Projekt 5.1

1. Projekt 5.1 Michaelis-Menton-ekvationen A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift

2. Michaelis-Menton-ekvationen beskriver den hastighet med vilken kroppen kan bryta ner enintagen drog. Projekt 5.1 utgår från ekvationen: A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

3. 1 A+x=A För många droger är A mycket större än x(t), det vill säga: A>>x(t) ger A+x~A Skriv om och lös ekvationen på formen x(t)! Ekvationen går att separera och därefter kan varje sida integreras med avseende på x respektive t: A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

4. För många droger är A mycket mindre än x(t), det vill säga: A<<x(t) ger Skriv om och lös ekvationen på formen x(t). 2 A+x=x Separera och integrera: A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

5. 3 Rita grafer Använd approximationerna från uppgift 1 och 2 och visa resultatet i graf-form. Antag att K=1. Använd värdena för A och x(0) från uppgift 1 respektive uppgift 2. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

6. A = 6, K = 1, x(0) = 0,0025 3 Rita grafer A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

7. Denna approximation är endast intressant då t är nära 0. 3 Rita grafer K = 1, x(0) = 0,025 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

8. 4 A+x=A+x Separera och integrera: Längre än så här kommer jag inte “för hand”, utan måste ta Matlab till hjälp. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

9. 4 A+x=A+x Innan jag öppnar Matlab vill jag bara kolla att den ekvation jag fått fram stämmer. Det kan jag göra med implicit derivering*: “Översatt” till mina beteckningar blir det: * F. Eriksson. Flerdimensionell analys. Studentlitteratur, Lund, 1977. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

10. Det stämmer! 4 A+x=A+x Implicit derivering*: * F. Eriksson. Flerdimensionell analys. Studentlitteratur, Lund, 1977. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

11. 4 A+x=A+x Med kommandot ‘FZERO(‘funktion',x(0))’ letar Matlab fram de x som ger att en viss funktion = 0. Jag gör en funktionsfil och en m-fil som innehåller kommandot ‘fzero’. Min funktion är alltså: Därefter låter jag Matlab rita upp resultatet i en graf. Enligt uppgiften ska jag använda K=1, A=0,025 och x(0)=0,025. A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

12. Eftersom t ska variera måste den anges som global. För ett antal olika t, ska funktionen P bli 0 för vissa x. 4 A+x=A+x Funktionsfilen ‘menton.m’: function P = menton(x)global tA=0.025;K=1; % C=-(A*log(abs(x)))-x-K*t, men jag byter% beteckningar så att x=y och t=tid y=0.025;tid=0;C=-(A*log(abs(y)))-y-K*tid; P=A*log(abs(x))+x+K*t+C; A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

13. 4 A+x=A+x FZERO-filen: n=0;global t for t=0.005:0.005:0.15n=n+1;x=fzero('menton',0.0025);if x<0;x=0;endV(n)=x;Vtid(n)=t;end plot (Vtid',V'),xlabel('Tid'),ylabel('Koncentration') A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

14. 4 A+x=A+x A = 0,025, K = 1, x(0) = 0,025 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

15. 4 Jämför! Approximationen att A+x=A, då x är mycket mindre än A, fungerar för t=0 till t=14 ungefär. A = 6, K = 1, x(0) = 0,0025 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

16. 4 Jämför! Approximationen att A+x=x, då x är mycket större än A, fungerar för t=0 till t=0,025. A = 0,0025, K = 1, x(0) = 0,025 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

17. 4 Numerisk lösning Numerisk lösning med hjälp av Matlab: Funktionsfilen ‘michaelis.m’: function xdot=michaelis(t,x)K=1;A=0.025;% x(0)=0.025xdot=-K*t/(A+x); [t,x]=ode45('michaelis',[0,0.15],0.025);plot(t,x) A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

18. 4 Numerisk lösning Numerisk lösning med hjälp av Matlab: Funktionsfilen ‘michaelis.m’: function xdot=michaelis(t,x)K=1;A=0.025;% C=-(A*log(abs(x)))-x-K*t, men jag byter% beteckningar så att x=y och t=tid y=0.025;tid=0;C=-(A*log(abs(y)))-y-K*tid;% x(0)=0.025 xdot=A*lnx+x+K*t+C; SKALL VARA DIFF EKVATIONEN DVS –Kx/(A+x) [t,x]=ode45('michaelis',[0,0.15],0.025);plot(t,x) A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1

19. 4 Numerisk lösning A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.1