Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional

1. Proporcionalidade e Raciocínio Proporcional Sandra Marques Escola ??? Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

2. Introdução O conceito de proporcionalidade e o raciocínio proporcional estão de tal forma interligados que não se pode mencionar um sem se referir o outro, tendo ambos grande importância no currículo de Matemática. • Pretende-se: • analisar as perspectivas teóricas e a investigação empírica realizada sobre este tema (em especial, sobre as dificuldades na aprendizagem dos alunos); • identificar o seu lugar no currículo; • passar em revista os estudos sobre a sua abordagem nos manuais escolares. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

3. A perspectiva de Lesh, Post e Behr O raciocínio proporcional é fundamental na aprendizagem da Aritmética, Números e Medidas, bem como na aquisição de conceitos algébricos. Este raciocínio é desenvolvido quando o aluno: • raciocina mediante relações globais entre expressões racionais (taxas, razões, quocientes e fracções); • sintetiza vários aspectos relacionados com estas expressões; • consegue inferir igualdade ou desigualdade entre elas; • é capaz de descobrir partes omissas numa expressão; Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

4. A perspectiva de Lesh, Post e Behr (II) • reconhece que duas estruturas são idênticas; • ultrapassa a noção simples de que dois membros de uma equação são iguais (8/4 = 5-3); • faz comparações múltiplas (capacidade mental de lidar e processar informação dispersa); • tem noção de co-variação; • é capaz de pensar qualitativamente e quantitativamente. Desenvolvimento de competências locais Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

5. Alina Spinillo - Perspectiva • Do seu ponto de vista, o raciocínio proporcional requer: • o reconhecimento de equivalência entre situações distintas; • o pensar em termos relativos em vez de o fazer em termos absolutos; • a determinação de relações de segunda ordem que ligam duas ou mais relações de primeira ordem. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

6. Alina Spinillo - Estudo • Objectivo do estudo (2002) • Dotar as crianças da estratégia de “metade”; • Determinar a equivalência ou não entre situações representadas por quantidades contínuas; • Reflectir e trabalhar com relações de 1ª ordem. Resultados • Independentemente da idade, as crianças que receberam a intervenção conseguiram alcançar um nível de compreensão mais elaborado sobre proporção do que as crianças dos outros dois grupos no pós-teste; • As justificações dadas pelas crianças do grupo experimental, evidenciam comparações relativas (ao invés de absolutas) e capacidade de trabalhar relações de 2ª ordem. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

7. Alina Spinillo – Estudo (II) Resultados (cont.) • Após a intervenção, percebe-se que as crianças estabelecem relações de 2ª ordem com base no referencial de “metade”; • A estratégia de “metade”, aprendida numa determinada situação, é transferida para situações análogas e mais complexas; • O referencial de “metade” facilita a determinação de relações de 1ª e de 2ª ordem. Conclusões do estudo • Introdução do conceito de proporcionalidade em anos de escolaridade mais baixos que os actuais; • Abordagem ao tema com base em situações-problema que possam ser resolvidas através da estratégia de “metade” e do uso de estimativas. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

8. Síntese de ideias fundamentais • O raciocínio proporcional... • ... depende da aquisição de destrezas globais relacionadas com algumas estruturas cognitivas gerais (Psicologia do Desenvolvimento); • ... caracteriza-se por uma evolução crescente de competências locais (Educação Matemática). O desenvolvimento cognitivo que precede a evolução gradual destas competências locais assume grande importância na investigação e no ensino do raciocínio proporcional Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

9. Principles and standards (NCTM, 2000) • Pre-K-2 • aquisição de noções simples de compreensão e representação de fracções como 1/2, 1/3 e 1/4; • reconhecimento de padrões; • capacidade de os classificar. • Grades 3-5 • desenvolvimento da compreensão de fracção como parte de um todo e como uma divisão; • reconhecimento e criação de equivalência entre as formas mais simples de fracções, números decimais e percentagens (números de referência ½ e 1); • desenvolvimento do raciocínio sobre relações matemáticas. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

10. Principles and standards (NCTM, 2000) (II) • Grades 6-8 • expandir capacidades de raciocínio, nomeadamente o proporcional; • aprofundar a competência crítica de conjecturas; • fazer uso dos raciocínios indutivo e dedutivo; • resolver problemas que envolvam razões, taxas, percentagens e operações. • O raciocínio proporcional implica: • reconhecimento de quantidades proporcionais; • manipulação de números, tabelas, gráficos e equações. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

11. Principles and standards (NCTM, 2000) (III) Números e operações Proporcionalidade Álgebra Geometria Medida Análise de dados e probabilidade O currículo deve prever o ensino-aprendizagem da proporcionalidade desde os primeiros anos de escolaridade, por tratar-se de um tópico central de inter-relacionamento com todos os outros tópicos e ter implicações para o sucesso da aprendizagem nos anos mais avançados. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

