Matemáticas Financieras I Anualidades M.A. Fernando Jesús Martínez Eissa

1. Matemáticas Financieras I Anualidades M.A. Fernando Jesús Martínez Eissa Departamento Académico de Actuaría y Seguros México, D.F. 2011

2. Sucesiones Aritméticas Una sucesión aritmética, es una secuencia de números llamados términos donde la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante, por ejemplo: • 6,11,16,21,26,31,36,41. La diferencia constante (d) es: 5 • 54,50,46,42,38,24,30,26,22,18. d=-4 Si se busca construir una sucesión de 5 términos considerando como primer término a a y como su diferencia común d, la sucesión será: De lo anterior, se puede observar que para una sucesión de “n” términos, el último término será de la forma:

3. Sucesiones Aritméticas Con base en lo anterior, una sucesión aritmética se puede escribir de las siguientes formas: (1) a,a+d, a+2d,…, a+(n-2)d, a+(n-1)d o (2)a,a+d, a+2d,…, (u-2d)+(u-d), u Si denotamos a s como la suma de todos los términos de (2). podremos escribir: Reordenando tenemos: Sumando (3) y (4) término a término, se obtiene :

4. Sucesiones Aritméticas Por lo tanto: Con lo cual se demuestra que la suma de una sucesión geométrica es la mitad de n veces la suma del primero y el último término. Sustituyendo (i) en (ii) obtenemos:

5. Sucesiones Aritméticas EJEMPLO I Encontrar el 15vo. término y la suma de los primeros 10 términos de la progresión aritmética: 6, 11, 16, 21,… SOLUCIÓN Tenemos: a=6, d=5 y n=15 y sabemos que: Por lo tanto, el 15vo. término se obtiene: Para el caso de la suma de los primeros 10 términos, se tiene que encontrar el valor del 10mo término, para lo cual utilizamos : a=6, d=5 y n=10, obteniendo u=51. Así, la suma de los primeros 10 términos es:

6. Sucesiones Aritméticas EJEMPLO II Juan debe $4,000. Acuerda en pagar $400 cada mes a una tasa de interés de 2.5%. Encontrar el monto de los intereses totales que pagará. SOLUCIÓN El pago de intereses se comporta de la siguiente forma: (4,000)*2.5%=100; (3,600)*2.5%=90; (3,200)*2.5%=80. También se sabe que Juan hará 10 pagos (4,000/400=10). Por lo tanto, la suma de los intereses es:

7. Sucesiones Geométricas Una sucesión geométrica, es una secuencia de números llamados términos en la cual cada término se puede obtener del término inmediato anterior, multiplicándolo por un número fijo denominado tasa, por ejemplo: • 4,-8,16,-32,64,-128,256,-512. La tasa (r) es: -2 • 729,486,324,216,144,96,64 r=2/3 Si se busca construir una serie geométrica de 9 términos considerando “a” como el primer término y a “r” como su tasa de crecimiento, tenemos: De lo anterior se puede observar que para una serie de “n” términos, el último término de la serie se puede calcular como:

8. Sucesiones Geométricas Sea s la suma de siguiente serie geométrica: Entonces, Multiplicando por “r”, se obtiene: Restando (2) a (1) Será conveniente utilizar (3) cuando r<1 y cuando r>1.

9. Sucesiones Geométricas A partir de (i), se tiene: Entonces (3) y (3’) se pueden reexpresar como: EJEMPLO III Encontrar el 10mo. término y la suma de los primeros 10 términos de la sucesión geométrica 4, 8, 16, 32,… SOLUCIÓN Para obtener el 10mo. término: La suma de los primeros 10 términos será

10. Sucesiones Geométricas DEPRECIACIÓN Considere que el valor original de un activo es C y que su valor de desecho es D con una vida útil de n años. Sea d el porcentaje fijo por año de depreciación. Al final del primer año, la depreciación es Cd, por lo tanto el valor en libros del bien será C-Cd=C(1-d). Para el segundo año, la depreciación es C(1-d)d y el valor en libros es C(1-d)-C(1-d)d=C(1-d)2. Siguiendo de esta manera, encontramos que al final de “n” años el valor en libros será D=C(1-d)n. Se puede observar que el valor en libros del activo en cuestión, sigue el comportamiento de una serie geométrica.

11. Sucesiones Geométricas EJEMPLO IV (DEPRECIACIÓN) Una máquina con valor de nuevo de $4,800, se estima que tenga una vida útil de 6 años al final de los cuales tendrá un valor de desecho de $360. Encuentre la tasa de depreciación y construya una tabla de depreciación. SOLUCIÓN Tenemos: C=$4,800; D=$360 y n=6. Se sabe que D=C(1-d)n

12. Sucesiones Geométricas Infinitas Considere la siguiente serie geométrica: 1, 1/4, 1/16, 1/64, 1/256… Donde a=1 y r=1/4. La suma de los primeros n términos es: De lo anterior se puede observar que s<4/3, ya que conforme se incrementa el valor de n la suma tiende a 4/3. En general, La suma s para la serie a, ar, ar2, … se aproxima a a/(1-r) conforme n crece i.e.

