4. Potenziale elettrico ed energia potenziale

1. 4. Potenziale elettrico ed energia potenziale Il Campo Elettrico è un concetto legato alla nozione di forza;è la forza che agisce sulla carica unitaria E = F / qed è una proprietà dello spazio e della distribuzione di carica che genera il campo. Vogliamo ora applicare i concetti di lavoro ed energia allo studio dei fenomeni elettrici. Come già nel campo della meccanica otterremo delle conseguenze molto interessanti. Prof Biasco 2007

2. q0 B A Potenziale elettrico ed energia potenziale Campo elettrostatico uniforme Consideriamo il campo elettrico uniforme E generato da un piano infinito di carica (positiva) e una carica di prova q0 positiva che vogliamo spostare dal punto A al punto B. Spostamento AB = s = d Prof Biasco 2007

3. Fe F B A Potenziale elettrico ed energia potenziale Per spostare la carica di prova a velocità costante (senza che ci sia aumento dell’energia cinetica) dovremo applicare una forza esterna Fe opposta alla forza F esercitata dal campo: Fe = Fdove F = q0E Prof Biasco 2007

4. Fe F Potenziale elettrico ed energia potenziale Il lavoro fatto dall’esterno We sarà: O anche: Il lavoro fatto We non viene perso ma si trova accumulato nella carica q0 che occupa la posizione B, è diventato energia di posizione della carica, cioè energia potenziale elettrica U Prof Biasco 2007

5. Fe F Potenziale elettrico ed energia potenziale Se alla carica q0 nel punto A associamo un’energia potenziale UA, in B la carica avrà l’energia potenziale UB = UA + U = UA + We = UA + q0 E s Quindi, anche:U = UB  UA = We A B L’energia potenzialeU e la variazione di energia potenziale Udipendono dal campo elettrico e, in particolare, dalla carica (di prova) e dal suo segno. Sono grandezze scalari, hanno le stesse dimensioni del lavoro e sono misurate in Joule. Prof Biasco 2007

6. Potenziale elettrico ed energia potenziale Variazione di Potenziale (elettrico)Si definisce variazione di potenziale V fra due punti del campo elettrico la variazione di en. potenziale tra i due punti diviso la carica q0 Potenziale ElettricoAnalogamente al concetto di campo possiamo definire, quindi, una grandezza che non dipende dalla carica ma solo dalle proprietà del campo. Tale concetto è il Potenziale Elettrico V. Prof Biasco 2007

7. Potenziale elettrico ed energia potenziale quindi la variazione di potenziale V è la variazione di en. Potenziale relativa all’unità di carica. Dalle relazioni precedenti si ha: U = UB  UA = We ==> UB = UA + U ==> Prof Biasco 2007

8. Potenziale elettrico ed energia potenziale Il potenziale V e la variazione di potenziale V si misurano in Volt (V) 1 Volt = 1 Joule/ 1 Coulomb da cui 1 Joule = 1 Volt  1 Coulomb Un’altra unità di misura molto utilizzata per l’energia è l’elettronvolt = prodotto della carica dell’elettrone per 1 volt 1 eV = (1,60 1019 C)  (1 V) = 1,60 1019 Joule 1 eV è uguale alla variazione di energia che subisce un elettrone che si muove tra due punti che hanno la differenza di potenziale di 1 volt. Esempio 1 pag 45 Prof Biasco 2007

9. F Fe B A s C Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el. Studiamo meglio la relazione che intercorre tra campo elettrico e potenziale. Se spostiamo la carica q0 da A a B (contro il campo) il potenziale aumenta Prof Biasco 2007

10. F Fe C s B A Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el. se invece la spostiamo è da A a C (nel verso del campo) il potenziale diminuisce. Prof Biasco 2007

11. Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el. Queste osservazioni ci consentono di scrivere la relazione tra variazione del potenziale e campo elettrico in questo modo: quando lo spostamento avviene nel verso contrario ad E ==> V > 0 quando lo spostamento avviene nel verso di E ==> V < 0 Prof Biasco 2007

12. Potenziale V s s A B C spostamento Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el. quando lo spostamento avviene nel verso contrario ad E ==> V > 0 quando lo spostamento avviene nel verso di E ==> V < 0 Prof Biasco 2007

13. Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el. Inoltre ==> Allora il campo E può essere misurato sia in Quindi, tanto più intenso è E tanto più velocemente varia il potenziale al variare dello spostamento. Esempio 2 pag 46 Esempio 3 pag 47 Prof Biasco 2007

14. 2 Conservazione dell’Energia Il campo elettrostatico, come il campo gravitazionale, è un campo conservativo. Quindi per esso vale il principio di conservazione dell’energia meccanica. E cinetica(A) + E potenziale(A) = E cinetica(B) + E potenziale(B) = Costante Cioè: Prof Biasco 2007

15. Conservazione dell’Energia Consideriamo un campo elettrostatico E uniforme e una carica di prova q0 di massa m posta in H.Sotto l’azione del campo la carica è soggetta alla forza F = q0 E costante e, se è libera di muoversi, si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione a = F/m = q0 E / m .- parte da H con velocità nulla, - transita per A con velocità vA- e per B con velocità vB allontanandosi poi all’infinito. + Prof Biasco 2007

16. Conservazione dell’Energia Esaminiamo quello che succede nel tratto AB.Essendo il moto unif accelerato ed essendo avremo: ma quindi Moltiplicando 1° e 2° membro per m/2 Prof Biasco 2007

17. Conservazione dell’Energia e infine Conservazione dell’energia In un campo elettrostatico la somma delle energie cinetica e potenziale è costante (in ogni punto del campo). Prof Biasco 2007

18. Conservazione dell’Energia • Osservazione • Le cariche positive accelerano nella direzione in cui il potenziale diminuisce: si muovono da punti a potenziale più alto a punti a potenziale più basso. • le cariche negative accelerano nella direzione in cui il potenziale aumenta: si muovono da punti a potenziale più basso a punti a potenziale più alto. • In tutti i casi una carica qualunque passa sempre da punti a energia potenziale più alta a punti ad energia potenziale più bassa.  Prof Biasco 2007

19. 3 Potenziale elettrico di una carica puntiforme Vogliamo calcolare ora il potenziale prodotto da una carica puntiforme. Consideriamo il campo elettrico E = k Q/r2 generato da una carica puntiforme (positiva) e una carica di prova q0 positiva che vogliamo spostare dal punto A al punto B. Spostamento AB = s =rB - rA F Fe s B A Prof Biasco 2007

20. Potenziale elettrico di una carica puntiforme Per spostare la carica di prova a velocità costante (senza che ci sia aumento dell’energia cinetica) dovremo applicare una forza esterna Fe (variabile) opposta alla forza F esercitata dal campo: Fe = Fdove F = q0E = q0 kq/r2 Il lavoro elementare dWe (relativo ad un piccolo spostamento ds in cui F si possa considerare costante) fatto dall’esterno sarà: e il lavoro totale We relativo allo spostamento AB Prof Biasco 2007

21. Potenziale elettrico di una carica puntiforme E quindi, la variazione di energia potenziale U e la variazione di potenziale V Prof Biasco 2007

22. Potenziale elettrico di una carica puntiforme Ora se consideriamo i punti all’ a potenziale zero e supponiamo di portare la carica da A (dall’infinito rA = ) al punto B Avremo la differenza di potenziale Per cui ad ogni punto del campo sarà associato il potenziale: e l’energia potenziale: Prof Biasco 2007

23. +Q Potenziale elettrico di una carica puntiforme Diagramma del Potenziale in funzione della distanza del campo generato da una carica puntiforme positiva +Q. Poiché la distanza dalla carica deve essere sempre considerata positiva il segno del potenziale dipende solo dal segno della carica.Il potenziale di una carica positiva tende a + quando ci si avvicina alla carica e a zero quando ci si allontana all’  Prof Biasco 2007

24. Q Potenziale elettrico di una carica puntiforme Diagramma Potenziale- distanza del campo generato da una carica puntiforme negativa  Q. Il potenziale di una carica negativa tende a  quando ci si avvicina alla carica e a zero quando ci si allontana all’  Prof Biasco 2007

25. Potenziale elettrico di una carica puntiforme Picco di potenziale di una carica puntiforme positiva +Q. Diagramma del potenziale per ogni punto P di un piano passante per la carica +Q Prof Biasco 2007

