設 y = f ( x ) 為一函數， (1) 自變數 x 的微分 (differential) dx 是 x 的增量，即 dx =  x

1. 3-1 • 設 y = f (x)為一函數， (1)自變數 x 的微分(differential) dx 是 x 的增量，即 dx = x (2)因變數 y 的微分 dy 為 dy = f (x) dx 由於已知　 = f (x)，所以我們可將 看成兩個微分 dy、dx 的商。再者，dy 可當作 y 的近似值。也就是說，當 x 變動時，dy 可視為因變數 y 的改變量。

2. 3-2 • 設 y = f (x1,……, xn)，則 我們稱 dy 為因變數 y 的全微分(total differential)。

3. 3-3 • 設函數 y = f (x) 的定義域為 SRn，若對於 S中所有的 x，f (x0)  f (x)，則稱 f 在 x0點有絕對極大值(absolute or global maximum)。若對於 S 中所有的 x，f (x0)  f (x)，則 f 在 x0點有絕對極小值(absolute or global minimum)。

4. 3-4 • 若對於 x0鄰近的點 x，f (x0)  f (x)，則稱 f 在 x0點有相對極大值(relative or local maximum)。若對於 x0鄰近的點 x，f (x0)  f (x)，則稱 f 在 x0點有相對極小值(relative or local minimum)。

5. 3-5 • 若 x*滿足 gi (x*) = bi , i = 1, 2, …, m，且g1 (x*), g2 (x*), …, gm (x*)為線性獨立，則稱 x*為 S 之正規點(regular point)。 在正規點 x*，我們可以進一步定義一個 Rn的子空間 對 S而言，M代表的是在 x*點的切面(tangent plane)。

6. 3-1 3-2 • 設函數 f 及 f  皆定義於區間(a, b)。 設 x0 在(a, b)內，且 f  (x0) = 0。 (1)若 f  (x0) > 0，則 f 在 x0點有相對極小值。 (2)若 f  (x0) < 0，則 f 在 x0點有相對極大值。 • 若 f  (x0) = 0，f  (x0) = 0且 f  (x0)  0，則 x0為 f 的反曲點。

7. 3-3 • 設 y = f (x1, x2, ……, xn)為一函數。若 f 在 x0上有極值，則 定理 3-3 的結論告訴我們偏導數全部為 0 只是極值的必要條件。就算已知在某一點上函數 f 的偏導數均為 0，我們也無法斷定 f 在此點上具有極值。因此如同定理 3-1，我們必須還要有其他的條件，以確定極值的存在。

8. 3-4 • 充分條件 設 y = f (x1,x2, …,xn)為一函數，若 f 在 x0點滿足 (1) (2)對於每個非零向量 z， 則 f 在 x0點有相對極小(大)值。

9. 3-5 必要條件 • 設 y = f (x1,x2, …,xn)為一函數，若 f 在 x0點有相對極小(大)值，則在 x0點 (1) (2)對於每個非零向量 z，

10. 3-6 • 設 y = f (x1,x2, …,xn)為一函數。若點 x0滿足 (1)若在 x0點，行列式 |Hk| > 0, k= 1, ……, n，則 f 在 x0點有相對極小值。 (2)若在 x0點，(1)k|Hk| > 0, k = 1, ……, n，則 f 在 x0點有相對極大值。

11. 3-7 • 設 z = f (x, y)，且在點(a, b)上， (1) (2)

12. 3-7 (3)　　　　　　　　　　　　　　　　則(a, b)為一鞍點(saddle point)，即 f (a, b)不是極值。 (4) 　　　　　　　　　　　　　　　則無法作任何結論。 • 所謂鞍點，就是沿著某一方向來看，f 在(a, b)上具有相對極大值，但沿另一方向來看時，f 在(a, b)上又是相對極小。如圖3-5所示。

13. 3-8 • 設點(a, b, )滿足 (1)若 且 f 在(a, b)點有相對極小值。

14. 3-8 (2)若 則 f 在(a, b)點有相對極大值。 (3)若　　　　　　　　　　　　 則無任 何結論。

15. 3-9

17. 3-10 • 充分條件 若 x* = 　　　　　　 滿足 gi (x*) = bi, i = 1,2, …, m且存在一向量 *= 　　　　　　 ，使得 同時，假設對於所有 Z M ， Z 0， 則問題 (P) 在 x*點有相對極小值。