13. Sucesiones Geométricas Infinitas EJEMPLO V Encontrar la suma de la siguiente serie geométrica: 1, 1/2,1/4, 1/8, … SOLUCIÓN Tenemos: a=1; r=1/2 EJEMPLO VI Encontrar la suma de la siguiente serie geométrica: 1, -1/4,1/16, -1/64, … SOLUCIÓN Tenemos: a=1; r=-1/4

14. Concepto de Anualidad Corresponde a una serie de flujos de efectivo con pagos periódicos, generalmente iguales a lo largo de un periodo de tiempo. CLASIFICACIÓN DE ANUALIDADES Cierta:Cuando se fijan de forma anticipada el número de pagos, el monto de los mismos y el tiempo al que se realizarán. Contingente o aleatoria:Cuando el número, monto o tiempo al que se realicen los pagos dependa de la ocurrencia o no de un evento. Constante:Si el monto de los pagos es igual. Se llama ordinaria si todos los pagos son iguales a 1. Variable:Si el monto de los pagos es variable Temporal:Si el número de pagos es finito. Perpetuidad:Si el número de pagos no es finito.

15. Concepto de Anualidad Se dice que una anualidad es inmediata si el primer pago se realiza al principio del primer periodo y será diferida “t” periodos si el primer pago se realiza al principio del periodo t+1. La anualidad es anticipada si los pagos se realizan al principio de cada periodo de pago y es vencida si se realizan al final de cada periodo de pago. Si x representa el primer pago de la anualidad, gráficamente las anualidades explicadas en los párrafos anteriores se verán: Inmediata Anticipada Diferida Anticipada x x 0 1 2 3 t-1 t t+1 x x Inmediata Vencida Diferida Vencida

16. Notación Número de pagos por unidad de tiempo (si m=1 se omite el paréntesis). Los diéresis indican que es anticipada, si no los lleva es vencida. Si es continua lleva una línea. t Tasa de interés efectiva anual. Unidades de tiempo diferidas, se omite si es inmediata. Duración en años de la anualidad. Si es perpetuidad se indica con el símbolo de infinito. Se usa a si es valor presente y s si es valor futuro. Así mismo, se define como el valor presente de una unidad monetaria en un año.

17. Anualidad Vencida (Annuity Immediate) Considere una anualidad en los cuales se realizan pagos de $1 al final de cada periodo durante “n” periodos. 1 1 1 1 1 (A) (B) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota . El punto (B)se sitúa “n” periodos posteriores a (A)y el valor futuro de la anualidad en este punto se denota Donde 0 1 2 3 n-1 n n+1

18. Anualidad Vencida (Annuity Immediate) EJEMPLO VII Encontrar el valor presente de una anualidad que paga $1,000 al final de cada semestre por 10 años, si la tasa de interés es 8% convertible semestral. SOLUCIÓN EJEMPLO VIII SI José invierte $20,000 al 10% convertible trimestral ¿Cuánto podrá retirar cada trimestre para acabarse el fondo en 10 años? SOLUCIÓN

19. Anualidad Vencida (Annuity Immediate) RELACIONES ENTRE VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO De igual manera Ecuaciones de Valor Presente Ecuaciones de Valor Acumulado

20. Anualidad Anticipada (Annuity Due) Considere una anualidad en los cuales se realizan pagos de $1 al principio de cada periodo durante “n” periodos. 1 1 1 1 1 (A) (B) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota . El punto (B)se sitúa “n” periodos posteriores a (A) y el valor acumulado de la anualidad en este punto se denota Donde 0 1 2 3 n-1 n n+1

21. Anualidad Anticipada (Annuity Due) EJEMPLO IX María se ganó el Melate, por lo que recibirá $2,000,000 en 20 pagos de $100,000 cada año. Recibe hoy el primer pago y los siguientes en intervalos de 1 año. ¿Cuál es el valor presente del premio ganado a una tasa de interés anual de 10%? SOLUCIÓN 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 18 19 20 0 1 2 3

22. Anualidad Anticipada (Annuity Due) EJEMPLO X Pablo deposita $200 al comienzo de cada mes en una cuenta de ahorro que otorga una tasa de interés anual efectiva de 4%. Al final de cada mes retira $100 ¿Cuál es el balance de la cuenta al final del tercer año? 200 200 200 200 200 200 SOLUCIÓN 100 100 100 100 100 100 34 35 36 0 1 2 3

