1 / 25

Ajuste de Curvas

7. Ajuste de Curvas. f(Y). Y. Y = a + b x. x 1. x 2. X. x 3. Método dos mínimos quadrados. Aplicação típica: Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x) Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x .

trilby
Télécharger la présentation

Ajuste de Curvas

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 7 Ajuste de Curvas UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)

  2. f(Y) Y Y = a + b x x1 x2 X x3 Método dos mínimos quadrados • Aplicação típica: • Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x) • Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.2)

  3. Método dos mínimos quadrados • Caso linear: • Y = a + b x + e • onde e é uma variável aleatória • uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de: • onde a e b são constantes UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.3)

  4. mmq - caso linear Para cada ponto experimental (xi, yi) o erro será: e o erro quadrático: que, quando minimizado em relação a “a” e “b”, leva às equações normais: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.4)

  5. inferências baseadas nos estimadores do mmq definindo: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.5)

  6. inferências baseadas nos estimadores do mmq • a solução das equações normais é: • a variância é estimada a partir das somas dos erros quadráticos residuais por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.6)

  7. intervalos de confiança para os coeficientes • Intervalos de confiança para a e b: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.7)

  8. y x intervalos de confiança para os coeficientes intervalos de confiança para a + b x0 intervalos de predição UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.8)

  9. regressão curvilinear • Linearizar onde for possível: • a) y = abx • log y = log a + x log b • b) y = 1/(a + b x) • 1/y = a + b x • z = a + b x, sendo z = 1/y UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.9)

  10. ajustes de polinômios y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp Equações normais: y = n b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp xy = n b0 x + b1 x2 + b2 x3 + ... + bp xp+1 : xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp+2 + ... + bp x2p UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.10)

  11. regressão múltipla y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + br xr Equações normais: (ex. r = 2) y = n b0 + b1 x1 + b2 x2 x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2 x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22 UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.11)

  12. verificação da adequabilidade do modelo • Para verificar se o modelo de regressão escolhido é adequado, deve-se: • Plotar os resíduos • Verificar a normalidade dos resíduos UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.12)

  13. UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.13)

  14. notação matricial O sistema de equações: Pode ser escrito na notação matricial como: [x]{b} = {y} Cuja solução é: {b} = [x]-1{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.14)

  15. notação matricial O sistema de equações redundantes (mais equações que incógnitas): Também pode ser escrito na notação matricial como: [x]{b} = {y} Porém, sua solução não pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes não quadradas não possuem inversa. UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.15)

  16. notação matricial Para resolver sistemas de equações redundantes, faz-se: [x]T[x]{b} = [x]T{y} Cuja solução é: {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} Que equivale à solução pelo método dos mínimos quadrados UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.16)

  17. exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmq Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4) y = -0,003227 + 1,044 x UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.17)

  18. ajuste de um polinômio Ajustar um polinômio do tipo: y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xk Notação matricial: [x]{b} = {y} {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.18)

  19. ajuste de uma função Ajustar uma função do tipo: y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) + ... + bk x Notação matricial: [x]{b} = {y} {b} = ([x]T[x])-1[x]T{y} UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.19)

  20. cálculo dos resíduos No caso geral em que: A variância do resíduo pode ser estimada por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.20)

  21. cálculo da matriz de covariância Matriz de covariância: que pode ser estimada por: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.21)

  22. intervalos de confiança para coeficientes Para cada parâmetro (coeficiente) calculado: que leva à seguinte estimativa de intervalo de confiança para valores interpolados pela equação: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.22)

  23. intervalos de confiança para predição: Para predição de valores a partir da equação ajustada, são estimados os seguintes intervalos de confiança: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.23)

  24. exemplo 2: cálculo de resíduos e variância Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4) y = -0,003227 + 1,044 x resíduos: variância: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.24)

  25. exemplo 2: covariâncias e intervalos matriz de covariâncias: Intervalos de confiança para os parâmetros ajustados: UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.25)

More Related