretasi Kombinasi (Cont.) • Persoalankombinasidapatdipandangsebagaicaramemilihrbuahelemendarinbuahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting Contoh :Misalsebuahkelompokmemiliki 20 oranganggota, kemudiandipilih 5 orangsebagaidelegasi, dimanadelegasimerupakankelompok yang tidakterurut (artinyasetiapanggotadidalamdelegasikedudukannyasama). Sehinggabanyaknyacaramemilihanggotadelegasiyang terdiridari 5 anggotadelegasiyang terdiridari 5 oranganggotaadalah :
Contoh 1 • Adaberapacaradapatmemilih 3 dari 4 elemenhimpunan A = {a,b,c,d} ?
Solusi • Merupakanpersoalankombinasikarenaurutankemunculanketigaelementersebuttidakpenting {a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d} Sehingga :
Contoh 2 • Berapacaramenyusun menu nasigoreng 3 kali semingguuntuksarapanpagi ?
Solusi • Diketahui: • Nasigoreng = r = 3 kali • Haridalam 1 minggu = n = 7 hari Maka :
Contoh 3 • Sebuahkarakterdalamsistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0) • Berapabanyakpola bit yang terbentuk ? • Berapabanyakpola bit yang mempunyai 3 bit 1 ? • Berapabanyakpola bit yang mempunyai bit 1 sejumlahgenap ?
Solusi • 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) • 1 bit terdiridari “1” atau “0” • Maka : • Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0 Posisi 0 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) : Posisi 7 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) Semuaposisiharusdiisisehinggajumlahpola bit yang terbentuk : (2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28 b) Banyaknyapola bit yang mempunyai 3 bit 1 :
c) Banyaknyapola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0) Banyaknyapola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2) Banyaknyapola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4) Banyaknyapola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6) Banyaknyapola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8) Sehinggabanyaknyapola bit yang mempunyai bit 1 sejumlahgenap : C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128
Contoh 4 • Sebuahkelompok belajar beranggotakan7 priadan 5 wanita. Berapabanyakcaramemilihdelegasiyang terdiridari 4 orangdenganjumlahprialebihbanyakdaripadajumlahwanita ?
Solusi • Pria = 7 orang • Wanita = 5 orang • delegasi= 4 orang, jumlahprialebihbanyakdaripadajumlahwanita • Maka : • delegasiterdiridari 4 orangpriadan 0 orangwanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 • delegasiterdiridari 3 orangpriadan 1 orangwanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175 • Sehinggajumlahcarapembentukandelegasiseluruhnya : C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara
Contoh 5 • Sebuahrumahrawat inappasien ada3 buahkamar A, B dan C. Tiapkamardapatmenampung 3 atau 4 orang. Berapajumlahcarapengisiankamaruntuk 10 orang ?
Diketahui : • Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) • Penghuni = n = 10 orang • Misalkan : • Masing-masingkamardihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlahcara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3) • Masing-masingkamardihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlahcara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4) • Masing-masingkamardihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlahcara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3) • Sehingga total jumlahcarapengisiankamar : C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600 atau C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600
PermutasidanKombinasiBentukUmum • Misalnbuah bola tidakseluruhnyaberbedawarna(beberapabola yang warnanyasama) n1 bola diantaranyaberwarna 1 n2 bola diantaranyaberwarna 2 … nk bola diantaranyaberwarna k Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebutdimasukkankedalamnbuahkotak, masing-masingkotakberisi paling banyak 1 buah bola. Berapabanyakjumlahcarapengaturannbuah bola kedalamkotak-kotaktersebut ?
Jikanbuah bola dianggapberbedasemua, makajumlahcarapengaturannbuah bola kedalamnbuahkotakadalah : P(n,n) = n ! • Karenatidakseluruh bola berbedamakapengaturannbuah bola : n1! caramemasukkan bola berwarna 1 n2! caramemasukkan bola berwarna 2 … nk! caramemasukkan bola berwarna k • Sehinggapermutasinbuah bola dikenaldenganpermutasibentukumum:
Mula-mulamenempatkan bola-bola berwarna 1 kedalamnbuahkotak ada C(n,n) cara n1buah bola berwarna 1 • Bola berkurang n1sehinggasisa n - n1kotak ada C(n-n1, n2) carabuah bola berwarna 2 • Bola berkurang (n1 + n2 )sehinggasisa n - n1- n2 kotak ada C(n-n1- n2, n3) carabuah bola berwarna 3 • Dan seterusnyasampai bola berwarna k ditempatkandalamkotak • Sehinggajumlahcarapengaturanseluruh bola kedalamkotakdikenaldengankombinasibentukumumadalah :
Jika S adalahhimpunangandadengannbuahobjek yang didalamnyaterdiridarikjenisobjekberbedadantiapobjekmemilikimultiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlahobjekseluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) makajumlahcaramenyusunseluruhobjekadalah :
Contoh 6 • Berapabanyakstring yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMISSISSIPPI ?
