1. 簡諧運動數學模式建立之研究 • 指導老師：林明寬 老師 • 大學電機四乙 U9221077 許智堯

2. 何謂簡諧運動？ • 物理上有許多運動情形，如單擺、圓周運動等規律性的運動，我們可以將之歸類為「簡諧運動」。 • 圖片來源：http://content.edu.tw/vocation/mechanical/tp_st/top2/ch10/htm

3. 研究動機 • 一個物體如果沒有持續的力來供應，終將隨時間而停止，因為空間中充滿了各種摩擦力的因子。我們要做的，是深入了解所有組尼的成因、特性，以便能以最有效率的方法，將其影響降至最低。 • 於是，我們可以從實際的實驗，配合數學公式模擬，找出讓運動中物體停止的所有原因。

4. 簡諧運動實驗 • 1.實驗器材 • 轉輪感應器 砝碼 滑車軌道 • 滑車 彈簧

5. 簡諧運動實驗 • 2.實驗步驟 • a.架設裝置如圖 • b.開啟Dats Studio繪製滑車運動波型 • c.測量彈性係數，以力學公式 F=kx=mg（m指加上的砝碼重，g指地 • 球的重力加速度，k為彈簧彈性係數，x為彈簧增長的長度） 可得 • d.測量動摩擦力與最大靜摩擦力

6. 簡諧運動實驗 • 3.實驗結果的輸出圖形

7. 應用Matlab，分析簡諧運動 • 首先我們先將簡諧運動的理論公式F = -kx，帶入Matlab進行模擬 function dy=f1(t,y) global m k dy(1)=y(2); dy(2)= (k/m)*y(1); dy=dy';

8. 應用Matlab，分析簡諧運動 • 假定m=0.5，k=5，初始位移量=1公尺，模擬20秒 global m k m=0.5; k=5; [t,y]=ode45('f1',[0 20],[1 0]) plot(t,y(:,1),t,y(:,2)) xlabel('t'); ylabel('x(t) and v(t)'); legend('x(t)', 'v(t)');

9. 應用Matlab，分析簡諧運動 • 得到輸出模擬圖形如下

10. 應用Matlab，分析簡諧運動 • 根據理論公式，我們可以看到，不論位移量或是速度，都不隨時間而變化。 不過從實驗中，我們可以發現，滑車沒有受到一個持續的力，終將隨時間而停止，是因為空間中，充滿了各種摩擦力的因子。現在讓我們從數學模擬中，找出並且驗證運動中的物體，受到了哪些摩擦力的影響。

11. 探討阻尼與Matlab模擬 • 1.探考空氣阻力： 我們可以從公式推倒，得到空氣阻力的係數 = 2m / T 將此因素加入簡諧運動理論公式，進行模擬 function dy=f1(t,y) global b m k dy(1)=y(2); dy(2)=(-b/m)*y(2)-(k/m)*y(1); dy=dy';

12. 探討阻尼與Matlab模擬 • 得到輸出模擬圖形如下

13. 探討阻尼與Matlab模擬 • 空氣阻力與滑車的速度有關，速度越快，阻力越大，不過相對速度越慢，造成的影響也越小，速度永遠不會減為零。因此根據空氣阻力來修正的公式，振幅會縮小比較快，但滑車一樣是永遠不會停止。因此，一定還有除了空氣之外的其他摩擦因素存在，使得滑車停止。

14. 探討阻尼與Matlab模擬 • 2.探討軌道與滑車間的摩擦力 根據牛頓力學，摩擦力 = 正向力x 摩擦係數，其中正向力在本實驗中，即滑車的總質量x地球的重力加速度（g）。 所以若是將軌道摩擦力，再放進已經加入空氣阻力的簡諧運動方程： F = -kx – bv –m*g*u 其中u為滑車與軌道間的摩擦係數。

15. 探討阻尼與Matlab模擬 • 將加入軌道摩擦力的公式帶入Matlab進行模擬 function dy=f1(t,y) global b m k u dy(1)=y(2); dy(2)=(-b/m)*y(2)-(k/m)*y(1)-u*9.8; dy=dy';

16. 探討阻尼與Matlab模擬 • 得到輸出模擬圖形如下

17. 探討阻尼與Matlab模擬 • 從圖可以發現到，整個x座標會向下平移，是因為摩擦力應該要隨著速度的方向而改變，而公式直接減去摩擦力，表示的是摩擦力只往單一方向作用。所以我們必須以一個變數，使得摩擦力隨著速度方向的改變而改變。於是我們可以將摩擦力乘以（速度 / 速度的絕對值），如此速度方向（正副號）改變，摩擦力也可跟著改變方向。

18. 探討阻尼與Matlab模擬 • 此外，圖中，水平線與x(t)的交點，表示滑車往正方向位移的最大值已經等於零，但為何又會往負方向移動呢？照理說滑車此時已經因為摩擦力消耗了彈簧提供的所有能量而停止，但是公式模擬卻變成摩擦力提供了滑車繼續移動的能量，這不符合物理定義，因為摩擦力是相對的力，並不是主動提供能量的力。 • 所以在公式的設計上面，應加入條件，宣告當彈簧所提供的能量，已經小於摩擦力時，兩力應相等（相減等於零），滑車也會在沒受到任何力的行況下停止，而不是變成摩擦力提供滑車動能。 • 我們必須加入的條件因素，要從運動方向、摩擦力方向、位置等等的關係中來探討。

19. 探討阻尼與Matlab模擬 • 當滑車在右半邊，且向右移動時，v=正，x=正，摩擦力=負 • 當滑車在右半邊，且向左移動時，v=負，x=正，摩擦力=正 • 當滑車在左半邊，且向右移動時，v=正，x=負，摩擦力=負 • 當滑車在左半邊，且向左移動時，v=負，x=負，摩擦力=正

20. 探討阻尼與Matlab模擬 • 討論所有變數，修正過後的Matlab公式如下： function dy=f1(t,y) global b m k u if (k*abs(y(1)) < u*9.8*m) f1=k*abs(y(1)); else f1=u*9.8*m; end if (y(2)==0) signn=1; else signn=y(2)/abs(y(2)); end dy(1)=y(2); dy(2)=(-b/m)*y(2)-(k/m)*y(1)-signn*f1/m; dy=dy';

21. 探討阻尼與Matlab模擬 • 得到輸出模擬圖形如下 與實驗結果幾乎吻合

22. 總結 • 經過多方面推導，在合乎物理意義的情況下，我們對簡諧運動做了更深入的分析，不斷利用Matlab進行模擬，進而修正其公式為： F = -kx – bv – m * g * u * v / |v| k為彈簧彈性係數，b為空氣阻力係數，v為運動速度，m為運動物體的質量，g為地球重力加速度，u為物體與行進軌道間的摩擦係數。 在真正進行專題，開始對簡諧運動分析後，發現每個因素都是追求答案的關鍵，不斷的將考慮到的因素，帶入Matlab進行模擬，來加以驗證，進而找出其中真正的意義，同時更加深了對此一物理現象的了解。在實作與模擬的相輔相成下，得到了我們無法從死板的書面資料，所能獲取的寶貴經驗。