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Ajuste de funciones

Interpolación y. Ajuste de funciones. 22. 20. 18. 16. Grados. 14. 12. 10. 8. 6. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 4. Hora. Un problema de Aproximación. Evolución de la temperatura diurna. Interpolación. Interpolación Polinomial

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Presentation Transcript

  1. Interpolación y Ajuste de funciones

  2. 22 20 18 16 Grados 14 12 10 8 6 6 8 10 12 14 16 18 20 22 4 Hora Un problema de Aproximación • Evolución de la temperatura diurna

  3. Interpolación • Interpolación Polinomial • Polinomios Osculadores: Interpolación de Hermite • Interpolación Racional: Aproximaciones de Pade • Interpolación segmentaria: Splines • Otros

  4. Ajuste • Polinomios de Taylor • Mínimos Cuadrados • Minimización de normas • Aproximación Racional • Series de Fourier • Curvas de Bezier • B-Splines

  5. Splines

  6. Interpolación Polinómica Segmentaria • Limitaciones de la interpolación polinómica • Grado del polinomio • Carácter de la función a interpolar • Alternativa propuesta: Splines. • Numéricamente estable • Matrices dispersas • Agradable a la vista

  7. Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines • Interpolación Segmentaria • Interpolación Segmentaria Lineal • Interpolación Segmentaria Cúbica • Condiciones Naturales • Condiciones sobre la derivada

  8. Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge Polinomio grado 4 Spline lineal 1 1 0.9 0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.4 0.5 0.2 0.4 0.3 0 0.2 -0.2 0.1 -0.4 0 -1 0 1 -1 0 1

  9. Perfil para un diseño Polinomio interpolador

  10. Aplicaciones • Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) • Geología • Aeronáutica y automoción • Economía • Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) • Robótica • Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) • Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) • Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

  11. Interpolación Polinómica Segmentaria

  12. Splines Lineales • Polinomio de Lagrange • Polinomio de Newton

  13. ¿Como calculamos Splines lineales con MATLAB?

  14. Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge Polinomio grado 4 Spline lineal 1 1 0.9 0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.4 0.5 0.2 0.4 0.3 0 0.2 -0.2 0.1 -0.4 0 -1 0 1 -1 0 1

  15. Splines Cúbicos • Spline cúbico 4nincógnitas • Condiciones de interpolación n+1 ecuaciones • Condiciones de conexión 3(n-1) ecuaciones

  16. h c + 2 ( h + h ) c + h c = k - 1 k - 1 k - 1 k k k k + 1 3 3 = ( a - a ) - ( a - a ) k + 1 k k k - 1 h h k k - 1 n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas

  17. Condiciones Naturales

  18. Matriz del sistema

  19. Términos independientes

  20. Ejemplo de la temperatura Polinomio interpolador Spline cúbico 22 22 20 20 18 18 16 16 Grados Grados 14 14 12 12 10 10 8 8 6 6 5 10 15 20 5 10 15 20 Hora Hora

  21. Condiciones sobre la derivada

  22. Matriz del sistema

  23. Términos independientes

  24. Como calculamos Splines Cúbicos con MATLAB

  25. Interpolación segmentaria con MATLAB • Interpolación segmentaria cúbica • ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los coeficientes • [x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes • ps = mkpp(x,s) • syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx) • Interpolación segmentaria lineal • lyy = interp1(x,y,xx)

  26. Spline de MATLAB Interpolación Lineal 1 1 0.5 0.5 0 0 -1 0 1 -1 0 1 Spline Natural Spline Derivada 1 1 0.5 0.5 0 0 -1 0 1 -1 0 1

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