560 likes | 875 Vues
Bby 252 AraştIrma yöntemlerİ DağIlIMLAR , OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI. DERS İÇERİĞİ. Olasılık, ortaya çıkışı ve anlamı Örneklem uzayı Faktörüyel , Permütasyon , Kombinasyon Koşullu olasılık Raslantı değişkeni Bir değişkenin dağılımı O lasılık dağılımları B inom dağılımı
E N D
Bby 252 AraştIrmayöntemlerİDağIlIMLAR, OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI
DERS İÇERİĞİ • Olasılık, ortaya çıkışı ve anlamı • Örneklem uzayı • Faktörüyel, Permütasyon, Kombinasyon • Koşullu olasılık • Raslantı değişkeni • Bir değişkenin dağılımı • Olasılık dağılımları • Binom dağılımı • Poisson dağılımı • Normal dağılım • Örneklem dağılımları • Ki-kare dağılımı • t dağılımı • F dağılımı
OlasILIK KAVRAMI • Ortaya çıkışı • 1654 • Kumarbaz, Fransız MereŞövalyesi AntonieCombauld • Şans oyunlarındaki gerçek olasılığı öğrenme isteği • Bu amaçla Pascal ve Fermat ile iletişim • 1713 – Bernoulli’nin olasılık kuramı ile ilgilenmeye başlaması Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95
OlasILIK • Raslantı ve kesin olmayan olaylar • Rasgele deney: Çeşitli sonuçlar verebilen bir deneyin herhangi bir tekrarında hangi sonucun elde edileceği tamamen şansa bağlı ise • Olasılık böyle durumlarda ortaya çıkan belirsizliği sayısal olarak ifade etmek için geliştirilmiş bir düşünce aracı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95
ÖRNEKLEM UZAYI • S • Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan küme • Bir zar atma denemesinde örneklem uzayı • S={1, 2, 3, 4, 5, 6} • Bir paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı • S={Yazı, Tura} • Üç paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı • S={YYY, TYT, YTT, TTY, YYT, YTY, TYY, YYY} Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96
ÖRNEKLEM UZAYI • Bir zar atma denemesinde, • Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları birbirine eşit • S={1, 2, 3, 4, 5, 6} • 1/6 • İçinde 7 beyaz, 6 kırmızı, 8 yeşil top bulunan bir torbadan, bir top çekildiği zaman , • S={Beyaz, Kırmızı, Yeşil} • Örneklem uzayının noktalarının olasılığı birbirinden farklı • Beyaz top gelme olasılığı 7/21, kırmızı top gelme olasılığı 6/21, yeşil top gelme olasılığı 8/21 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96
soru 1 • İki zarın birlikte atılması durumunda örneklem uzayı nedir? Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir? • Bir paranın iki defa atılması deneyi için örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir?
ÖRNEKLEM UZAYI • Olay: Örneklem uzayındaki noktaların bir alt kümesi • Rasgele olay: Gerçekleşmesi raslantıya bağlı olaylar • Bir zarın atılmasında, A çift sayı gelme olayı ise, • A={Çift sayı}={2, 4, 6} • İki para atma denemesinde, • S={YY, YT, TY, TT} • B, en az bir yazı gelmesi olayı ise, • B={En az bir yazı}={YY, YT, TY} Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96
N Faktörİyel • n! • 1’den n’ye kadar olan pozitif tamsayıların çarpımı • n!=1.2. … .n=n(n-1)(n-2) … 2.1 • 0!=1 • 1!=1 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98
PERmütasyon • Sıra Düzen • n farklı nesnenin k (kn) tanesi sıralanırsa elde edilecek değişik düzenlerin sayısı • nPk= n! / (n-k)! , k<n ise, • nPk= n! , k=n ise. • A, B, C gibi 3 öğrenci bir sırada kaç farklı şekilde oturabilir? • 3!=6 • ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98
KOMBİnasyon • Birleşim • n farklı nesneden düzenleme sırasına bakılmadan r tanesinin seçimi • nCr= n! / r!(n-r)! • 3 kitap arasından 2’sinin seçilmesi durumunda • 3!/2!(3-2)!=3 • Kombinasyonlar • AB, AC, BC • Permütasyonlar • AB, BA – AC, CA – BC, CB Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 99
olasILIK • Bir denemede n tane sonuç varsa, her sonucun ortaya çıkma olasılığı eşit ve ilgilenilen sonuç sayısı m ise bu olayın olasılığı, • P(m)=İlgilenilen olayın sonuç sayısı/Olası tüm sonuçların sayısı=m/n • Olasılık daima 0 ile 1 arasında bir değer alır • 0P1 • Olasılık uzayı: Olasılık fonksiyonunun belirtildiği örneklem uzayı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 100
