UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 7 Rafael Salas noviembre 2010

2. Extensiones del modelo básico... • Problemas de agregación • restricciones en la estructura de preferencias para la consistencia sobre consumidores • Modelización de problemas económicos específicos • oferta de trabajo • ahorro • Nuevos conceptos • incertidumbre • La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante

3. Esquema... Consumo: incertidumbre Modelización de la incertidumbre Axiomas Utilidad esperada Prima de riesgo

4. Incertidumbre • Nuevos conceptos • Nuevos axiomas sobre el consumidor • Nuevas restricciones sobre la estructura de las functiones de utilidad

5. Estados de la naturaleza w Î W Conceptos Ejemplo Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={Rep, Dem} o quizás como: W={Rep, Dem, Ind} • pw Î P={pw:wpw=1} • probabilidades Un vector de consumo sobre el espacio W • consumo contingente • {xw: w Î W} Otro ejemplo Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: W={sol, lluvia} o quizás como: W={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} • antes de la realización • ex ante • después de la realización • ex post

6. Sólo un estado se realiza w Abanico de estados posibles W Distinción ex-ante/ex-post • La línea del tiempo • En el “momento de la verdad” • La visión ex-ante • La visión ex-post Las decisiones se realizan aquí tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza

7. Un enfoque simplificado... • El espacio de estados es finito • Se simplifica si los planes de consumos son escalares • El consumo en el estado w es xw(un número real: consumos o resultados que se obtienen en el estado w) • Un caso especial: • Tomamos el número de estados=2 • W= {ROJO,AZUL} • Representación gráfica...

8. resultado si ROJO ocurre resultado si AZUL ocurre Espacio de los estados: #W=2 • El espacio de consumo bajo incertidumbre: 2 estados xAZUL • Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Consumos con certidumbre perfecta • Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados • Y0 45° xROJO O

9. ¿Qué podemos decir sobre las preferencias? • Hemos expandido el espacio de bienes • Son bienes contingentes al “estado”: • Estados finitos • Si hay un número N de estados posibles entonces... • ...en vez de n bienes tenemos n  N bienes • La teoría del consumo se puede aplicar automáticamente • Axiomas estandar sobre las preferencias apropiados son necesarios • Pero requieren una reintrepretación veamos

10. Axiomas sobre preferencias • Completitud • Transitividad • Continuidad • Monotonía • Dominancia estocásica • Convexidad (estricta) • Diferenciabilidad • Independencia Para asegurar la existencia de curvas de indiferencias y la función de utilidad Para dar forma a las curvas de indiferencia y a la función de utilidad

11. Preferencias Se establecen sobre: • {xw: w Î W} • consumo contingente • pw Î P • y sus probabilidades Si w=1,2entonces se establecen sobre: (x1,x2;p1,p2) En lo que sigue xwes un número real: es como si fuera una elección sobre loterías

12. Completitud Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’). Entonces Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’). Entonces: • (x1,x2;p1,p2) ≽(x1’,x2’;p1’,p2’) • ó (x1’,x2’;p1’,p2’) ≽ (x1,x2;p1,p2) • ó (x1,x2;p1,p2) ∼ (x1’,x2’;p1’,p2’) • xw,xw’: w Î W • pw , pw’ Î P

13. Transitividad Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’). • si (x1,x2;p1,p2) ≽ (x1’,x2’;p1’,p2’) • y (x1’,x2’;p1’,p2’) ≽ (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’) • Entonces: (x1,x2;p1,p2) ≽ (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’) • xw,xw’,xw’’: w Î W • pw , pw’ , pw’’ Î P

14. huecos x x Continuidad: implicaciones • Preferencias no cotínuas xAZUL • Imponemos continuidad • Un plan de consumo contingente Y0 • Buscamos el punto E dada la continuidad • La renta x se conoce como el equivalente decerteza de Y0 no huecos • E • Y0 xROJO O

15. Monotonía (débil) Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2). Con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces: • (x1,x2;p1,p2) ≽ (x1’,x2’;p1,p2) • xw ,xw’: w Î W • pw Î P

16. Monotonía • El plan de consumo contingente Y1 es preferido a Y0 xAZUL • Y1 • Y0 xROJO O

17. Monotonía (estricta) Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2). Con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces: • (x1,x2;p1,p2) ≻ (x1’,x2’;p1,p2) • xw ,xw’: w Î W • pw Î P

18. Dominancia estocástica Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’). Si x1>x2 y si p1’>p1 y p2’ < p2 . Entonces: • (x1,x2;p1’,p2’) ≻ (x1,x2;p1,p2) • xw : w Î W • pw, pw’ Î P

