ARMA/ARIMA modeliai

1. ARMA/ARIMA modeliai 2011-09-20 Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264 Maddala G.S., Kajal Lahiri Introduction to Econometrics., 2010 Chapter 12, psl.481-508 VU EF V.Karpuškienė

2. Paskaitos dalys • ARIMA modelio struktūra • Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra • Stacionarumo užtikrinimas • ARIMA modelio įvertinimas • Modelio diagnostika • Prognozavimas ARIMA modelio pagalba VU EF V.Karpuškienė

3. ARMA/ARIMA modelio struktūra • ARIMA modelių tikslas – prognozuoti nagrinėjamus ekonominius reiškinius • Pagrindinė idėja – prognozės sudaromos panaudojant nagrinėjamo reiškinio pradinių duomenų ir modelio paklaidų pokyčių ypatumus. VU EF V.Karpuškienė

4. ARIMA modelio struktūra • ARIMA –Autoregressive Integrated Moving Average Process • ARIMA modelio struktūra: • autoregresinis (AR) procesas • Integravimo I procesas • slenkamųjų vidurkių (MA) procesas VU EF V.Karpuškienė

5. ARMA modelis yt + 1yt-1 +...+ pyt-p +1t-1+ ...+qt-q + t, AR procesas MA procesas Gali būti: yt +β٠t + 1yt-1 +...+ pyt-p +1t-1+ ...+qt-q + t, yt1yt-1 +...+ pyt-p +1t-1+ ...+qt-q + t, VU EF V.Karpuškienė

6. ARMA/ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesasAR(p) • Autoregresinis procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus ankstesniaisiais stebėjimais: Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t yt –laiko eilutės stebėjimai 1...1 – autoregresinio proceso parametrai t – atsitiktinės paklaidos, p – autoregresinio proceso eilė. VU EF V.Karpuškienė

7. ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesas Kur L –lago operatorius Lago operatoriaus savybė: VU EF V.Karpuškienė

8. ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesasMA(q) • Slenkamųjų vidurkių procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus Yt modelio paklaidomis: Yt=t + 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q VU EF V.Karpuškienė

9. ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesas VU EF V.Karpuškienė

10. ARMA/ARIMA modelio struktūra ARMA (p,q) modelis Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t+ 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q VU EF V.Karpuškienė

11. ARMA/ARIMA modelį galima sudaryti stacionarioms arba silpno stacionarumo laiko eilutėms!!!!!!!!!!!!!!!!! VU EF V.Karpuškienė

12. Stacionarumas • Griežtas stacionarumas • Silpnas stacionarumas

13. ARMA/ARIMA modelio griežtas stacionarumas 1) laiko eilutės vidurkis pastovus: E(Yt) =y=const1; (suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos grupės vidurkis turi būti toks pats) 2) laiko eilutės dispersija pastovi: E(Yt-y)2=2y=const2; (kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda) 3) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko: E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k=const3; VU EF V.Karpuškienė

14. ARMA/ARIMA modelio silpnas stacionarumas 1) laiko eilutės vidurkis pastovus: E(Yt) =y=const1; (suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos grupės vidurkis turi būti toks pats) (kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda) 2) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko: E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k VU EF V.Karpuškienė

15. Griežtai stacionari laiko eilutė VU EF V.Karpuškienė

16. Nestacionari laiko eilutėNestacionarumas dėl trendo VU EF V.Karpuškienė

17. Silpnai stacionari laiko eilutė(Nestacionarumas dėl dispersijos) VU EF V.Karpuškienė

18. Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra Pirmas žingsnis: ARMA proceso stacionarumo nustatymas Antras žingsnis: Užtikrinamas stacionarumas integruojant laiko eilutę Trečias žingsnis: ARMA proceso p ir q eilės nustatymas Ketvirtas žingsnis: ARMA modelio ir jo alternatyvų vertinimas Penktas žingsnis: Modelio diagnostika VU EF V.Karpuškienė

19. Laiko eilutės stacionarumo nustatymas • Grafinė analizė • Autokoreliacijos funkcijų analizė • Dispersijos pastovumo analizė • Vienetinės šaknies testai (DF (Dickey Fuller) ir ADF VU EF V.Karpuškienė

20. Grafinė analizė VU EF V.Karpuškienė

21. Laiko eilutės stacionarumo nustatymasACF -Autokoreliacijos analizė kur rk – k-ojo lago autokoreliacijos koeficientas, PAC -Dalinės autokoreliacijos funkcija Dalinės koreliacijos koeficientai yra yt autoregresijos parametrų įverčiaiρi VU EF V.Karpuškienė

22. Autokoreliacijos funkcijų analizė(ACF ir PACF)Nestacionarus procesas pagal kovariaciją Dirb_priv korelograma Du_priv korelograma VU EF V.Karpuškienė

23. Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF)Stacionarus procesas pagal kovariaciją EViews: View Correlogram VU EF V.Karpuškienė

24. Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF) Box – Pierce Q – statistika Box – Pierce Q – statistika – tai tiesinė kvadratinių autokoreliacijų kombinacija Box – Pierce Q – statistika tikrinama jungtinė hipotezė, H0: Iki m-tojo lago reikšmingos autokoreliacijos nėra HA: Iki m-tojo lago yra bent vienas koreliacijos koef yra reikšmingas VU EF V.Karpuškienė

25. Dispersijos pastovumo analizė • Atliekame laiko eilutės pogrupių dispersijų lygybės testą. (statistika) VU EF V.Karpuškienė

