1 / 41

A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer

A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer. Kolarac, 4.12.2008. Šta su jednačine?. Primer:. Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?. Primer:.

sorena
Télécharger la présentation

A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. A. Krapež:Jednačine, grafovi i računari – jedan primer Kolarac, 4.12.2008.

  2. Šta su jednačine?

  3. Primer: • Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?

  4. Primer: • Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica? • P - 2 = 3 * (M - 3) • P + M = 4 * (P - M)

  5. Rešenje: • P = 5 • M = 3 • Perica ima 5 a Milica 3 godine.

  6. Problem: • Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?

  7. Problem: • Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan? • D = J + 4 • D + 3 = 5 * (J + 3)

  8. Rešenje? • D = 2 • J = -2 • Rešenje sistema jednačina nije rešenje problema zbog “nevidljive” pretpostavke J > -1 .

  9. Rešenje: • Osobe Dejan i Jovan takvi da zadovoljavaju uslove postavljenog problema ne postoje.

  10. Elementi koji određuju pojam jednačine: • Jezik na kome je jednačina formulisana • Oblast važenja • Skup rešenja

  11. Šta su funkcionalne jednačine?

  12. Primer: • Košijeva jednačina: f(x + y) = f(x) + f(y) f – neprekidna realna funkcija

  13. Rešenje: • f(x) = p * x (p – realan parametar) • Formulom je dato opšte rešenje.

  14. Primer: • Peksiderova jednačina: f(x + y) = g(x) + h(y) f, g, h – neprekidne realne funkcije

  15. Formule opšteg rešenja: • f(x) = p * x + a + b • g(x) = p * x + b • h(x) = p * x + a p, a , b – realni parametri

  16. Šta su grafovi?

  17. Elementi koji određuju pojam grafa: • Čvorovi • Grane • Incidencije

  18. Primeri: Dipol K3 Dipol K2 = D1 D3 “Dumbbell”

  19. Primeri: K5 K4 K1 K3,3

  20. Definicija Graf je planaran ako se može potopiti u euklidsku ravan tako da se grane seku samo u čvorovima. • Teorema Kuratovskog: Graf je planaran ako se u njega ne mogu upisati grafovi K5 i K3,3 .

  21. Primene: • Problem kenigsberških mostova • Problem putujućeg trgovca • Tokovi • Vodovodna mreža • Internet • Tokovi novca • “Južni tok”

  22. Šta su kvazigrupe?

  23. Grupe • Grupe simetrija Rubikova kocka • Automorfizmi struktura • Rešivost linearnih jednačina: a * y = c , x * b = c y = a-1* c , x = c * b-1

  24. Kvazigrupe • Jednoznačna rešivost linearnih jednačina: a * y = c , x * b = c y = a \ c , x = c / b levo deljenje desno deljenje

  25. Kvazigrupe • Grupa = kvazigrupa + asocijativnost x * (y * z) = (x * y) * z • Komutativna grupa = grupa + komutativnost x * y = y * x

  26. Važne kvazigrupe: kvazigrupe “linearne” nad grupama x . y = f-1(g(x) + h(y))

  27. Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu). Kvazigrupe A, B, C, D vezane uopštenom jednačinom asocijativnosti: A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z)) su sve linearne nad istom grupom.

  28. Kvazigrupe • Relativističko slaganje brzina • Kodovi koji otkrivaju (popravljaju) greške • Geometrijske rešetke • Latinski kvadrati • Dizajn eksperimenata

  29. Geometrijske rešetke 2 1 0 1 2 0

  30. Teorija Save Krstića • Veza uopštenuh kvadratnih funkcionalnih jednačina na kvazigrupama i konačnih povezanih kubnih grafova

  31. 1. primer • Jednačina uopštene asocijativnosti: A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z)) Krstićev graf jednačine: A B x y z D C

  32. 1. primer • To je graf K4 A B D C

  33. 2. primer • Jednačina uopštene tranzitivnosti: A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z) Krstićev graf jednačine: A B C x y z D

  34. Teorema. Sličnim jednačinama odgovaraju slični grafovi.

  35. Teorema. Operacije u jednačini su linearno povezane ako u Krstićevom grafu postoje 3 disjunktna puta između njih. Klasa povezanih operacija je linearna nad istom grupom akko ih ima >2 u klasi akko se K4uklapa u taj deo Krstićevog grafa. Klasa povezanih operacija je linearna nad istom komutativnom grupom akko taj deo grafa nije planaran akko se u njega uklapa graf K3,3 .

  36. Svojstvima geometrijskih rešetaka odgovaraju konfiguracije. • Konfiguracijama odgovaraju jednačine nad koordinatnim kvazigrupama. • Ako su ove jednačine kvadratne, umemo da ih rešimo i sledi da skoro uvek imaju za posledicu linearnost nad grupom koja je često komutativna.

  37. Tabela

  38. Graf jednačine sa 1 promenljivom x = x

  39. Grafovi jednačina sa 2 promenljive A(x, x) = B(y, y) A(x,y) = B(x,y) D3

  40. Grafovi jednačina sa 3 promenljive

  41. Grafovi jednačina sa 3 promenljive

More Related