ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

1. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN Bloque I * Tema 039 Matemáticas Acceso a CFGS

2. Capitalización • ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN • En un fondo, además de no recoger los beneficios, aportamos todos los periodos el mismo capital Co. Eso hará que el capital final se verá bastante aumentado. • Año Capital final • 0 Co • 1 Co + Co.i = Co (1+ i) • 2 [Co + Co (1 + i)] + [Co + Co (1 + i)].i = • =Co +Co(1+i) + Co.i + Co.i. (1 + i) = • =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i) = Co(1+i)+Co(1+i)2 • 3 [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2] + [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2].i = • =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i)+ Co(1+i) .(1+i) = • =Co(1+i) +Co(1+i)2 + Co(1+i)3 • Nota: Donde pone i se debe leer r/100 Matemáticas Acceso a CFGS

3. … ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN • Vemos que es una progresión geométrica de razón (1 + i) y cuyo primer término vale Co. (1 + i). • an. r - a1 • En una p.g. la suma de todos los términos vale S = ---------------- • r – 1 • donde el número de términos, n, es el tiempo, t, en años transcurrido. • Al cabo de n años tendremos un capital final de: • t t+1 • Co.(1+ i).(1+ i) - Co.(1 + i) Co.(1+i) - Co.(1+i) • Cf = ---------------------------------------- = ------------------------------------------- • (1 + i) – 1 i • t +1 • Co . [ (1+ r/100) - (1 + r/100) ] • Cf = ----------------------------------------------- • r/100 • Fórmula empleada en fondo de pensiones y similares. Matemáticas Acceso a CFGS

4. CAPITALIZACIÓN • Ingresamos a principio de cada año 5.000 € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. • Año Ingreso Capital Intereses Capital final • 1 5.000 5.000 500 5.500 • 2 5.000 10.500 1.050 11.550 • 3 5.000 16.550 1.655 18.205 • 4 5.000 23.205 2.320,5 25.525,5 • 5 5.000 30.525,5 3.052,55 33.578,05 • 6 5.000 38.578,05 3.857,81 42.436,86 • 7 5.000 47.436,86 4.743,69 52.180,55 • Hemos invertido 35.000 € y obtenido más de 52.000 € Matemáticas Acceso a CFGS

5. EJEMPLO 1 CAPITALIZACIÓN • Ingresamos a principio de cada año 5.000 € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. • Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: • t+1 • Co [ (1+i) - (1+i) ] • Cf = ----------------------------------- • i • 7+1 • 5000 [ (1+ 0,1) - (1+ 0,1) ] • Cf = -------------------------------------------- • 0,1 • 5000 [ 2,143588 - 1,1) ] • Cf = -------------------------------------- = 5000 x 10,435888 = 52.179,44 • 0,1 Matemáticas Acceso a CFGS

6. EJEMPLO 2 CAPITALIZACIÓN • Dentro de 5 años queremos tener un capital de 100.000 €. Para ello ingresamos Iuna cantidad fija todos los trimestres en un banco que nos ofrece un 4,8 % anual de intereses. ¿Qué cantidad aportar ingresar trimestralmente?. • Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: • t+1 • Co [ (1+i) - (1+i) ] • Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 4,8 / 400 = 0,012 • i y que t = 5.4 = 20 trimestres • 20+1 • Co [ (1+ 0,012) - (1+ 0,012) ] • 100.000 = ------------------------------------------------- • 0,012 • 1200 = Co.(1,284667 – 1,012 ] • Co = 1200 / 0,272667 = 4401 € • Habremos aportado al banco 4401.20 = 88.020 € para obtener 100.000 € Matemáticas Acceso a CFGS

7. EJEMPLO 3 CAPITALIZACIÓN • Todos los meses podemos aportar 100 € a un fondo de pensiones que tenemos a un interés del 3,6 % anual. ¿Qué tiempo debemos estar, suponiendo que no varíen las condiciones, para tener un capital de 100.000 €?. • Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: • t+1 • Co [ (1+i) - (1+i) ] • Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 3,6 / 1200 = 0,003 • i y que t vendrá en meses. • t+1 • 100 [ (1+ 0,003) - (1+ 0,003) ] • 100.000 = ------------------------------------------------- • 0,003 • t+1 t+1 • 300 = 100.(1,003 – 1,003 ]  3 + 1,003 = 1,003 • Tomando logaritmos: log 4,003 = ( t+1).log 1,003 • t+1 = log 4,003 / log 1,003 = 463 meses  t = 37 años y 7 meses Matemáticas Acceso a CFGS