26. Potenziale elettrico di una carica puntiforme Buca di Potenziale di una carica puntiforme negativa Q. Diagramma del potenziale per ogni punto P di un piano passante per la carica Q Prof Biasco 2007

27. Sovrapposizione del Potenziale elettrico Il potenziale elettrico e l’energia potenziale elettrostatica soddisfano il principio di sovrapposizione Principio di SovrapposizioneIl potenziale elettrico totale di una distribuzione di più cariche è uguale alla somma algebrica dei potenziali delle singole cariche. Analogamente per l’energia potenziale elettrostatica. Vediamo alcuni esempi.. Esempio 7 pag 52Carica q = 4,11 10-9 C posta nell’origine e una carica -2q posta sull’asse x nel punto di ascissa 1,00 m. Prof Biasco 2007

28. q -2q Sovrapposizione del Potenziale elettrico Il potenziale in un punto qualsiasi dell’asse x è dato da: Prof Biasco 2007

29. Sovrapposizione del Potenziale elettrico Il potenziale in un punto qualsiasi del piano xy contenente le cariche +q e -2q Prof Biasco 2007

30. q q Sovrapposizione del Potenziale elettrico Esempio 7 pag 52Due cariche q1= q2 = 4 10-9 C poste sull’asse x nei punti di ascissa 1,0 m e -1,0 m. Prof Biasco 2007

31. Sovrapposizione del Potenziale elettrico Il potenziale in un punto qualsiasi del piano xy contenente le cariche +q e +q Prof Biasco 2007

32. 4 Superfici equipotenziali e campo elettrico Isobare: curve che uniscono tutti i punti alla stessa pressione. Isoipse: curve che uniscono tutti i punti aventi stessa altitudine. Superfici Equipotenziali: sono superfici che uniscono tutti i punti di un campo elettrico che hanno lo stesso potenziale. (nella nostra rappresentazione sul piano appaiono come linee equipotenziali). Se consideriamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q positiva, i punti a potenziale costante saranno tutti quelli che si trovano a distanza r = kQ/V dalla carica Q oppure Prof Biasco 2007

33. Superfici equipotenziali e campo elettrico Cioè sono sfere aventi centro nella carica Q e, nella rappresentazione piana, sono circonferenze aventi centro nella carica Q.. OssLe sup equipotenziali danno informazioni sull’intensotà e sulla direzione del campo elettrico. Prof Biasco 2007

34. Superfici equipotenziali e campo elettrico Intensità del Campo: il campo è più intenso dove le sup equipotenziali sono più vicine: infatti essendo E = V/ s il campo è più intenso dove maggiore è la variazione del potenziale rispetto alla distanza. DirezioneIl campo E è orientato nella direzione in cui diminuisce il potenziale ed è sempre perpendicolare alle sup equipotenziali. 5V 3V 1V Prof Biasco 2007

35. 5V 3V 1V Superfici equipotenziali e campo elettrico Osservazione Il lavoro che bisogna fare per spostare una carica lungo una sup. equipotenziale e sempre NULLO,infatti tra due suoi punti qualsiasi V = 0, quindi anche U = 0 e poichè W = U ==> W = 0 Prof Biasco 2007

36. Superfici equipotenziali e campo elettrico Essendo W = q0E x s = 0 Il campo elettrico E deve essere sempre perpendicolare allo spostamento s e quindi alla sup equipotenziale. Prof Biasco 2007

37. 25 V 20 15 10 5 0 V Superfici equipotenziali e campo elettrico Oss. Le superfici equipotenziali di un piano infinito carico sono, piani paralleli al piano stesso. Oss. Le superfici equipotenziali del campo tra le armature di un condensatore sono piani paralleli alle armature. Prof Biasco 2007

38. Superfici equipotenziali e campo elettrico Superfici equipotenziali del campo generato da due cariche puntiformi positive. ==> <== Superfici equipotenziali del campo generato da due cariche puntiformi una positiva e l’altra negativa (dipolo elettrico) Prof Biasco 2007

39. Potenziale nei Conduttori Nei corpi conduttori gli elettroni più esterni sono liberi di muoversi per cui, quando carichiamo un conduttore o lo immergiamo in un campo elettrico esterno, si verifica sempre una ridistribuzione di carica tale che tutti i punti del conduttore, interni e della superficie, si portano allo stesso potenziale. Tutto il volume del conduttore è equipotenziale Se così non fosse, tra i punti del conduttore vi sarebbe una d.d.p.  0 (quindi un campo elettrico E  0) che determinerebbe un movimento di carica, mentre il conduttore è in equilibrio elettrostatico. Prof Biasco 2007