23. Relaciones entre Anualidades Anticipadas y Vencidas A partir de las definiciones anteriores, se pueden observar las siguientes relaciones entre anualidades vencidas y anticipadas: 1 1 1 1 Pero también existe otro tipo de relación: 1 1 De manera similar se tiene: 0 1 2 3 n-1 n n-2

24. Perpetuidades (Perpetuities) Una perpetuidad es una anualidad en la cual los pagos continúan por siempre. i.e. una anualidad no finita. El valor presente, de una anualidad vencida se denota 1 1 1 1 1 … 1 De forma alterna, tenemos n-2 0 1 2 3 n-1 n

25. Perpetuidades (Perpetuities) EJEMPLO XI Suponga que una Compañía emite un instrumento financiero que paga dividendos de $60,000 al final de cada año de forma indefinida. Si el costo de capital es 6%, calcule el valor del instrumento financiero al principio del año. SOLUCIÓN EN RESUMEN Valor Presente Perpetuidad Vencida Valor Presente Perpetuidad Anticipada

26. Resumen de Fórmulas ANUALIDADES BÁSICAS Valor Presente (VP) Valor Fututo o Acumulado (VF) Anualidad Vencida Anualidad Anticipada Perpetuidad Vencida Perpetuidad Anticipada

27. Anualidad Vencida Diferida (Deferred Annuity Immediate) Considere una anualidad diferida “h” periodos vencida, en la cual el primer pago se realiza en el periodo de pago h+1 y todos los pagos se realizan al final de cada periodo de pago. 1 1 h+2 0 … h h+1 (A) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota por: Donde

28. Anualidad Anticipada Diferida (Deferred Annuity Due) Considere una anualidad diferida “h” periodos anticipada, en la cual el primer pago se realiza en el periodo de pago h y todos los pagos se realizan al principio de cada periodo de pago. 1 1 1 h+2 0 … h h+1 (A) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota por: Donde

29. Perpetuidad Vencida Diferida Perpetuidad diferida “h” años vencida, el primer pago se realiza en el periodo de pago h+1 y todos los pagos se realizan al final de cada periodo de pago. 1 1 … h+2 0 … h h+1 (A) El valor presente de esta perpetuidad valuado en (A), se denota por: Donde

30. Perpetuidad Anticipada Diferida Perpetuidad diferida “h” años anticipada, el primer pago se realiza en el periodo de pago h+1 y todos los pagos se realizan al inicio de cada periodo de pago. 1 1 1 … h+2 0 … h h+1 (A) El valor presente de esta perpetuidad valuado en (A), se denota por: Donde

31. Ejemplo CASO DE LA ABUELA (Parte I) Laura entrará a la universidad el próximo año y se mantendrá como estudiante durante 10 años para obtener el grado de Doctorado. Su abuela desea otorgarle $10,000 al final de cada año para gastos de entretenimiento. Suponiendo que la tasa de interés anual efectiva es de 3.5%. ¿Cuánto deberá depositar la abuela al final de este año para que se garantice el pago de los $10,000 durante los próximos 10 años? SOLUCIÓN

32. Ejemplo CASO DE LA ABUELA (Parte II) Si Laura decide ahorrar el ingreso proporcionado por la abuela en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés anual efectiva de 3.5%. ¿Cuánto habrá ahorrado cuando reciba el último pago? SOLUCIÓN

33. Ejemplo CASO DE LA ABUELA (Parte III) ¿Cuánto deberá depositar la abuela al final de este año, si los $10,000 anuales, se pagarán a Laura al inicio de cada año considerando una tasa de interés anual efectiva de 3.5%? SOLUCIÓN NOTA: Observe que $86,076.86 = $83,166.05(1.035)

34. Ejemplo CASO DE LA ABUELA (Parte IV) Suponga que Laura ahorró los $10,000 anuales al tiempo que los recibía. Considerando una tasa de interés anual efectiva de 3.5% ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 10 años? SOLUCIÓN NOTA: Observe que $121,419.92 = $117,313.93(1.035)

35. Ejemplo CASO DE LA ABUELA (Parte V) Suponga que la abuela considera que su nieta necesitará $10,000 los primeros 4 años y $15,000 durante los siguientes 6 años ¿Cuánto deberá depositar la abuela el día de hoy para que se garantice el pago? SOLUCIÓN

36. Ejemplo CASO DE LA ABUELA (Parte VI) Suponga que la nieta recibe $10,000 al final de cada año y que los ahorra ganando los primeros 4 años el 3.5% y durante los siguientes 6 años el 5% ¿Cuánto habrá acumulado al recibir el último pago? SOLUCIÓN