Solusi • S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I} Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah Sehinggan = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlahelemenhimpunan S • Ada 2 cara : • Permutasi : Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah • Kombinasi : Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah
Contoh 7 • Ada 12 lembarkartonakandiwarnaisehinggaada 3 diantaranyaberwarnamerah, 2 berwarnajingga, 2 berwarnaungudansisanyaberwarnacoklat. Berapajumlahcarapewarnaan ?
Solusi • Diketahui : n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2 n4 = 5 • Jumlahcarapewarnaan : n = 12
Kombinasi Pengulangan • Misalkanterdapat r buah bola yang semuawarnanyasamadan n buahkotak • Jikamasing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah : C(n,r) • Jikamasing-masingkotakbolehlebihdari 1 buah bola, makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah : C(n+r-1, r) • C(n+r-1, r) adalahmembolehkanadanyapengulanganelemen n buahobjekakandiambil r buahobjekdenganpengulangandiperbolehkan
Contoh 8 • Ada 20 buahapeldan 15 buahjerukdibagikankepada 5 oranganak, tiapanakbolehmendapatlebihdari 1 buahapelataujeruk, atautidaksamasekali. Berapajumlahcarapembagian yang dapatdilakukan ?
Solusi • Diketahui : n = 5 oranganak r1 = 20 buah apel r1 = 15 buah jeruk • 20 buahapeldibagikankepada 5 oranganak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20) • 15 buahjerukdibagikankepada 5 oranganak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15) • Jikasetiapanakbolehmendapatapeldanjerukmakajumlahcarapembagiankeduabuahtersebutadalah : C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41.186.376 cara
Contoh 9 • Tokoroti “Lezat” menjual 8 macamroti. Berapajumlahcaramengambil 1 lusinroti ? (1 lusin = 12 buah)
Solusi • Diketahui : n = 8 macamroti r = 1 lusin = 12 buahroti • Misalkanmacam-macamrotidianalogikansebagaikotak. Setiapkotakmungkinberisilebihdari 1 buahroti. • Sehinggajumlahcaramemilih 1 lusinroti (samadenganjumlahcaramemasukkan 1 lusinrotikedalam 8 macamroti) yaitu : C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)
Contoh 10 • Ada 3 buahdadudilemparsecarabersama-sama. Berapabanyaknyahasilberbeda yang mungkinterjadi ?
Solusi • Diketahui : n = 6 6 buahmatadadu r = 3 3 dadudilemparkanbersamaan • Sehinggabanyaknyahasilberbeda yang mungkinterjadiadalah : C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3) = C(8,3) = 56 cara
Latihan • Ada 6 orangmahasiswajurusanTeknikInformatikadan 8 orangmahasiswajurusanTeknikElektro. Berapabanyakcaramembentukdelegasiyang terdiridari 4 orangjika : • Tidakadabatasanjurusan • SemuaanggotadelegasiharusdarijurusanTeknikInformatika • SemuaanggotadelegasiharusdarijurusanTeknikElektro • Semuaanggotapanitaharusdarijurusan yang sama • 2 orangmahasiswa per jurusanharusmewakili
LATIHAN • Berapabanyakcaramembagikan 7 buahkarturemi yang diambildaritumpukankartukemasing-masingdari 4 orang ? (tumpukankartu = 52 buah) • Di ruangbacaTeknikInformatikaterdapat 4 buahjenisbukuyaitubuku Basis Data, bukuMatematikaDiskritdanbukuPemogramandengan Visual Basic. Ruangbacamemiliki paling sedikit 6 buahbukuuntukmasing-masingjenis. Berapabanyakcaramemilih 6 buahbuku ?
Latihan (cont.) • Carilahjumlahhimpunanbagiandari A = {a,b,c,d,e} biladiletakkankehimpunan B dengan 2 elemen ? • Di dalamsebuahkelasterdapat 100 mahasiswa, 40 orangdiantaranyapria. • Berapabanyakcaradapatdibentuksebuahdelegasi10 orang ? • Ulangipertanyaan (a) jikabanyaknyapriaharussamadenganbanyaknyawanita • Ulangipertanyaan (a) jikadelegasiharusterdiridari 6 priadan 4 wanitaatau 4 priadan 6 wanita • Berapakahjumlahhimpunanbagiandarihimpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyaianggota paling sedikit 6?
Latihan (Cont.) • Sebuahklubmobilantikbranggotakan 6 orangpriadan 5 orangwanita. Merekaakanmembentukdelegasiyang terdiridari 5 orang. Berapabanyakjumlahdelegasiyang dapatdibentukjikadelegasinyaterdiridari paling sedikit 1 priadan 1 wanita? • Sebuahkelompokterdiridari 7 orangwaitadan 4 orangpria. Berapabanyakdelegasi4 orang yang dapatdibentukdarikelompokitujika paling sedikitharusada 2 orangwanitadidalamnya?
Latihan (Cont.) • Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapajumlahpengurutan 4 hurufjika : • Tidakadahurufpengulangan • Bolehadahurufpengulangan • Tidakbolehadahuruf yang diulangtetapihuruf d harusada • Bolehadahuruf yang berulang, huruf d harusada • Berapabanyak string yang dapatdibentukdarihuruf-hurufkata “WEAKNESS” sedemikiansehingga 2 buahhuruf “S” tidakterletakberdampingan ?