12. PCN - Brasil 2º ciclo (3º e 4º anos do 1º ciclo) • apresentação de situações problemáticas cujas soluções não estão no conjunto dos números inteiros (aproximação à noção de n.º racional); • compreensão de n.º racional enquanto quociente, parte-todo e razão; • uso de percentagem no contexto diário; • cálculo simples de percentagens. • 3º ciclo (5º e 6º anos do 2º ciclo) • observação da variação entre grandezas, relacionando-as entre si; • construção de estratégias de solução para resolver situações que envolvam proporcionalidade. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

13. Documentos portugueses Programa de Matemática Desenvolvimento do conceito de proporcionalidade directa Situações da vida real (problemas de percentagem e escalas) Conteúdos • constante de proporcionalidade; • proporções; • percentagens e gráficos circulares; • escalas. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

14. Documentos portugueses Currículo Nacional • Números e Cálculo • o aluno deve desenvolver o reconhecimento de situações de proporcionalidade directa; • ... a aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos. 2º ciclo • Álgebra e Funções (ao longo de todos os ciclos) • ... analisar as relações numéricas de uma situação e concretizar, em alguns casos, relações entre variáveis e fórmulas; • ... procurar soluções de equações simples. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

15. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

16. Dificuldades no ensino-aprendizagem e suas origens Um dado incontornável da experiência de todos os professores é que os alunos sentem grandes dificuldades na compreensão dos conceitos inerentes à proporcionalidade e no desenvolvimento do raciocínio proporcional 1- O conceito é introduzido demasiado tarde (Streefland, 1985) 2- Currículo do ensino básico deficiente (Behr et al., 1992) 3- Professores mal preparados para a leccionação da Proporcionalidade (Araujo e Lopes, 2000) Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

17. A proporcionalidade nos manuais escolares Os manuais escolares são um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, constituindo em muitos casos instrumento de trabalho de intensa utilização. Como não estão isentos de erros, incorrecções, desactualizações e seguem por vezes estratégias pouco adequadas a um ensino de qualidade, torna-se imperativo que sejam avaliados nas suas diversas vertentes. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

18. Estudo de Isabel Cabrita Grelha de análise • Resultados do estudo • a metodologia usada é cíclica ou em espiral; • os conceitos e definições tendem a surgir “durante” o tratamento das subunidades e na sequência de tarefas propostas; • a resolução de problemas não é considerada um conteúdo de ensino-aprendizagem (final da unidade um conjunto de situações problemáticas); • o conteúdo dos problemas é não-familiar, apesar de se relacionarem com a vida real; • os dados são geralmente apresentados na forma algébrica e em quantidade suficiente para se proceder à sua resolução; Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

19. Estudo de Isabel Cabrita (II) • os problemas propostos visam vulgarmente razões do tipo permuta; • problemas de natureza concreta, que contemplam grandezas discretas e envolvem tarefas físicas; • os problemas são complexos, de resolução individual e exclusivamente escrita; • os problemas traduzem situações de proporcionalidade directa; • o processo de resolução mais sugerido é o produto cruzado; • os números dos enunciados e das respostas são inteiros; • respostas com solução única; • a resolução dos problemas não evoca o uso de equipamento. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

20. Shield e Dole • Objectivo do estudo • Perceber como estão retratados os conceitos proporcionais através: • das definições usadas; • dos exemplos resolvidos; • dos exercícios/problemas propostos. de modo a identificar a metodologia subjacente Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

21. Shield e Dole (II) • Resultados do estudo • definições e exemplos resolvidos muito limitados; • representação simbólica pouco significativa; • pouca contextualização com a realidade; • formas de resolução sugeridas pouco diversificadas; • pouca relação entre estes temas e outros tópicos matemáticos. Os manuais analisados parecem ser muito circunscritos para auxiliar os alunos no desenvolvimento das competências do raciocínio proporcional, factor indiscutivelmente necessário no sucesso e na atribuição de sentido no ensino-aprendizagem da Matemática escolar. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

22. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

23. Análise de manuais Grelha para análise dos manuais • Espanhol + Português • Espanhol + Português • Brasileiro + Português • Americano + Português Grelha de análise de um manual (Exemplo) Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

24. Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

25. Estudo de Isabel Cabrita (III) • Recomendações • Uma maior necessidade de abordar os assuntos de uma forma cíclica ou em espiral; • Permitir a interligação entre as diversas unidades curriculares; • Uma maior quantidade e diversidade de problemas; • Promover a discussão e avaliação das tarefas propostas, colocando questões como • O resultado a que chegaste está de acordo com os dados do problema? • O processo de resolução que utilizaste foi adequado? • Se alterasses a condição “tal”, que resultado seria de esperar? Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005