EJERCICIOS DE CURVAS CONICAS

1. EJERCICIOS DE CURVAS CONICAS Construcciones Elementales

2. Ejercicio Nº 13Elementos de la elipse

3. 1.- La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Es decir si desde el foco F y F’ trazamos perpendiculares a la Cp se dibujan las tangentes a la elipse.

4. Las circunferencias focales Cf y Cf' de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2ªEl punto T es simétrico del foco F respecto a la tangente t’, si unimos T con F' determinamos el punto M punto de tangente de la elipse y la recta t'

5. Ejercicio Nº 14Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos

6. 1.- Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad el lado menor AE en el mismo numero de partes.

7. 2.- Se une el extremo D del ejemenor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4. Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE1,2,3,4.Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.

8. 3.- Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada.

9. Ejercicio Nº 15Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focosTrazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.

10. 1.- La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.

11. 2.- Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F'y se traza la perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.

12. 3.- Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.

13. Ejercicio Nº 16Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b.Dados los ejes

14. 1.- Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.

15. 2.- Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores.

16. 3.- Se traza por T'una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.

17. 4.- Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise

18. Ejercicio Nº 17Construcción de una elipse dados una pareja de diámetros conjugadosDados una pareja de diámetros conjugados A’-B’ y C’-D’

19. 1.- Trazamos la circunferencia de diámetro A‘ B'.

20. 2.- La perpendicular por O corta a la circunferencia en D1 y C1 .

21. 3.- Unimos los puntos D1 y D’ así como C1 y C’.

22. 4.- Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D'Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1que corta en S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada.

23. 5.- Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse

24. Ejercicio Nº 18Puntos de intersección de una recta con una elipseSea la elipse dada por sus elementos, focos, ejes y la recta r.

25. 1.- Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la focal y pasan por el otro foco, lo que tenemos que determinar son los centros de estas circunferencias. Trazamos la circunferencia focal de centro F y radio 2a.

26. 2.-Hallamos el simétrico de F' respecto a la recta r punto F'1.

27. 3.- Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O en la recta r quepase por F y F'1 , que corta a la focal en 1 y 2, la cuerda 1-2 y la recta F'-F'1se cortan en el centro radical Cr.

28. 4.- Desde Cr trazamos las tangentes a la focal, que nos dan los puntos de tangencia T1 y T2.

29. 5.- Unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con F dando los puntos I1 e I2, que son los puntos de intersección de la recta con la elipse, a la vez son los centros de las circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por el otro foco F'

30. Ejercicio Nº 19Hallar los ejes una elipse dada por una pareja de diámetros conjugados A'B' y C'D‘.

31. 1.- Por el centro O se traza la perpendicular a A‘ B' y se lleva OP=OA‘.

32. 2.-Se une P con D' y se traza la circunferencia de centro O1 y diámetro PD', con centro en O1 y radio O1O se traza la semicircunferencia MON.Uniendo O con M y N se obtienen los ejes de la elipse buscada.

33. 3.- Uniendo O con M y N se obtienen los ejes de la elipse buscada.

34. 4.- Los puntos de corte de la circunferencia de centro O1y la recta O1O nos determinan los puntos G y H

35. 5.- La magnitud de los ejes de la elipse es a = OH y b = OG que transportamos sobre cada uno de ellos respectivamente

36. Ejercicio Nº 20Tangentes desde un punto P a una elipse utilizando la circunferencia principal

37. 1.- Trazamos la circunferencia principal Cp de centro en O y radio OB = OA

38. 2.- Unimos el punto P con el Foco F’ y con centro en 1 punto medio de PF‘, trazamos la circunferencia de diámetro PF'

39. 3.- Los puntos de corte con la Cp puntos M y N son los puntos por los que pasan las tangentes unimos estos con P y tenemos las tangentes t y t' a la elipse

40. 4.- Determinamos los simétricos F' respecto a las tangentes puntos F1' y F2'. Unimos estos puntos con el otro foco F y determinamos los puntos de tangencia con la elipse T y T'

41. Ejercicio Nº 21Tangente a la elipse paralelas a una dirección dada d utilizando la circunferencia principal

42. 1.- Trazamos la circunferencia principal Cp

43. 2.- Trazamos por el foco F una perpendicular a la dirección d

44. 3.- Por los puntos M y N de intersección con la Cp son los puntos por los que pasan las tangentes por estos puntos trazamos las paralelas a la dirección dada d.

45. 4.- Hallamos los simétricos del foco F respecto de las tangentes t y t' puntos F1 y F2 .

46. 5.- Unimos los puntos F1 y F2 con F' y determinamos los punto de corte con las tangentes puntos T y T' que son los puntos de tangencia con la elipse.

47. Ejercicio Nº 22Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’

48. 1.- Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.

49. 2.- Se traza un rectángulo BMPN.

50. 3.- Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.