Operations Research

1. Operations Research Hoorcollege week 4Deel 2 Inleiding wachtrijsystemen De klassificatie van Kendall Het M/M/1-model R.B.J. PijlgromsInstituut Informatica en ElektrotechniekHogeschool van Amsterdam

2. Wachtrijsystemen

3. Kenmerken van Wachtrijen • verdeling van aankomsttijd • ook: interarrivaltime • verdeling van bedieningstijd • ook: servicetime • aantal servers of loketten #servers aankomsten bedieningen

4. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • Verdeling van aankomst- resp. bedieningstijden • Notatie: • M : de tussenaankomsttijd is negatief exponentiëel verdeeld • D : de tussenaankomsttijd is constant • G : de tussenaankomsttijd is willekeurig verdeeld

5. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • maximaal aantal toegestane klanten in het systeem • of ook: systeem-capaciteit • omvang van de gehele populatie van mogelijke klanten • protocol van bediening van de wachtrij

6. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • Systeem-capaciteit: • oneindig: ‘iedereen’ kan zich als klant melden • eindig: bijv. de wachtruimte is beperkt! (vergelijk de printbuffer of het geheugen, beperkte ruimte in kapsalon.)

7. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • De populatie (dit is ietsanders dan de systeem-capaciteit) • veelal oneindig (‘iedereen’ kan zich als klant melden) • soms eindig (vergelijk bijv. kapotte machines die zich ‘melden’)

8. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • Protocol: volgorde waarin de wachtrij wordt bediend • FIFO - First In First Out • FCFS - First Come First Served • LIFO - Last In First Out • LCFS - Last Come First Served • SJN - Shortest Job Next • SIRO - Service In Random Order • SPT - Shortest Processing Time first • PR - according to PRriority

9. De Kendall-notatie • de genoemde kenmerken worden afgekort volgens Kendall, bijv.: • M/M/1/¥/¥/FIFO • negatief exponentieel verdeelde aankomsttijd • negatief exponentieel verdeelde bedieningstijd • één server • systeem-capaciteit (= oneindige wachtruimte + 1 = ¥) • oneindige populatie • First In First Out bedieningsvolgorde

10. De Kendall-notatie(vervolg) • dit wordt afgekort tot M/M/1 • voortaan meestal korte notatie • dus capaciteit en populatie worden dan oneindig verondersteld en volgorde is FIFO. Zoniet, dan de lange notatie. • Enkelevoorbeelden • M/M/4 M/D/3/8 • M/G/1 M/M/4/4 • D/M/2/4 M/M/2/5/5

11. A/B/s/N/Kmet: A = verdeling aankomsttussentijd B = verdeling bedieningstijd s= aantal servers N = capaciteit van het systeem K = omvang van de ‘doelgroep’ afkortingen verdelingen (d.w.z. A, B): M = exponentieel D = constant/deterministisch G = algemeen (Ek= Erlang) Notatie van Kendall

12. Parameters wachtrijsysteem Resumerend gedrag wachtrij-systeem afhankelijk van • aankomstproces (l en verdeling tussentijd) • bedieningsproces (m en verdeling bedientijd) • aantal loketten • capaciteit van het systeem • omvang van de doelgroep • bedienings-protocol

13. Kendall notatie oefeningen • kapsalon met 3 knipstoelen en 5 wachtstoelen • 6 machines die onderhouden worden en 1 monteur met Poisson-verdeelde bedieningsintensiteit • vliegtuigen die landen op 1 landingsbaan • Wachtrij in kantine met exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden en constante bedieningstijden

14. Interessante afgeleide systeem-variabelen • r= bezettingsgraad (server utilization, percentage van de tijd dat een server bezig is waarbij s =aantal parallelle servers) • Pn= kans op n klanten in het systeem • Nq= gemiddeld aantal klanten in het systeem (bediening en wachtrij) • Nw= gemiddeld aantal klanten in de wachtrij • Tq= gemiddelde tijd dat een klant in het systeem aanwezig is (bediening en wachtrij) • Tw= gemiddelde tijd dat een klant in de wachtrij aanwezig is

15. Overgangs- en stationair gedrag • overgangsgedrag (vanaf t = 0) prestatie indicatoren als gemiddelde wachttijdTw en gem. aantal klanten in de wachtrij Nw afhankelijk van de tijd d.w.z. Tw(t), Nw(t) • stationair gedrag ( t=>¥) prestatie-indicatoren als gemiddelde wachttijd niet meer afhankelijk van de tijd (d.w.z. de waarschijnlijkheid dat systeem zich in gegeven toestand bevindt is niet tijdsafhankelijk)

16. Overgangsgedrag • geschiedenis aantal klanten in systeem = grafiek aantal klanten tegen tijd • Kan ook in tabel • Je moet het wachtrij-protocol kennen • FIFO (first in first out) • LIFO (last in first out) • SIRO (service in random order) • SPT (shortest processing time first) • PR (according to priority)

17. Geschiedenis oefening Nq • aantal bezoeken afgelegd door verpleger (N) ? • voor alle N bezoeken de begintijd ? • voor alle bezoeken de door patient in systeem doorgebrachte tijd ? • voor alle bezoeken de door patient in rij doorgebrachte tijd ?

