Meccanica 3 7 marzo 2011

1. Meccanica 37 marzo 2011 Cinematica in due dimensioni Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale Coordinata curvilinea Accelerazione media e istantanea Accelerazione in coordinata curvilinea Cerchio osculatore Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane Vettore velocita` angolare

2. Moto su di un piano • Ovvero moto in due dimensioni • Ora è necessario specificare due coordinate per individuare compiutamente il moto di un corpo • Scelte più frequenti: • Coordinate cartesiane • Coordinate polari • Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto • Molto di quanto diremo per un piano può estendersi immediatamente allo spazio

3. Vettori su di un piano • Spostamento, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali • Ogni vettore su di un piano può essere espresso come somma di due vettori • Per lo spazio: ogni vettore può essere espresso come somma di tre vettori • Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti versori o vettori unitari, in quanto hanno intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle

4. Vettore posizione • Il vettore posizione si può quindi scrivere • In coord. cartesiane • In coord. polari • Ove le funzioni che moltiplicano i versori sono le proiezioni del vettore lungo le direzioni dei versori stessi • Similmente in tre dimensioni • In coord. cartesiane • In coord. sferiche

5. Vettore posizione • Una importante differenza tra sistema cartesiano e polare è che nel primo l’orientazione dei versori è indipendente dal particolare vettore posizione e quindi dal tempo, mentre nel secondo in generale dipende da questi

6. Vettore spostamento • È la differenza di due vettori posizione, ad esempio e

7. Vettore spostamento • In coordinate cartesiane lo spostamento si può esprimere • Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in quanto sono gli stessi per i due vettori posizione

8. Vettore spostamento • In coordinate polari lo spostamento si può esprimere con i versori relativi a • Ciò in pratica equivale a proiettare lungo e lungo la direzione perpendicolare, f

9. Vettore velocità • Similmente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definiamo la velocità media come • Che è da intendersi, in coordinate cartesiane, come • Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y

10. Vettore velocità • La velocità istantanea è, di nuovo, il limite della velocità media quando l’intervallo di tempo tende a zero:

11. Vettore velocità • In coordinate polari avremo • Ove ora la coppia di velocità è formata dalla velocità radiale (cioè lungo ) e da quella azimutale (cioè lungo )

12. Vettore velocità • E per la velocita` istantanea: • È importante esprimere in altro modo la velocità azimutale

13. Vettore velocità • Se l’intervallo di tempo è infinitesimo, anche il vettore spostamento sarà tale

14. Vettore velocità • Per trovare la velocità basta dividere lo spostamento per l’intervallo di tempo: • Dal confronto con l’espressione precedentemente trovata, abbiamo che la velocità azimutale è

15. Vettore velocità • Interpretazione geometrica del vettore velocita` media: • la direzione e` quella della secante alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori e • il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento

16. Vettore velocità • Interpretazione geometrica del vettore velocita` istantanea: la direzione e` quella della tangente alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t • il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento

17. Velocita`: riassunto • Velocita` in coordinate cartesiane: • Componenti: • Modulo: • Velocita` in coordinate polari: • Componenti: • Modulo: Generalizzabile Immediatamente al moto nello spazio

18. O Coordinata curvilinea • Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla traiettoria • s esprime la lunghezza della traiettoria • ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla traiettoria, cioe` la velocita` istantanea • Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore uT che individua la direzione della tangente alla curva

19. Un risultato importante • Nel definire la velocita` abbiamo introdottoil versore uT • Calcoliamo ora la derivata di uT rispetto al tempo, tale risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione

20. Un risultato importante • Troviamo la differenza dei versori uT calcolati nei due istanti di tempo, con considerazioni geometriche • La direzione sia individuata da un versore e, che dipende pure dai due istanti di tempo • Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica • Avremo

21. Un risultato importante • La derivata e` dunque il limite del rapporto • Facendo opportune manipolazioni algebriche e applicando il teorema del limite di un prodotto : • Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la derivata temporale dell’angolo f, il terzo termine e` il versore uN perpendicolare a uT e rivolto verso la convessita` locale della traiettoria In modo simile avremmo potuto calcolare la velocita` a partire dal vettore posizione

22. Analogamente • Possiamo ripetere le considerazioni anche per il versore r • Il terzo termine e` ora il versore f

23. Analogamente • Idem per il versore f • Il terzo termine e` ora il versore -r

24. Velocita` in coordinate polari • Con i risultati raggiunti possiamo ri-calcolare facilmente la velocita` in coordinate polari f • Che e` l’espressione ottenuta precedentemente

25. Vettore accelerazione • E` definito come • Usando per convenienenza la coordinata curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`: • Mentre per definire la velocita` basta il vettore uT, per l’accelerazione ne servono, in generale, due: uT e uN

26. Vettore accelerazione • Il primo va a costituire l’accelerazione tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e` relativo alla variazione di modulodella velocita` • Il secondo l’accelerazione normale, cioe` perpendicolare alla traiettoria e verso la convessita` di questa: e` relativo alla variazione di direzione della velocita`

27. Moto circolare • Sono i moti che avvengono lungo una circonferenza • Poiche’ la velocita` cambia direzione continuamente, deve essere sempre presente un’accelerazione • Se la velocita` e costante in modulo il moto si dice uniforme • Si puo` descrivere il moto o con la coordinata curvilinea s o con la coordinata angolare q, corrispondente all’angolo al centro sotteso da s