19. Dominancia estocástica: ejemplo • (100,10; 0.7,0.3) ≻ (100,10; 0.5,0.5)

20. Convexidad (estricta) Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) ∼ (x1’,x2’;p1,p2). Para todo (x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’) • (x1’’,x2’’;p1,p2) ≻ (x1,x2;p1,p2) ∼ (x1’,x2’;p1,p2) • xw,xw’: w Î W • pwÎ P • tÎ (0,1)

21. Convexidad • Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 yY1 xAZUL • Puntos en el interior de la línea Y0Y1 como Y2 representa una combinación de Y0 y Y1 • Y1 • Y2 representa un menor riesgo • Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0 • Y2 • Y0 xROJO O

22. Independencia La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas sobre los resultados últimos. Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2), donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces: (x1, L’;p1,p2) ∼(x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’). • xw : w Î W • pwÎ P

23. Independencia: ejemplo • Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) • Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) • Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

24. Un resultado clave • Dados los axiomas anteriores: • ...las preferencias tienen que pertenecer a la clase de la utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern: UE(xw,pw) =åpw u(xw) w ÎW • donde u(xw) es una función cuasi-cóncava, independiente del estado w • Herstein y Milnorm (1953), Econometrica

25. pROJO – _____ pAZUL Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM • Una típica C.I. • ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? xAZUL • Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º xROJO O

26. pROJO – _____ pAZUL Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM(2) • Dado un consumo contingente xAZUL • Resultado (renta) media • Prolongamos la línea desde Y0 a Y hasta Y1 • Y1 • Y • Por convexidad de las preferencias: UE(Y)  UE(Y0) • Y0 un resultado útil xROJO O Ex

27. x(AZUL) p(ROJ) - p(AZUL) x(ROJO) La prima de riesgo... • De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A... • La pendiente es el ratio de probabilidades • Y corta a la diagonal en... • ...la renta media • Nos sirve para definir... • M • La prima de riesgo • E • A PR= Ex - x la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo Ex x

28. La prima de riesgo de nuevo • dada la utilidad de dos resultados posibles • El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado u • La utilidad esperada y el equivalente de certeza u(x) u(x2) • La prima de riesgo de nuevo u(Ex) Eu(x) la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo u( x1 ) x x x1 Ex x2

29. La prima de riesgo depende de... • La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2,dado p • Una aproximación de PR: • El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión al riesgo

30. Práctica 1 (24-11-2010): Fácil (A) Qué prefiere un consumidor: una casa valorada en 1 millón de u.m. con una probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01 ó una casa valorada en 2 millones con una probabilidad de pérdida de 0,005. • Medio (B) Compara la opción L1=(2, 1; 0.5, 0.5) con: • L2=(1.5, 1.2; 0.5, 0.5) • L3 =(1.5; 1.5; 0.5, 0.5) • Difícil (C) Compara la opción L1=(10, 5; 0.6, 0.4) con: • L2=(8, 8; 0.6, 0.4) • L3 =(11, 4; 0.6, 0.4) • L4 =(11, 3; 0.6, 0.4) • L5 =(11, 3.5; 0.6, 0.4) • L6 =(9, 7; 0.6, 0.4) • L7 =(9, 6; 0.6, 0.4)

31. Práctica 2 (24-11-2010): • Difícil En el partido de tenis del domingo pasado entre Federer y Ferrer estaban las apuesta 1,1 a 1 y 6,1 a 1, respectivamente. Calcule las probabilidades implícitas de victoria de cada jugador. Calcule igualmente las tasa de beneficios de la agencia de apuestas. • Explique los supuestos asumidos en esos cálculos.

32. Práctica: (1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01. (a) Si las preferencias están representadas por la función de urilidad esperada u(x)=x1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 300.000 u.m.? (b) Suponiendo que el riesgo del incendio es el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?

33. Práctica: (2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?

34. Práctica: (3) El propietario de un comercio valorado en 64 millones de ptas. Se enfrenta a la probabilidad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya totalmente el local. Las preferencias del individuo vienen dadas por la función de utilidad U(X)=X1/2, donde X es la riqueza al final del año. (a)Calcula la utilidad esperada del individuo y el equivalente de certeza. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones de ptas.? ¿Y por 63 millones? (b)Una compañía de seguros ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo a una cuota de 1 millón de ptas. ¿Aceptaría la oferta? (c)Considera ahora que el individuo dispone, además del comercio, de 1 millón de ptas. en efectivo. Una empresa le ofrece un equipo de prevención de incendios que reduciría al 0,5% la probabilidad del incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar 50.000 ptas. por el alquiler. ¿Cuál es la cantidad máxima que el individuo está dispuesto a pagar por el alquiler de dicho equipo?

35. Práctica: (4)En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de 200.000 u.m. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de 500.000 u.m. • (a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores. • (b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión. • (c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?

36. Práctica: • (5) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3. • (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? • (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

37. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 7 Rafael Salas noviembre de 2006