olasILIK • 200 ailenin çocuk sayısına göre dağılımları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin 4 çocuklu olma olasılığı nedir? • P(4)=20/200=1/10 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 101-102
KOŞULLU olasILIK • Bir olayın gerçekleşmesi, başka bir olayın gerçekleşmesi koşuluna bağlı ise • P(B/A)=P(AB)/P(B) Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104
KOŞULLU olasILIK A • 80 ailenin ekonomik durumu ve istedikleri çocuk sayıları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin zengin olduğu bilindiğine göre, istediği ideal çocuk sayısının 1 olması olasılığı nedir? • P(A/B) = (12/80) / (22/80) = 12/22 B Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104-105
RASLANTI Değİşkenİ • Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinmeyen bir değişken • Bir olasılık uzayında her basit rasgele olaya sayısal değer atayan bir fonksiyon • Bir kavşağa bir dakikada gelen araba sayısı, bir yıldaki yağışlı günlerin sayısı, bir noktadaki rüzgar hızı, bir akarsudaki akımın debisi, belli bir bileşiğin alkol yüzdesi, belli sayıdaki ailede kız çocuk sayısı, tüberkülozlu hastaların akciğerlerindeki leke sayısı, bir zar atma denemesinde çift sayıların gelmesi Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105
RASLANTI Değİşkenİ • İki parayı atma denemesinde X raslantı değişkeni tura sayısını göstersin • S = {YY, YT, TY, TT} • X = {0, 1, 2} • Kesikli raslantı değişkeni: Xraslantı değişkeninin olası değerleri sayısı sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise • Kız çocuk sayısı, tura sayısı • Sürekli raslantı değişkeni: Xraslantı değişkeninin tanım bölgesi bir aralık ya da aralıklar kümesi ise • Zaman, ağırlık, yükseklik Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105-107
soru 2 • Bir önceki slayttaki bilgileri dikkate alarak, • İki tura gelmesi olasılığı nedir? • Bir tura gelmesi olasılığı nedir? • Hiç tura gelmemesi olasılığı nedir? • En az bir tura gelmesi olasılığı nedir?
olasIlIkDağIlImlarI • Bir torbada bulunan eşit sayıdaki yeşil ve beyaz toplardan rasgele 3 top seçilsin • S = {YYY, YYB, YBY, YBB, BYY, BYB, BBY, BBB} • İlgilenilen sonuç yeşil top sayısı olduğunda Xraslantı değişkeni, • X = {0, 1, 2, 3} Son sütundaki olasılıkların oluşturduğu dağılım «Olasılık Dağılımı» Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109
olasIlIkDağIlImlarI • Kesikli raslantı değişkeni • Olasılık fonksiyonu • Sürekli raslantı değişkeni • Olasılık yoğunluk fonksiyonu Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109
olasIlIkDağIlImlarI • Binom dağılımı • Poisson dağılımı • Normal dağılım
BİnomdağILIMI • Kesikli raslantı değişkenlerinin oluşturdukları bir dağılım • İki olası sonuç ile ilgilenir • Erkek-kız, yazı-tura, başarılı-başarısız, sağlam-bozuk, ölü-canlı, olumlu-olumsuz Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109
BİnomdağILIMI • Bir para atma deneyinde iki sonuç vardır: yazı ya da tura • Paranın ilk atılmasında yazı gelmesi olasılığı 1/2=p • Birinci atışta yazı ikinci atışta yazı gelmesi olasılığı 1/2.1/2=p² • Üç atışın üçünde de yazı gelmesi olasılığı 1/2.1/2.1/2=p³ • Bu deney n kez yinelendiğinde yazı sayısı X bir binomraslantı değişkenidir • n denemede x tane yazı ve (n-x) tane tura gelmesi olasılığı • x tane yazı ve (n-x) tane tura n!/(x!(n-x)!) farklı düzende ortaya çıkar Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111
BİnomdağILIMI • Sonuç olarak, n denemede x yazı gelmesi (n-x) tura gelmesi olasılığı, • ( n!/(x!(n-x)!) ) . Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111
POİSSON dağILIMI • Önemli bir kesikli dağılım • Az raslanan fakat her defasında belirli bir olasılıkla meydana gelen olaylarının oluş sayılarının dağılımı • Belli bir zaman aralığında bir telefon kulübesine gelen konuşma sayısı, bir grup maldan alınan örneklemden çıkacak bozuk mal sayısı, bir fabrikada dokunan kumaşlar arasında günlük raslanan hatalı kumaş sayısı gibi kesikli raslantı değişkenlerinin dağılımı • Olasılık fonksiyonu /, x=0,1,2,… (e=2,72) • 𝜆, belli bir zaman aralığında ya da belli bir yerde istenen olayın ortalama ortayaçıkma sayısı, 𝜆=n.p Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 116
POİSSON dağILIMI • Bir kavşakta haftada ortalama kaza sayısı 3’tür. Bir haftada 5 kaza görülmesi olasılığı nedir? • 𝜆=3 • /5 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 117
NorMALdağILIM • Hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılım • 18.yy’da ölçüm hatalarının dağılımı olarak ortaya çıkmış • İlk olarak 1733 yılında DeMoivre tarafından matematiksel olarak tanımlanmış • 1775, Laplace - bu dağılım üzerine çalışmalar • 1809, Gauss – Normal dağılım ile ilgili ilk basılı eser • Gauss Dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123
NorMALdağILIM • İstatistikte önemli bir yerinin olmasının nedeni • Yapılan birçok gözlem sonucunun çan biçiminde bir dağılım vermesi • Çoğu dağılımın denek sayısı arttıkça normal dağılıma yaklaşması • Sürekli raslantı değişkeni ---olasılık yoğunluk fonksiyonu • İki parametresi • Kitle ortalaması 𝜇 • Kitle varyansı𝜎² - ortalama etrafındaki yayılmayı gösterir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123-124
NorMALdağILIM • Ortalamaya göre simetrik • Bir değişken normal dağılıma sahip ise, • Aritmetik ortalama = tepe değeri = ortanca Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 124-125; Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250
NorMALdağILIM • Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %68,26 • Normal dağılıma sahip bir değişkene 2 standart sapma eklenip, 2 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %95,44 • Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %99,74 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250-252
NorMALdağILIM Soru: hastaların iyileşme süresi ortalama 20 gün ve varyansı 25 gün olan bir normal dağılım ise, iyileşme oranı 15 ile 25 gün arasında olan hastaların oranı nedir? Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 251
NorMALdağILIM • Normal dağılım eğrisinin şekli ortalama ve varyans parametreleri tarafından belirlenmekte Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 253
NorMALdağILIM • Ortalamalar aynı, varyanslar farklı ise
NorMALdağILIM • Ortalamalar farklı, varyanslar aynı ise
STANDART NorMALdağILIM • Ortalaması 1, varyansı 0 olan standart normal dağılım
ÖRneklemdağILIMlarI • Örneklem üzerinde çalışılıyorsa • İstatistik • Farklı örneklemlerden hesaplanabilecek istatistik değerlerinin dağılımı • Örneklem dağılımı: Aynı kitleden alınmış aynı büyüklükteki örneklemlerden bulunan değerlerin/istatistiklerin olasılık dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 157
Z dağILIMI • Standart normal dağılıma sahip değişkenlerde alan hesabı için kullanılmakta • Normal dağılıma sahip değişkenler aşağıdaki gibi standart normal dağılıma sahip değişkenlere dönüştürülerek kullanılır • (X-Ortalama) / Varyans Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262
Z dağILIMI • İlaçla tedavi edilen hastaların iyileşme süresine göre dağılım ortalaması 20 gün, varyansı 25 gün olan bir normal dağılımdır. 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı nedir? 20 22 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262-263
Z dağILIMI P(x<22) = P(Z<0,40) = ? Z tablosundan Z<0,40 değerinin bulunması gerek Z tablosu - P(x<22) = P(Z<0,40) =0,6554 = %66 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı %66 Standart normal dağılıma dönüştürme (22-20) / 5 = 0,40 0 0,4 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262
Ödev Aynı soru için aşağıdaki olasılıkları bulunuz. a. 28 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? b. 18 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? c. 15 günden daha az sürede iyileşme olasılığı? d. 21 gün ile 26 gün arasında iyileşme olasılığı? e. 14 gün ile 23 gün arasında iyileşme olasılığı? Teslim tarihi: 25 Nisan 2013 - Perşembe
Kİ-KARE DaĞILIMI • 1889, Karl Pearson • Ki-kare tablosu • Ortalaması 0, varyansı 1 olan normal dağılıma sahip raslantı değişkenlerinin toplamı ile elde edilir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 158