40. Campo elettrico - Potenziale m +Q Potenziale nei Conduttori Rappresentiamo graficamente l’andamento del campo elettrico E e del potenziale V nel caso di un conduttore sferico carico positivamente. • Il campo elettrico all’interno è nullo Ei = 0 • All’esterno è max sulla superficie e decresce in ragione del quadrato della distanza E = k Q/d2 • Il potenziale V all’interno e sulla superficie ha valore max ed è costante. • All’esterno decresce in ragione della distanza V= kQ/d quindi decresce più lentamente del campo E. Prof Biasco 2007

41. Potenziale nei Conduttori Se il conduttore non è sferico, il potenziale rimane sempre costante e ciò determina una concentrazione della carica in corrispondenza delle zone più appuntite dove anche il campo elettrico è più intenso. Consideriamo il conduttore in figura Prof Biasco 2007

42. Potenziale nei Conduttori Per semplificare il ragionamento possiamo schematizzare il conduttore mediante due conduttori sferici di raggio R e R/2 collegati da un filo conduttore in modo che le due sfere siano allo stesso potenziale. Se la distanza tra i due conduttori è abbastanza grande rispetto ai loro raggi, il potenziale di ciascuna sfera è praticamente dovuto alla sola carica posseduta dal conduttore, l’effetto dell’altra sfera è trascurabile. Prof Biasco 2007

43. Potenziale nei Conduttori Potenziali 1° e 2° conduttore ma i potenziali sono uguali La carica del 1° conduttore è doppia della carica del 2° conduttore Prof Biasco 2007

44. Potenziale nei Conduttori Ma passando al calcolo della densità superficiale di carica dei due conduttori avremo: La densità superficiale di carica del conduttore più piccolo (di raggio R/2) è doppia di quella del conduttore più grande (di raggio R). Cioè la carica è più concentrata sulla sfera più piccola Prof Biasco 2007

45. Potenziale nei Conduttori Mentre per i campi elettrici sulla superficie dei due conduttori avremo: Il campo elettrico E2, sulla superficie della sfera più piccola, ha intensità doppia di quella del campo elettrico E1 sulla superficie del conduttore più grande. Prof Biasco 2007

46. Carica Q 2Q Q Potenziale V V 2V 5 Capacità, Condensatori e dielettrici Se ad un corpo conduttore forniamo una carica Q esso assume il potenziale Vse raddoppiamo la carica 2Q il potenziale raddoppia 2Vse 3Q -----> 3Vse Q/2 ------> V/2 Prof Biasco 2007

47. Capacità, Condensatori e dielettrici Le due grandezze sono direttamente proporzionali, il loro rapporto C è costante è rappresenta la carica del conduttore per unità di potenziale. Definizione: Si dice Capacità di un conduttore il rapporto tra la sua carica e il suo potenziale, cioè la carica per unità di potenziale Prof Biasco 2007

48. Capacità, Condensatori e dielettrici L’unità di misura nel S. I. è il Farad FUn conduttore ha la capacità di 1 farad se trovandosi al potenziale di 1 volt possiede la carica di 1 coulomb Il farad è capacità molto grande, capacità Terra = 103 F microfarad F = 106 F nanofarad nF = 109 F picofarad pF = 1012 F Prof Biasco 2007

49. Capacità, Condensatori e dielettrici La capacità di un conduttore dipende - dalla sua forma - dalla presenza di altri conduttori - dall’isolante interposto (dielettrico). Capacità di un conduttore sferico isolato Calcoliamo la capacità di un conduttore avente la carica Q, potenziale V e raggio R. La capacità del conduttore sferico isolato dipende solo dal raggio e dal dielettrico. Prof Biasco 2007

50. Capacità, Condensatori e dielettrici Capacità della Terra Il risultato precedente ci permette di calcolare la capacità del globo terrestre che è un conduttore. Nonostante la Terra sia un conduttore enorme la sua capacità è solo dell’ordine di 103 Farad Prof Biasco 2007