Warum manchmal Katzen vom Himmel fallen ... oder ... Von guten und von schlechten Modellen

1. Hans-Wolfgang Henn Warum manchmal Katzen vom Himmel fallen ... oder ... Von guten und von schlechten Modellen

2. Übersicht 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” 2 Warum Modelle? 3 Winter’sche Grunderfahrungen 4 Modellieren: Chancen und Gefahren 5 Modellieren in der Schule 6 Schlusswort

3. 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm”

4. 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” Erfolgreicher Kampf gegen Moskitos und Malaria.

5. 1 Die Operation “Katzen am Fallschirm” Erfolgreicher Kampf gegen Moskitos und Malaria. Kakerlaken  Geckos  Katzen

7. Die rücksichtslose Abholzung in vielen Ländern. • Die Bodenversalzung aufgrund von gedankenlosen • künstlicher Bewässerung. • Der Bau von Atomkraftweriden an erdbeben- • gefährdeten Standorten. • Der unreflektierte Gebrauch neuer chemischer • Substanzen. • die oft recht forschen Manipulationen mit Hilfe der • Gentechnologie, • Viele weitere Beispiele solch monokausalen Denkens, also schlechter Modellierung, ließen sich anführen.

8. 2 Warum Modelle? • Modelle sind vereinfachende Repräsentationen, die nur einen ge- • wissen, irgendwie objektivierbaren Teil der Realität berücksichtigen. • Ein einfaches Beispiel ist eine Landkarte. • Modelle sind Abbildungen von der Realität in die Mathematik. • Die Aufgabe eines Modells ist, Folgerungen für die Realität zu • ziehen. • Das Modell muss irgendwohin führen.

9. Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) .

10. Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) .

11. Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) .

12. Normative Modelle z.B. Einkommensteuer, Wahlmethoden, Regeln für die Fußball-Europa-Meisterschaft …. Deskriptive Modelle Modelle, die vorhersagen (z.B. Wettervorhersage) Modelle, die erklären (z.B. woher kommt der Regenbogen?) Modelle, die beschreiben (z.B. die Entwicklung von HIV) • Modelle können mehr oder weniger brauchbar sein • (nicht “richtig” oder “falsch”). • “Harte“ Modelle und eher “weiche” Modelle. • Modelle haben stets einen subjektiven Charakter. Sie • hängen ab von den gewählten normativen Annahmen. • Damit stets Gefahr von Mißbrauch und Mißinterpretation. .

13. Heinrich Winter (1995): (GE 1)Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (GE 2)mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, (GE 3)in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlöse- fähigkeiten (heuristische Fähigkeiten), die über die Mathematik hinaus gehen, zu erwerben. 3 Winter‘sche Grunderfahrungen

14. 4 Modellieren: Chancen und Gefahren • Realitätsorientierte Themen sind kaum Teil des • Mathematikunterricht. • In der didaktischen Diskussion besteht seit langem Überein- • stimmung über die Wichtigkeit, Verbindungen zwischen • Realität und Mathematikunterricht zu schaffen.

15. 4 Modellieren: Chancen und Gefahren Ich sehe drei wichtige Faktoren, die die Entwicklung einer Modellierungskompetenz bei Lernenden unterstützen, aber auch entscheidend verhindern können: 4. 1 Das Problemfeld “zentrale Prüfungen”, 4.2 der Einsatz von Computern, 4.3 die professionelle Ausbildung und Motivation der Lehrkräfte. Beispiele:

16. 4.1 Das Problemfeld ”zentrale Prüfungen” Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

17. Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Baden-Württemberg , Leistungskurs Mathematik, Analytische Geometrie, 1998: Szenario mit einer innen begehbaren, senkrechten quadratischen Pyramide aus Holz. Aufgabenteil c:

18. Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Baden-Württemberg , Leistungskurs Mathematik, Analytische Geometrie, 1998: Szenario mit einer innen begehbaren, senkrechten quadratischen Pyramide aus Holz. Aufgabenteil c: In der Pyramide ist parallel zum Boden eine Platte befestigt, die in der Mitte eine kreisförmige Öffnung mit dem Durchmesser d = 2,4 hat. Ein großer Schaumstoffball hat den Radius r = 1,5. Beim Aufräumen muss der Ball durch die Öffnung nach oben gedrückt werden. In welcher Höhe ist die Platte angebracht, wenn sie sich so weit oben wie möglich befindet und der aufbewahrte Ball entspannt in der Öffnung liegt?

