1 / 54

BAB 7. HUBUNGAN NON LINEAR

BAB 7. HUBUNGAN NON LINEAR. Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear.

talor
Télécharger la présentation

BAB 7. HUBUNGAN NON LINEAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 7. HUBUNGAN NON LINEAR

  2. Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear. Meskipun banyak hubungan antarvariabel ekonomi cukup dapat diterangkan dengan model non linear, namun tidak sedikit pula yang lebih realistik dan rasional ditelaah dengan model non linear. Bahkan sebagian dari model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakan penyederhanaan dari hubungan-hubungan yang non linear, merupakan linearisasi dari model non linear

  3. Adaempatmacambentukfungsi non- linear, yaitu: • FungsiKuadrat • FungsiKubik • Fungsieksponensial • Fungsilogaritmik

  4. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umumnya adalah : y = a + bx + cx2 ; c  0

  5. Identifikasi persamaan kuadrat • Bentuk lebih umum persamaan kuadrat ialah: : • ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0 • (setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan nol) • apabila p = 0 maka persamaan menjadi : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

  6. b. Lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus lingkaran, yaitu : (x – i)2 + (y – j)2 = r2

  7. c. Ellips. Bentuk umum persamaan elips : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus elips, yaitu : (x - i)2 (y – j)2 --------- + --------- = 1 r12 r22

  8. d. Hiperbola Bentuk umum persamaan hiperbola : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Bentuk baku rumus hiperbola : (x - i)2 (y – j)2 --------- - --------- = 1 atau m2 n2 (y - j)2 (x – i)2 --------- - --------- = 1 n2 m2

  9. Untuk menentukan asimtot gunakan rumus : x - i y – j y – j x - i ----- =  ----- atau ----- =  ----- m n n m e. Parabola Bentuk umum persamaan parabola adalah: jika sumbu simetri sejajar sumbu vertikal y = ax2 + bx + c

  10. Jika sumbu simetri sejajar sumbu horizontal : • X = ay2 + by + c • Titik ekstrim parabola (i, j) adalah: • b b2 – 4ac • --- , --------- • 2a -4a

  11. 2. Fungsi Kubik Bentuk umum : y = a + bx + cx2 + dx3 d  0

  12. 3. Penerapan Ekonomi a. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs Qd : jumlah permintaan Qs : Jumlah penawaran E : titik keseimbangan Pe : harga keseimbangan Qe : jumlah keseimbangan P Qs Pe E Qd Q 0 Qe Gambar 7.1

  13. Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linear. Pajak atau subsidi yang menyebabkan harga jual yang ditawarkan berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

  14. b. Fungsi Biaya Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

  15. Biaya tetap : FC = k (k ; konstanta) Biaya variabel : VC = f(Q). Biaya total : C = FC + VC = k + f (Q) = c (Q). FC Biaya tetap rata-rata : AFC = ---- Q VC Biaya variabel rata-rata : AVC = ---- Q Biaya rata-rata : AC = C/Q = AFC + AVC Biaya Marjinal : ∆C/∆ Q

  16. Bentuk non linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: a. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik . Andaikan C = aQ2 – bQ + c maka : AC = C/Q = aQ – b + c/Q AVC = VC/Q = aQ – b AFC = FC/Q = c/Q

  17. C C C AC AFC c FC AVC VC Q Q 0 0 -b (b) (a) Gambar 7.2

  18. Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear; sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a, C minimum ≠ VC minimum. Hanya jika FC  c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.

  19. Biaya total merupakan fungsi kubik Andaikan C = aQ3 – bQ2 + cQ + d Maka : AC = c/Q = aQ2 – bQ + c + d/Q AVC = VC/Q = aQ2 – bQ + c AFC = FC/Q = d/Q Biaya total berfungsi kubik seperti di atas selalu membuahkan AC dan AVC berbentuk parabola terbuka keatas. Sedangkan AFC tetap asimtotik terhadap sumbu C dan sumbu Q, sebab FC berupa konstanta yang kurvanya sejajar sumbu Q. .

  20. c. Fungsi Penerimaan Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar monopoli. Sedangkan fungsi penerimaan total yang linear merupakan fungsi penerimaan yang dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar persaingan sempurna.

  21. Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil kali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marjinal (marjinal revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.

  22. Penerimaan total : R = Q x P = f (Q) R Penerimaan rata-rata : AR = ---- Q  R PenerimaanMarjinal : MR = -----  Q Mengingat R = Q x P atau P = R/Q, sedangkan AR = R/Q, berartipenerimaan rata-rata (AR) tak lain adalahhargabarang per unit (P). Secaragrafik, kurva AR adalahjugakurvapermintaandalambentuk P = g (Q).

  23. d. Keuntungan, KerugiandanPulangPokok Tingkat produksi yang menghasilkankeuntungan, kerugiandankeadaanpulangpokoksecaragrafikdapatdilihatsebagaiberikut: C = c (Q) C, R TPP TPP : TitikPulangPokok (Break Even Poin) R = r(Q) TPP Gambar 7.3 Q 0 Q1 Q2 Q3 Q4

  24. Tingkat produksi Q1dan Q2mencerminkankeadaanpulangpokok, sebabpenerimaan total samadenganpengeluaran (biaya) total, R = C. Area disebelahkiri Q1dandisebelahkanan Q4mencerminkankeadaanrugi, sebabpenerimaan total lebihkecildaripengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q1dan Q4mencerminkankeadaanuntung, sebabpenerimaan total lebihbesardaripadapengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q3mencerminkantingkatproduksi yang memberikanpenerimaan total maksimum.

  25. Besarkecilnyakeuntungandicerminkanolehbesarkecilnyaselisihpositifantara R dan C. Secaragrafik, haliniditunjukkanolehjarakantarakurva R dankurva C. Semakinlebarjarakpositiftersebutsemakinbesarkeuntungan yang diperoleh. Jarakpositifterlebarantarakurva R dankurva C terjadipadaposisidimanalereng (slope) darikeduakurvaitusamabesar, daninimencerminkankeuntunganterbesarataumaksimum. Padagambardiataslihat Q2, lerengkurva R dan C samabesar.

  26. Satuhal yang pentingdicatatialahbahwajarakpositifterlebarantarakurva R dankurva C tidakselaluterjadipadasaatkurva C mencapaimaksimum. Dalamgambardiatas, R mencapaimaksimumpada Q3, sedangkanjarakpositifterlebaranatara R dan C terjadipada Q2. Iniberartikeuntunganmaksimumtidakselaluterjadipadasaat R maksimumatau C minimum. Denganperkataan lain, R maksimumatau C minimum tidakselalumenghasilkankeuntunganmaksimum. (contohkasus 26)

  27. e. FungsiUtilitas Fungsiutilitasmenjelaskanbesarnyautilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperolehseseorangdarimengkonsumsisuatubarangataujasa. Padaumumnyasemakinbanyakjumlahsuatubarangdikonsumsi, semakinbesarutilitas yang diperoleh, kemudianmencapaipuncaknya (titikjenuh) padajumlahkonsumsitertentu, sesudahituberkurangataubahkanmenjadinegatifbilabarang yang dikonsumsiterusmenerusbertambah.

  28. Utilitas total merupakanfungsidarijumlahbarang yang dikonsumsi. Persamaanutilitas total (Total utility, U) darimengkonsumsisuatujenisbarangberupafungsikuadratparabolik, dengankurvaberbentuk parabola terbukakebawah. Utilitasmarjinal (marginal utility, MU) ialahutilitastambahan yang diperolehdarisetiaptambahansatu unit barang yang dikonsumsi. Utilitas total mencapaipuncaknyaketikautilitasmarjinalnol, danberkurangketikautilitasmarjinalnegatif.

  29. Utilitas Total U = f(Q) UtilitasMarjinal MU = U/Q U U = f(Q) Q 0 MU Gambar 7.4

  30. f. FungsiProduksi Bentukfungsiproduk total (total product, P) yang non linear padaumumnyaberupasebuahpersamaankubik yang mempunyaititikbelokdansebuahtitikpuncak. Produk total merupakanfungsidarijumlahmasukan (input, faktorproduksi) yang digunakan. Dalamkonsepproduksijugadikenalpengertian rata-rata danmarjinal. Produk rata-rata (average product, AP) ialahjumlahkeluaranatauproduk yang dihasilkandarisetiap unit masukan yang digunakan, merupakanhasilbagiproduk total terhadapjumlahmasukan.

  31. Sedangkanprodukmarjinal (marginal product, MP) ialahproduktambahan yang dihasilkandarisetiaptambahansatu unit masukan yang digunakan. Jikadalamsuatukegiatanproduksidianggaphanyaterdapatsatumasukanvariabel, katakanlah X, sementaramasukan-masukanlainnyamerupakanmasukantetap, makafungsiproduksinyadapatdinyatakandengannotasi P = f(X) Produk total : P = f(X) Produk rata-rata : AP = P/X Produkmarjinal : MP = P/X

  32. Secaragrafik, kurvaproduk total P mencapaipuncaknyatepatketikakurvaprodukmarjinal MP = 0. Sedangkan MP mencapaipuncaknyatepatpadaposisititikbelokkurva P. Di sampingitu, kurva MP memotongkurva AP padaposisimaksimum AP. P P = f(X) Titik belok AP x 0 MP Gambar 7.5

  33. g. KurvaTransformasiProduk Kurvatransformasiproduk (product transforma-tioncurva) ialahkurva yang menunjukkanpilihankombinasijumlahproduksiduamacambarangdenganmenggunakanmasukan yang samasejumlahtertentu. Kurvainidikenaljugadengansebutankurvakemungkinanproduksi (production possibility curve). Kurvatransformasiproduk yang kuadratikdapatberupapotongan-potonganlingkaran, elips, hiperbolamaupunpotongan parabola.

  34. y Gambar 7.6 y 0 x 0 x Kurvatransformasiprodukberupapotonganlingkaran Kurvatransformasiprodukberupapotonganelips

  35. Padagambardiatas, x dan y masing-masingmelambangkanjumlahproduk X danjumlahproduk Y. Karenakurvatransformasiprodukmencerminkanpilihankombinasiproduksi, makapenambahanjumlahproduk yang satuakanmengurangijumlahproduk yang lain (Contoh 28) h. Model DistribusiPendapatan Pareto MenurutVilfredo Pareto, jumlahpendudukdarisuatupopulasi a yang berpendapatanmelebihi x adalah : N = a/xb

  36. Dimana b merupakansuatu parameter ataubesaranpopulasitertentu, padaumumnyaberkisar 1,5 kecualiditentukan lain. Model distribusipendapatanversiparetoinimencerminkansebuahhiperbolasamasisiuntukrentang 0 < N  a dan 0 < x < pendapatanmaksimumdalampopulasi. Karena model iniditerapkansecara universal, variabelpendapatan x dinyatakandalammatauang yang umumdigunakanolehnegara-negaradiseluruhdunia, yakni dollar AmerikaSerikat (US $). Dengandemikianuntukditerapkanpadakasusdi Indonesia, pendapatandalam rupiah harusdikonversikandulukedalamsatua US $.

  37. N a : populasi total b : parameter populasi x : bataspendapatantertentu N : bagiandaripopulasi yang berpendapatanmelebihi x Jumlahpendudukberpendapatanmelebihi x x 0 Gambar 7.7

  38. 4. FungsiEksponensial Fungsieksponensialialahfungsidarisuatukonstantaberpangkatvariabelbebas. Bentukfungsieksponensial yang paling sederhanaadalah: n > 0 Y = nx Kurvanyaterletakdikuadran-kuadranatas (kuadran I danKuadran II) padasistemkoordinat. Dalamhal 0 < n < 1, kurvadari y = nxbergerakmenurundarikirikekanan (monotonically decreasing), sertaasimtotikterhadapsumbu x danmemotongsumbu y padakoordinat (0, 1).

  39. Dalamhal n > 1, kurvadari y = nxbergerakmenaikdarikirikekanan (monotonically increasing), jugaasimtotikterhadapsumbu x danmemotongsumbu y padakoordinat (0, 1). Jika n = 1, kurvanyaakanberupagarislurussejajarsumbu x. y Kurvaeksponensial y = nx y n = 0,3 n = 9 n = 0,6 n = 7 n = 0,8 n = 2 (0, 1) (0,1) x x 0 0 (b) n > 1 (a) 0 ,n<1 Gambar 7.8

  40. Bentukfungsieksponensial yang lebihumumadalah: y = nekx + c n  0 k, c : konstanta Kurvanyaasimtotikterhadapgaris y = c. Mengingatbentukinimengandungbilangan e, makapengetahuantentangkonseplogaritma, khususnyalogaritma Napier yang berbasis e, sangatdiperlukanuntukmenyelesaikanpersamaaneksponensialsemacamini. Kurvadari y = nekx + C untuknilai-nilai n, k dan c tertentudapatdilihatpadagambarberikut.

  41. Kurvaeksponensial y = nekx + c untuk n > 0 y y y = c y = c x x 0 0 (a) Jika k > 0, c  0 (b) Jika k < 0, c  0 y y x x 0 0 y = c y = c (d) k < 0, c  0, |c| < n (c) k > 0, c  0, |c| < n Gambar 7.9

  42. Kurvaeksponensial y = nekx + c untuk n > 0 y y y = c y = c x x 0 0 (e) k > 0, c  0 |c| > n (f) k < 0, c  0 |c| > n Kurvaeksponensial y = nekx + c untuk n < 0 y y x x 0 0 y = c y = c (b) k < 0, c > 0, c < |n| (a) k > 0, c > 0, c < |n|

  43. Kurvaeksponensial y = nekx + c untuk n < 0 y y y = c y = c 0 x x 0 (c) k > 0, c > 0 c > |n| (d) k < 0, c > 0 c > |n| y y x x 0 0 y = c y = c (e) k < 0, c  0 (e) k > 0, c  0, Gambar 7.10

  44. Titikpotongkurvaeksponensial y = nekx + c padasumbu x ialah (1/k ln |c/n|, 0), sedangkanpadasumbu y ialah (0, n + c). Hal iniberlakuumumuntukke 12 panel padagambardiatas. e. FungsiLogaritmik Fungsilogaritmikmerupakankebalikandarifungsieksponensial, variabelbebasnyamerupakanbilanganlogaritma. Bentukfungsilogaritmik yang paling sederhanaadalah : y = nlog x n > 0 dan n  1

  45. Kurvanyaterletakdikuadran-kuadrankanan (kuadran I dankuadran IV) padasistemkoordinat. Dalamhal 0 < n < 1, kurvadari y = nlog x bergerakmenurundarikirikekanan, asimtotikterhadapsumbu y danmemotongsumbu x pada (1, 0). Dalamhal n > 1, kurvanyabergerakmenaikdarikirikekanan, jugaasimtotikterhadapsumbu y danmemotongsumbu x pada (1, 0). Besarkecilnyanilai n menentukankelengkungankurvanya. Perhatikangambar 7.11 disebelah. Karena y = nxdan y = nlog x merupakanfungsi-fungsi yang berkebalikan, makadengansalingmenukarkansumbu-sumbukoordinat, gambardarisalahsatufungsitersebutmerupakangambardarifungsilainnya.

  46. y y n = 2 n = 7 n = 9 (1,0) x x 0 0 (1,0) n = 0,3 n = 0,6 n = 0,8 (a) n>1 (a) 0 <n<1 Gambar 7.11

  47. Bentukfungsilogaritmik yang lebihumumadalah: Y = a ln(1 + x) + b x > -1 Kurvanyaterletakdisebelahkanandanasimtotikterhadapgaris x = -1. Untuknilai-nilai a dan b tertentu, kurvadarifungsilogaritmikinidapatdilihatpadagambar 7.12. Perpotongannyadenganmasing-masingsumbudapatdicarisebagaiberikut :

  48. Perpotongandengansumbu x y = 0 Dengandemikian, e-(b/a) – 1 > 0 jika a > 0, b > 0 (gambar 7-12a) atau a < 0, b < 0 (gambar 7-12d) e-(b/a) – 1 < 0 Jika a > 0, b < 0 (gambar 7-12c) atau a < 0, b > 0 (gambar 7-12b)

  49. Perpotongandengansumbu y x = 0 y = a ln ( 1 + 0) + b = a ln 1 + b = a (0) + b = b Kurvalogaritmik y = a ln ( 1 + x) + b y y x = -1 0, b x = -1 0, b (e-b/a – 1, 0) x x 0 0 (e-b/a – 1, 0) a. a > 0, b > 0 b. a < 0, b > 0 Gambar 7-12

  50. y y x = -1 x = -1 (e-b/a – 1, 0) 0 x (e-b/a – 1, 0) 0 0, b 0, b c. a > 0, b < 0 d. a < 0, b <> 0 x Gambar 7-12

More Related