18. Het M/M/1// - model

19. Het M/M/1// - model • Negatief-exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden ( gemiddelde aankomstintensiteit = l [klanten/sec], gem. tussenaankomsttijd = l-1 [sec] ) (N.B.: l-1 =1/ l) • Negatief-exponentieel verdeelde bedieningstijden (gemiddelde bedieningsintensiteit = m [klanten/sec], gem. bedieningstijd Ts=m-1 [sec]) • aantal loketten s = 1 • Systeemcapaciteit is oneindig • Populatiegrootte is oneindig

20. De Markov-keten en de evenwichtsvergelijkingen: M/M/1 … - Markov-keten.- Cirkels geven toestanden aan waarin het systeem kan verkeren.- Overganskansen i.h.a. niet constant.

21. Het M/M/1-model • In het M/M/1-model is: • het aankomstproces een Poisson-proces met gemiddeld l aankomsten per tijdseenheid • de tijd tussen het afronden van twee bedieningen negatief exp. verdeeld met gemiddeld m bedieningen per tijdseenheid • het aantal servers=loketten gelijk aan 1 • Dus parameters ln en mn hangen niet van n af!!

22. Het M/M/1-model(vervolg) • Dus ln = l voor alle n=0,1,2,... • En mn = m voor alle n=1,2,3, ... • Wel moet gelden : l<m • anders loopt het systeem “vol” • De grootheidwordt de bezettingsgraad van het systeem genoemd • De evenwichtsvergelijkingen worden :

23. l l l l l l 0 n-1 1 n 2 n+1 3 n+2 … … m m m m m m Het M/M/1-model(vervolg) …

24. Het M/M/1-model(vervolg) • Bovendien is de som van alle kansen 1

25. Het M/M/1-model(vervolg) VOORBEELD • Er komen op een netwerkserver gemiddeld 10 berichten per minuut binnen. • De gemiddelde verwerkingstijd voor een bericht is 4 seconden. • wat is de kans op een ‘idle server’? • wat is de kans op 1, 2 resp. 3 berichten in het systeem? • wat is de kans op minstens 4 berichten in het systeem?

26. Het M/M/1-model(vervolg) ANTWOORD • Eerst: l is natuurlijk 10 (berichten per minuut) • En: m is 15 !! (berichten per minuut) • Dus de bezettingsgraad r=10/15=2/3 • De kans op een ‘idle server’ = de kans op 0 berichten in het systeem: P0 dus.

27. Het M/M/1-model(vervolg) We vonden:Pn = rn (1-r) De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198

28. Nogmaals de notaties voor afgeleide systeemvariabelen • We definieren een aantal stochasten: • Ns = het aantal klanten dat bediend wordt • Tq = de tijd die een klant in het systeem doorbrengt • (ook wel de doorlooptijd genoemd) • Tw = de tijd die een klant in de rij staat • Ts = de tijd die nodig is voor de bediening van een klant • Nq = het aantal klanten in het systeem • Nw = het aantal klanten in de wachtrij

29. Little’sResult • We nemen voortaan aan dat alle genoemde stochasten niet afhangen van de tijd • Er geldt : Nq = Nw + Ns Tq = Tw + Ts • Bovendien geldt Little’s result: E(Nq) = l E(Tq) E(Nw) = l E(Tw) en E(Ns) = l E(Ts)

30. Little’sResult (vervolg) • Zoals aldooris l het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid • Little heeft bewezen dat dit resultaat geldig is onafhankelijk van de aankomstverdeling!! • Het bewijs is abstract, het resultaat eenvoudig en aannemelijk.

31. De verwachting van Nq(M/M/1-model) help!

32. wiskunde trucs!!!

33. De verwachting van Nq en Tq Uit het voorgaande volgt dus:(bedenk dat r=l/m < 1 ) En dan volgt met het Result van Little:

35. De verwachting van Nw en Tw • De verwachte wachttijd is : • de verwachte totale tijd in het systeem minus de verwachte bedieningsduur

36. The End