22. 4.2 Der Einsatz von Computern • Die heutige Computer-Technologie ist für alle drei Winter’schen Grunderfahrungen gleichermaßen hilfreich und wichtig: • Der Computer ist ein mächtiges Werkzeug zur Unterstützung • von Modellbildung und Simulation ( GE 1). • Der Computer kann den Aufbau von adäquaten Grundvorstellungen • zu mathematischen Begriffen unterstützen,insbesondere durch • dynamische Visualisierung ( GE 2). • Der Computer fördert heuristisch-experimentelles Vorgehen beim • Problemlösen ( GE 3). • Der Computer macht aber, was er soll – • Sinnvolles und Unsinniges!

23. Schwimm-Weltrekordzeiten (Männer) für 100 m Freistil

24. Vier Modellansätze (mit Hilfe des verfügbaren Regressionsbefehl): lineare Funktion y = ax+b Potenzfunktion y = axb Exponentialfunktion y = abx Logistische Funktion

27. Olympische Spiele München 1972 Zunächst Messung mit drei Dezimalen: Larsson 4:31,981 McKee 4:31,983 v  100 m / 50 sek = 2 m/sek 1/100 Sekunde  2 cm 1/1000 Sekunde  2 mm

28. 4.3 Die professionelle Ausbildung und Motivation der Lehrkräfte „sieh’ die Welt mit mathematischen Augen“

33. So weit, so gut! Aber selbst dieses schöne Problem kann vor lauter Begeisterung an Anwendungen und Modellierung schlecht unterrichtet werden! Zwei Beispiele:

35. Höhe des Kalbs

36. Höhe des Kalbs Formel

37. Höhe des Kalbs Formel Setze die 5 Zahlen in die Formel ein und addierere

39. 5 Modellieren in der Schule Mathematisches Modellieren: Gegenseitige Befruchtung von Mathematik und dem “Rest der Welt” Hierzu sind geeignete Lernumgebungen unabdingbare Voraussetzung. Lyn English: “rich learning experiences”, authentische Situationen, Chancen für eigene Explorationen, vielfältige Möglichkeiten für Interpretationen. Einige Beispiele:

40. 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengeradeist das wichtigste Modell in der Schule:

41. 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengeradeist das wichtigste Modell in der Schule: Ideale Zahlen: 2 = 2,0 = 2,00

42. 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengeradeist das wichtigste Modell in der Schule: Ideale Zahlen: 2 = 2,0 = 2,00 Reale Zahlen: Intervalle, 2  2,0 Intervalle führen zur Fehlerfortpflanzung bei weiteren Rechnungen.

43. 5.1 Wer die Zahl braucht, hat die Wahl: Ideale, reale und Computer-Zahlen Die Zahlengeradeist das wichtigste Modell in der Schule: Ideale Zahlen: 2 = 2,0 = 2,00 Reale Zahlen: Intervalle, 2  2,0 Intervalle führen zur Fehlerfortpflanzung bei weiteren Rechnungen. Computer-Zahlen:führen ihr ganz eigenes Leben! Leistungsfähigkeit der Prozessoren  Fehleranalyse der implementierten Gleichkomma- Arithmetik 

44. Beispiel für die Fehlerfortpflanzung: Mathematisches Modell für das Reflexionsgesetz Einfallswinkel: [ - ;  + ]  Reflexionswinkel: [ - 2;  + 2] Fehler nach n Reflexionen: 2n  Anfangsfehler:  Fehler nach 18 Reflexionen > 3600

45. „Beispiel für Computerzahlen“ Iterativ erzeugte Punkt-Folge (nach U. Kulisch, TU KA) Pn(xn/yn), n  0 mit P0(0/0) und Berechnung der Folgenglieder mit MAPLE Rechengenauigkeit: Digits = m (m = 5, 10, 15, 20), 2000 Folgenglieder, jeweils 500 Punkten in schwarz, rot, grün und blau. Zusammenhang mit „Chaos-Bildern“!

47. 5.2 Beispiele von der Praxis für die Praxis Wartungshäuschen

48. CIA: China hat 1.127.519.327 Einwohner am 21. März 1991

49. US Postministerium: Größe der Eagle Stamp (erschienen am29. 4. 1985) 48,768 x 43,434 Millimeter

50. US Postministerium: Größe der Eagle Stamp (erschienen am29. 4. 1985) 48,768 x 43,434 Millimeter 1,92 x 1,71 square inches metrische Maße (Umrechnungsfaktor 2,54)