26. ARIMA modeliai I(d) – integruotumo eilė • Nestacionari laiko eilutė turi būti transformuojama į stacionarią. Tam paprastai naudojama integravimo procedūra: yt= yt- yt-1. • Jei pirmos eilės skirtumai taip pat nestacionarūs, taikomas antros eilės integravimas (ir t.t.): yt= yt- yt-1= (yt- yt-1) – (yt-1- yt-2) = yt - 2yt-1 + yt-2. • Galima imti ir logaritmų skirtumines transformacijas log(yt) = log(yt)- log(yt-1) VU EF V.Karpuškienė

27. ARIMA modeliaiIntegruotumo eilės nustatymas • Autokoreliacijos funkcijų analizė • Mažiausiosdispersijos testas • Vienetinės šaknies testai:Dickey Fuller ir ADF testai VU EF V.Karpuškienė

28. Autokoreliacijos funkcijų analizėintegruotumo eilei nustatyti Du_priv_pradinių duomenų korelograma (d(Du_priv) pradinių duomenų skirtumų korelograma (Du_privm2) pradinių duomenų antrųjų skirtumų korelograma

29. Mažiausios dispersijos testas • Procedūra: • Sudarome tris laiko eilutes: • Yt • Yt=dYt • Yt=d(Yt, 2) • Integravimo eilei nustatyti išrenkame duomenų eilutę su mažiausia dispersija VU EF V.Karpuškienė

30. Vienetinės šaknies testai • Integruotumo eilei nustatyti dažniausiai naudojami vienetinės šaknies testai • Išplėstinis Dickey-Fuller (augmentedDickey-Fuller) (ADF) • Phillips-Perron testas (PP testas). VU EF V.Karpuškienė

31. Vienetinės šaknies testai ADF testas • Taikant ADF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją: DF -testas • ADF -testas • Ši regresija pertvarkoma į tokią: VU EF V.Karpuškienė

32. Vienetinės šaknies testai DF testas • Taikant DF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją: • Ši regresija pertvarkoma į tokią: VU EF V.Karpuškienė

33. Vienetinės šaknies testai ADF testas H0: (kintamasis Ytnėra stacionarus ir turi būti integruotas bent 1-a eile): H1 : kintamasis Yt yra stacionarus Testo statistika: Išvada: galime atmesti hipotezę H0, jeigu VU EF V.Karpuškienė

34. ADF testas • Jeigu laiko eilutė yra integruota pirma eile, tikrinama ar ji yra integruota antra eile VU EF V.Karpuškienė

35. ADF testas VU EF V.Karpuškienė

36. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas Nustatyti AR ir MA procesus geriausiai aprašančius (generuojančius) nagrinėjamą reiškinį. Parenkamos kelios alternatyvos • ADF testo pagalba nustatoma integravimo eilė (I) • Nustatoma AR(p) proceso vėlavimo eilė p • Nustatoma MA(q) proceso vėlavimo eilė q VU EF V.Karpuškienė

37. VU EF V.Karpuškienė

38. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas • AR(p) proceso eilė p nustatoma tiriant dalinės autokoreliacijos koeficientus PAC • (dalinės autokoreliacijos koeficientas parodo yt koreliavimą (sąryšį) tik su konkretaus lago (k) Yt-k reikšmėmis, t.y. eliminuojant kitų lagų Yt-i, ik įtaką). • Dalinės koreliacijos koeficientai PAC yra Yt autoregresijos parametrų įverčiai VU EF V.Karpuškienė

39. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas AR procesui būdinga tai, jog dalinės autokoreliacijos koeficientasPAC p vėlavimų yra didelis (1,...,p), o likusiuose vėlavimuose dalinė autokoreliacija (p+1,...,p) yra nebereikšminga. VU EF V.Karpuškienė

40. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas AR(1)PAC –dalinės autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė

41. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas AR(2) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė

42. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasAR(p) nustatymas • Didėjant vėlavimo periodui k AR(1) proceso autokoreliacijos koeficientasAC eksponentiškai mažėja VU EF V.Karpuškienė

43. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas • MA proceso eilė nustatoma tiriant autokoreliacijos koeficientus AC • rkkoeficientas parodo Yt bendrą koreliaciją su visais Yt-1,..., Yt-k: VU EF V.Karpuškienė

44. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas • MA procesui būdinga tai, jog autokoreliacijos koeficientas ACyra didelis q vėlavimų (r1,..., rq). • Likusiuose vėlavimuose autokoreliacija yra nebereikšminga (rq+1,...,rk). VU EF V.Karpuškienė

45. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas MA(1) AC – Autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė

46. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymasMA(q) nustatymas MA(2) AC – Autokoreliacijos grafikas VU EF V.Karpuškienė

47. ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas VU EF V.Karpuškienė

48. ARMA/ARIMA modelio parametrų (koeficientų) vertinimas • Parametrų įvertinimas: kartu yra vertinami vėluojančių Yt-k kintamųjų ir paklaidų parametrai, todėl naudojamas maksimalaus tikėtinumo metodas, taikant iteracinę optimizavimo procedūrą. • EViews: ls d(Y)=C ar(1) ma(1) VU EF V.Karpuškienė

49. Regresijos parametrų vertinimo metodai • MKM – rasti tokius parametrų β1,β2 įverčius, kurie minimizuoja modelio paklaidas, t.y atsitiktinę modelio dalį. • MTM – rasti tokius parametrų įverčius β1,β2, kurie maksimizuoja sisteminės dalies ir Yi atitikimo tikimybę

50. Maksimalaus tikėtinumo metodas Tarkim nagrinėjame porinę priklausomybę, kurios Yt – atsitiktinis dydis pasiskirstęs N(, σ2) Yt=β1 + β2Yt-1+ut MTM – esmė