28. Moto circolare • Similmente a quanto fatto per il moto unidimensionale, si definiscono • Posizione angolare q • Spostamento angolare Dq • Velocita` angolare media • Velocita` angolare istantanea • Accelerazione angolare media • Accelerazione angolare istantanea

29. Moto circolare • In un moto circolare la velocita` radiale e` sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non cambia in modulo (ma solo in direzione) • La velocita` coincide quindi con la velocita` azimutale • La velocita` e` costante se e solo e` tale la velocita` angolare

30. Moto circolare uniforme • Il modulo della velocita` e` costante • Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla • Rimane l’accelerazione normale (centripeta) • Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo di percorrenza della circonferenza:

31. Moto circolare non uniforme • Cioe` il modulo della velocita` non e` costante • In questo caso c’e` accelerazione tangenziale • Inoltre l’accelerazione centripetanon e` costante, cio` e` conseguenza della formula che la lega alla velocita`: • Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita` angolare segue che quest’ultima non e` costante e quindi esiste un’accelerazione angolare

32. Esempio: moto circolare uniformemente accelerato • Cioe` con accelerazione angolare costante • Dalla formula precedente cio` equivale ad avere un’accelerazione tangenziale costante • Integrando l’equazione che definisce a, troviamo per la velocita` angolare: • E l’accelerazione centripeta risulta dipendente dal tempo:

33. q Moto circolare uniforme • Se proiettiamo il moto sui due assi cartesiani, con origine nel centro della circonferenza: • Ove q0 e` il valore assunto dall’angolo al tempo t=0 • Abbiamo ottenuto l’importante risultato che il moto circolare uniforme puo` essere pensato come la sovrapposizione vettoriale di due moti armonici di ugual ampiezza, sfasati di un quarto di periodo R

34. Esercizio • Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione dei due moti lungo x e y

35. Esercizio • Dati i due moti lungo x e y • Trovare: a) l’equazione della traiettoria, eliminando il tempo dalle equazioni; b) l’espressione della distanza radiale r(t); c) l’espressione della coordinata angolare f(t); d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane; e) il vettore velocita` in coordinate polari

36. Esercizio • 1) n. 2.24 pag 47 MNV

37. Vettore velocita` angolare w • Possiamo considerare la velocita` angolare del moto circolare un vettore • Il modulo e` • La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare • Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra: e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita • Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta perpendicolare al piano del moto circolare passante per il centro della circonferenza • Si deve pensare che il vettore w sia applicato ad un punto (per altro arbitrario) dell’asse di rotazione

38. w r v w a r v aT aN Vettore velocita` angolare w • Grazie ad w possiamo esprimere la velocita` come • Ove r e` il vettore distanza tra il punto di applicazione di v e quello di w (punto arbitrario sull’asse di rotazione) • Derivando w rispetto al tempo otteniamo il vettore accelerazione angolare a • Calcoliamo l’accelerazione a con le due componenti tangenziale e centripeta:

39. Esercizio • Un punto P si muove di moto rettilineo • Un osservatore O, che non giace sulla retta percorsa da P, vede il punto muoversi con velocita` angolare w • Trovare come varia w in funzione della posizione di P P q h O

40. Cerchio osculatore • Consideriamo una traiettoria planare • In un suo punto arbitrario P tracciamo una circonferenza: abbiamo possibilita` doppiamente infinite di scelta, corrispondenti alle due coordinate del centro della circonferenza • Se chiediamo inoltre che la circonferenza abbia in P la stessa tangente della traiettoria, la scelta si riduce a semplicemente infinita, corrispondente alla lunghezza del raggio della circonferenza (il centro deve infatti trovarsi sulla retta perpendicolare in P alla tangente) P P

41. P Cerchio osculatore • Se inoltre chiediamo che in P la derivata seconda del cerchio sia uguale a quella della traiettoria, abbiamo una sola possibilita` di scelta • Questa circonferenza, determinata univocamente, prende il nome di circonferenza osculatrice (CO) • Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima localmente la traiettoria • Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della traiettoria • In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del raggio

42. Cerchio osculatore: casi particolari • Nei punti di flesso della traiettoria la derivata seconda cambia segno (cioe` si annulla) • In questo caso la circonferenza degenera in una retta • Ovvero si puo` immaginare che il raggio di curvatura diventi infinitamente grande • Nei punti angolosi non si puo` definire un cerchio osculatore • Tutt’al piu` si puo definirne uno a destra e un altro a sinistra del punto P P

43. Accelerazione e cerchio osculatore P • Vediamo ora che relazione esiste tra velocita` sulla traiettoria e circonferenza osculatrice • Sia C il centro della CO • Accanto alla coordinata curvilinea s sulla traiettoria, introduciamo anche sulla CO una coordinata curvilinea s’ • Consideriamo uno spostamento infinitesimo nel punto P, questo si puo` scrivere, per definizione di CO: ds=ds’ (a meno di termini di ordine superiore a due) • Se ora introduciamo l’angolo g con vertice in C e semiretta origine CP, possiamo scrivere lo spostamento infinitesimo lungo la CO in termini di quest’angolo e del raggio R della CO: ds’=Rdg • Otteniamo infine ds=Rdg C P dg R C

44. Accelerazione e cerchio osculatore Considerazioni indipendenti dal sistema di riferimento • Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la velocita` lungo la traiettoria e sulla CO: • Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo df definito dalle perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della traiettoria coincide con l’angolo dg della CO, quindi • La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere (in modulo): • Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre, istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore