Download
1 / 36
410 likes | 931 Vues
4. Vjerojatnost i statistika. 4.1 Izvod iz matematike 4.2 Vjerojatnost 4.3 Opisna statistika 4.4 Inferencijalna statistika. Inženjerima je statistika potrebna za:
E N D
4. Vjerojatnost i statistika 4.1 Izvod iz matematike 4.2 Vjerojatnost 4.3 Opisna statistika 4.4 Inferencijalna statistika
Inženjerima je statistika potrebna za: 1. praćenje stručne i znanstvene literature – rezultati istraživanja se u radovima u pravilu izražavaju sažetom obliku, uz korištenje statističkih termina i simbola 2. planiranje istraživanja i pokusa – koliko je potrebno pripremiti uzoraka prije provedbe pokusa za dobivanje očekivanih rezultata 3. opise i analize rezultata sakupljanja podataka i/ili pokusa – izrazima deskriptivne statistike se skup s velikim brojem podataka može kratko i jasno opisati 4. uopćavanje zaključaka temeljenih na rezultata pokusa – korištenjem metoda inferencijalne statistike kvantitativno se uopćavanje rezultata provedenih pokusa Za razumijevanje statistike neophodna su znanja iz vjerojatnosti, na kojoj se temelje statističke metode. Za razumijevanje vjerojatnosti neophodna su znanja iz matematičke logike i teorije skupova na kojima se temelje izračunavanja vjerojatnosti.
4.1 Izvod iz matematike Matematika je teorijska znanost koja proučava brojčane odnose (aritmetika, algebra, infinitezimalni račun) i prostorne oblike (geometrija). Fizički se zakoni najsažetije opisuju matematičkim formulama – matematičkim modelima (opisi a ne objašnjenja). Pri formiranju matematičkih modela tehnoloških procesa, zbog složenosti (Y = f(X) ili X = f(t), gdje je X = {x1 , x2 ,... ,xn}), mora se u analizama razlučiti bitno i nebitno, usredotočiti na bitno a zanemariti nebitno. Za savladavanje gradiva PPiOPTP potrebna su znanja samo iz elementarne matematike, ali matematička spretnost uvelike olakšava/ubrzava izračunavanja. zaokruživanje: 23,2472 1,1 = 26 23,2472 1,05 = 24,4 23,2472 1,15 = 26,7 23,2472 1,100 = 25,57 minuti sati: faktorijeli: Planiranje i obradu rezultata pokusa olakšavaju znanja iz matematičke logike i teorije skupova. Korištenjem simbolike matematičke logike i teorije skupova postiže se preciznost i sažetost izlaganja.
4.1.1 Matematička logika Iskaz – logički izraz (rečenica) koji ima smisla i može biti točan ili netočan: 8 > 4 – točan iskaz 5 < 8 – netočan iskaz Iskazi se označavaju slovima p, q, r, …, točan iskaz s 1, netočan s 0: 8 > 4 = p p = 1 5 < 8 = q q = 0 Iskazi se povezuju logičkim operatorima: , , , , , koji se čitaju i imaju značenja: p q – p i q (konjunkcija) – iskaz je točan ako su oba iskaza p i q točni p q – p ili q (disjunkcija) – iskaz je točan ako je jedan od iskaza p i q točan p q – iz p slijedi q (implikacija) – iskaz je netočan ako iskaz p točan a iskaz q netočan p q – p ako q (ekvivalencija) – iskaz je točan ako su oba iskaza p i q točna ili oba netočna p – ne p (negacija) – iskaz je točan ako je iskaz p netočan
4.1.2 Teorija skupova Skup obuhvaća n elemenata (u granicama: 0 n ) i osnovni je pojam u matematici. Skup je poznat ako su poznata pravila, ograničenja i svojstva na temelju kojih se mogu odrediti svi njegovi elementi. Skupovi se obilježavaju velikim slovima (A, B, …, Y, Z), elementi skupova malim slovima (a, b, …, y , z), a pripadnost elemenata skupu se obilježava sa: – pripada –xA – se čita “element x pripada skupu A", – ne pripada –xA – se čita “element x ne pripada skupu A“ Prazan skup (n = 0) označava se sa Ø. Elementi skupova se opisuju na dva načina: (a) odvajaju se zarezima i obuhvaćaju vitičastom zagradom: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ili B = {a, e, i, o, u} (b) u vitičastoj se zagradi navodi oznaka elementa, dvotočka i uvjeti pripadnosti odvojeni zarezima: C = {x: x paran broj, x > 0} ili D = {y: y slovo engleske abecede, y je suglasnik} Zarez se čita kao "i", a dvotočka kao "pri čemu je". Prema tome, skup A obuhvaća elemente 1, 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8 i 9, a skup C obuhvaća elemente x pri čemu je x paran broj i x veći od nule.
4.1.2 Teorija skupova - 2 Pored simbolike matematičke logike, u teoriji skupova se koriste oznake: – sa značenjem: za svako – sa značenjem: postoji Na primjer: (x) (y) 3x – 5y = 0 čita se: za svaki element x koji pripada skupu realnih brojeva () postoji element y, koji također pripada skupu realnih brojeva, s kojim se može ispuniti uvjet određen jednadžbom 3x – 5y = 0 gdje je: – univerzalni skup koji obuhvaća sve aktualne skupove.
4.1.2 Teorija skupova - 3 Za pojašnjenja su u teoriji skupova korisni Vennovi dijagrami: Zakoni algebre skupova:
4.1.2 Teorija skupova - 4 Zakoni algebre skupova se također lako pojašnjavaju s Vennovim dijagramima. Na primjer, zakon distributivnosti: A (B C) = (AB) (AC) Osobito su važni skupovi brojeva: prirodni brojevi () – n, n 1; {1, 2, …} cijeli brojevi () – z, z 0; {…, –2, –1, 0, 1, 2, …} racionalni brojevi () – = {:m, n} realni brojevi () – = {x: x iracionalni broj, –x}
4.1.2 Teorija skupova - 5 Skup realnih brojeva () obuhvaća skup racionalnih () i iracionalnih brojeva. Skup racionalnih brojeva () obuhvaća skup cijelih brojeva (), koji obuhvaća skup prirodnih brojeva (). Svi se realni brojevi () mogu prikazati na brojnom pravcu s dvije istaknute točke: prva je 0, koja određuje ishodište, druga 1, koja određuje jediničnu duljinu. Skup se kompleksnih brojeva () ne može prikazati na jednom brojnom pravcu. Iracionalni brojevi () – ne mogu se izraziti s razlomkom cjelobrojnog brojnika i nazivnika, odnosno decimalnim brojem s konačnim brojem znamenki, ali imaju odgovarajuće točke na brojnoj osi (na primjer: , , …).
4.2 Vjerojatnost Slučajni pokusi – usprkos ponavljanja pokusa svaki put na isti način, zbog djelovanja nekontroliranih vanjskih utjecaja – poremećaja, ne dobivaju se isti rezultati (temperatura u peći za taljenje metala, glavna sila rezanja nožem na tokarskom stroju, napon zavarivanja). Prevelik intenzitet poremećaja može onemogućiti izvođenje zaključka iz rezultata provedenog pokusa.
Rezultat slučajnog pokusa naziva se ishodom. S – prostor uzorka – skup svih mogućih različitih ishoda A – slučajni događaj – jednočlani ili višečlani podskup skupa S Kao prvi problem se javlja prebrojavanje broja elemenata prostora uzorka i slučajnog događaja.
4.2.1 Prostor uzorka U opisivanju prostor uzorka koristi se simbolika teorije skupova. Prostor uzorka ovisi o cilju analize:
4.2.1 Prostor uzorka - 2 U složenijim slučajevima se formira stablo izbora. Na primjer, bira se vozilo • s motorom od 60 ili 77 KW • sa i bez ABS-a (anti-lock braking system – sustav za sprječavanje blokiranja kotača pri kočnicama) • sa ili bez klimatizacije • s crvenim, sivim ili plavim sjedalima • u srebrnoj, bijeloj ili crnoj boji karoserije. Pravilo množenja – ako se postupak izbora odvija u k koraka, uz oi opcija u svakom koraku, broj je mogućih ishoda: Za prethodni je primjer izbora vozila: n = 2222 = 36.
4.2.1 Prostor uzorka - 3 Permutacije Za permutacije: (a) broj elemenata slučajnog događaja jednak je broju različitih elemenata uzorka (b) bez zamjene (kada se iz uzorka uzme jedan element uzorak se ne nadopunjuje) (c) redoslijed važan broj je mogućih ishoda: gdje je: n – broj elemenata u uzorku (i u slučajnom događaju). Za uzorak S = {a, b, c} broj je mogućih slučajnih događaja: P = 3! = 321 = 6. Provjera: abc, acb, bac, bca, cab, cba – uključeni svi elementi, bez zamjene redoslijed važan. Isti se rezultat dobiva i s pravilom množenja: 1. u prvom koraku su moguće tri opcije: a,b,c 2. u drugom su koraku preostale dvije opcije (jedna je već izvučena): a,ba,c b,c 3. u trećem koraku je preostala samo jedna opcija (dvije su već izvučene): a b c
4.2.1 Prostor uzorka - 4 Permutacije Ako se izmijeni uvjet (a): broj je elemenata slučajnog događaja (r) manji (veći ne može biti) od broja elemenata u uzorku (n): Za uzorak S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} mogućih je slučajnih događaja s četiri elementa: Isti se rezultat dobiva i s pravilom množenja: Ako uzorak sadrži više jednakih elemenata (a, b, c) u različitim količinama (, , ,): Za uzorak S = {a,a,b,b} mogućih je slučajnih događaja s četiri elementa: • Provjera: aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa
4.2.1 Prostor uzorka - 5 Kombinacije Za kombinacije: (a) broj elemenata slučajnog događaja je manji od broja elemenata uzorka (b) bez zamjene (kada se iz uzorka uzme jedan element uzorak se ne nadopunjuje) (c) redoslijed važan broj je mogućih ishoda: gdje je: n – broj elemenata u uzorku r – broj elemenata u slučajnom događaju. Za uzorak S = {a,b,c,d} mogućih je slučajnih događaja s tri elementa: Provjera: abc, abd, acd, bed Provjera: abc, acb,abd, adb,acd, adc,bac, bca,bad, bda,bcd, bdc, ...
4.2.2 Vjerojatnosti mogućih ishoda - 5 Klasična vjerojatnost: gdje je: m – broj povoljnih ishoda n – broj svih mogućih ishoda Statistička vjerojatnost: Statistička se vjerojatnost praktično aproksimira relativnom frekvencijom: gdje je: MA – broj elemenata skupa s obilježjem A(u statističkom skupu elemenata) ili broj obilježja A (u statističkom skupu obilježja) n – ukupni broj elemenata skupa ili obilježja
4.3 Opisna statistika U provedbi pokusa, usprkos ponavljanja istih mjerenja na isti način dobivaju se različite vrijednosti veličina. Mjerene se veličine nazivaju slučajnim veličinama: konstantne(sila rezanja pri tokarenju osovine, napon zavarivanja limova oplate kotla): y = + (pri ponavljanju mjerenja se dobivaju različite vrijednosti) gdje je: C – konstanta (istinita vrijednost varijable) – slučajni poremećaj (može povećati ili smanjiti vrijednost veličine) promjenljive s vremenom(sila rezanja pri tokarenju osovine, napon zavarivanja limova oplate kotla): y = f(t) + (tijekom praćenja procesa se dobivaju različite vrijednosti) gdje je: t – vrijeme (istinita vrijednost varijable) promjenljive s vanjskim utjecajem(sila rezanja pri tokarenju osovine, napon zavarivanja limova oplate kotla): y = f(x) + (tijekom praćenja procesa se dobivaju različite vrijednosti) gdje je: x – vanjski utjecaj (postavljena ili mjerena – slučajna veličina)
4.3 Opisna statistika - 2 Primjeri navedeni u zagradama naglašavaju ovisnost pristupa varijablama o cilju analize – napon zavarivanja je konstantan U = U0 V, mijenja se s vremenom U = f(t) ili sa strujom zavarivanja U = f(I). Razvijenim sustavom za praćenje procesa zavarivanja snimljeni su napon, struja i zvuk zavarivanja metala taljivom elektrodom u zaštitnom plinu. Učestalost je uzorkovanja napona i struje zavarivanja 10 kHz, zvuka 44,1 kHz. Proces je praćen 6 s (zabilježeno skoro 750 000 vrijednosti veličina), a na dijagramima su za interval od 0,2 s prikazani: (a) napon i struja zavarivanja, (b) zvuk zavarivanja.
4.3 Opisna statistika - 3 Znanja iz statistike tijekom pripreme pothvata značajno pomažu inženjerima u prikupljanju podloga te modeliranju, simuliranju i optimiranju procesa. U rješavanju inženjerskih problema statistika utvrđuje i primjenjuje postupke: Podaci su kvalitativna i kvantitativna svojstva stanja i procesa, a mogu biti: (a) primarni, ako su dobiveni provedbama eksperimenata (promatranjima) i (b) sekundarni, ako su prikupljeni iz ostalih izvora podloga. Statistika obrađuje statističke skupove:
4.3 Opisna statistika - 4 Statistički skupovi jedinki obuhvaćaju aktualne istovrsne jedinke (zaposlenici, osovine, aparati za zavarivanje), određene: a statistički skupovi vrijednosti obilježja obuhvaćaju podatke o statističkim skupovima jedinki (plaće zaposlenika, hrapavosti osovina, naponi zavarivanja). Populacija obuhvaća cijeli skupa, a uzorak njegov odabrani dio. Statističko obilježje(skraćeno, obilježje) je pokazatelj promatranog svojstva jedinki skupa, koje varira od jedinke do jedinke, prostorno i/ili vremenski. Vrijednosti se obilježja određuju mjerenjima – posrednim usporedbama s odgovarajućim etalonima. Redoslijed kvalitativnih nominalnih obilježja (boja vozila: crvena, bijela, plava, …) proizvoljan je, a redoslijednim se obilježjima mogu pridružiti redni brojevi (matematičke operacije besmislene). Diskretno obilježje može poprimiti konačan broj vrijednosti a kontinuirano obilježje beskonačan.
4.3 Opisna statistika - 5 Frekvencije opisuje brojeve jednakih vrijednosti obilježja skupa – jedne ili više jedinki. Apsolutna pojedinačna frekvencija – broj jednakih vrijednosti obilježja (fj). gdje je: n – broj jedinki Kumulativne su frekvencije:
4.3 Opisna statistika - 6 U velikom industrijskom pogonu radi veći broj istovrsnih strojeva. Bilježenjem broja kvarova po danu tijekom 200 dana formirana je tablica: Jedinke su dani, uzorak obuhvaća 200 dana. Obilježje je broj kvarova, mjerna je skala diskretna (vrijednosti obilježja su potpune – točne).
4.3 Opisna statistika - 7 Mjerenjem zatezne čvrstoće čelika (Rm) dobivene su vrijednosti. Jedinke su eksperimentalne normirane epruvete izrađene od ispitivanog čelika, uzorak obuhvaća 50 epruveta. Obilježje je zatezna čvrstoća, mjerna je skala kontinuirana (vrijednosti obilježja nisu potpune – tri značajne znamenke).
4.3 Opisna statistika - 7 Točkasti grafici – rezultat svakog mjerenja prikazan je s po jednom točkom pored brojne osi.
4.3 Opisna statistika - 8 U novije se vrijeme koriste i SL (Stem/stablo and/i Leaf/list) prikazi: Rm-1,2 – prva i druga znamenka brojčanog iznosa Rm-3 – treća znamenka brojčanog iznosa
4.3.1 Srednja vrijednost obilježja Aritmetička sredina, ili : gdje je: N – broj jedinki u populaciji, n – broj jedinki u uzorku, x – vrijednost obilježja. Potrebno je utvrditi tvrdoću alata po Rockwellu. Mjerenjem su dobivene vrijednosti: S Excel naredbom AVERAGE(A1:A25) dobiva se srednja vrijednost obilježja HRC 59,88. Prema tome, tvrdoća je alatnog čelika HRC = 60.
4.3.1 Srednja vrijednost obilježja - 2 Medijan(centralna vrijednost), Me – položajna srednja vrijednost vrijednost obilježja s istim brojevima jedinki manjih i većih vrijednosti od medijana. Mod(dominantna vrijednost), M – položajna srednja vrijednost vrijednost obilježja s najvećom frekvencijom. Me = 10 (34, 89, 77)M = 8 Me = 304,5 (304 i 305 24, 24)M = 298 (3 i 305 3)