37. Tiempo Desconocido EJEMPLO XII Una inversión de $300,000 se usará para realizar pagos de $50,000 al final de cada año por el tiempo que sea posible. Si el fondo gana una tasa de interés anual efectiva de 5%. Encontrar cuántos pagos regulares se pueden hacer y determine el monto del pago más pequeño si: (1) se realiza en la fecha del último pago regular (2) si se realiza un año después del último pago regular. SOLUCIÓN Se resuelve primero la siguiente ecuación de valor:

38. Tiempo Desconocido SOLUCIÓN (Continuación) Para determinar el monto del pago más pequeño si (1) se realiza en la fecha del último pago regular. La ecuación de valor al final del año 7 es: 50,000 x … 0 1 50,000 50,000 50,000 2 3 7 300,000

39. Anualidad Vencida Fraccionada Considere una anualidad en la cual se realiza el pago de $1 anual, distribuido uniformemente a lo largo de un año, donde cada periodo corresponde a un “m-ésimo” de año. (A) (B) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota por: . El punto (B) se sitúa “n” periodos posteriores a (A) y el valor acumulado de la anualidad en este punto se denota

40. Anualidad Anticipada Fraccionada Considere una anualidad en la cual se realiza el pago de $1 anual, distribuido uniformemente a lo largo de un año, donde cada periodo corresponde a un “m-ésimo” de año. (A) (B) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota por: . El punto (B) se sitúa “n” periodos posteriores a (A) y el valor acumulado de la anualidad en este punto se denota

41. Anualidad Vencida Fraccionada y Diferida Considere una anualidad en la cual se realiza el pago de $1 anual, distribuido uniformemente a lo largo de un año, donde cada periodo corresponde a un “m-ésimo” de año. (A) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota por: .

42. Anualidad Anticipada Fraccionada y Diferida Considere una anualidad en la cual se realiza el pago de $1 anual, distribuido uniformemente a lo largo de un año, donde cada periodo corresponde a un “m-ésimo” de año. (A) El valor presente de esta anualidad valuado en (A), se denota por:

43. Perpetuidades Fraccionadas Perpetuidad fraccionada vencida:El primer pago se realiza en la primera fracción del primer periodo de pago y todos los pagos se hacen al final de cada fracción de cada periodo de pago. El valor presente y su notación son: Perpetuidad fraccionada anticipada:El primer pago se realiza en la primera fracción del primer periodo de pago y todos los pagos se hacen al principio de cada fracción de cada periodo de pago. El valor presente y su notación son:

44. Perpetuidades Fraccionadas Diferidas Perpetuidad fraccionada diferida vencida:El primer pago se realiza en la primera fracción del periodo de pago h+1 y todos los pagos se hacen al final de cada fracción de cada periodo de pago. El valor presente y su notación son: Perpetuidad fraccionada diferida anticipada:El primer pago se realiza en la primera fracción del periodo de pago h+1 y todos los pagos se hacen al principio de cada fracción de cada periodo de pago. El valor presente y su notación son:

45. Relaciones entre Anualidades Fraccionadas y Ordinarias A partir de las definiciones anteriores, se pueden observar las siguientes relaciones entre anualidades fraccionadas y ordinarias: Así mismo, se tienen las siguientes relaciones:

46. Anualidades Fraccionadas EJEMPLO XIII Una persona pide prestados $10,000 y logra negociar su pago de la siguiente manera: realizar un primer pago al final del noveno mes y realizar 60 pagos mensuales iguales. Si x corresponde al monto de los pagos y la tasa de interés anual es de 18% anual convertible mensual. ¿Cuál es el valor de x? SOLUCIÓN x x x 0

47. Anualidades Fraccionadas EJEMPLO XIV A partir del ejemplo anterior calcular la cantidad de cada pago si se realizan los pagos de forma anticipada y sin diferimiento. SOLUCIÓN x x x x x 0

48. Anualidades Continuas Un caso especial de las anualidades fraccionarias, son aquellas en las cuales los pagos se realizan de manera continua, i.e. que la frecuencia de los pagos tiende a infinito. Para este caso particular, los valores presentes de las anualidades anticipadas y vencidas coinciden. VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES TEMPORALES El valor presente de una anualidad que paga de forma continua para n periodos de conversión años de $1 distribuido uniformemente de forma continua a lo largo de un año es: O bien:

49. Anualidades Continuas Diferidas VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES DIFERIDAS El valor presente de una anualidad diferida h años, que empieza a pagar en el primer instante del periodo de pago h+1. Su notación es: O bien:

50. Perpetuidades Continuas El valor presente de una perpetuidad inmediata que empieza a pagar en el primer instante del primer periodo de pago es: El valor presente de una perpetuidad diferida que empieza a pagar en el primer instante del primer periodo de pago h+1 es: