APLICACIONES DE POTENCIAS Y LOGARITMOS

1. APLICACIONES DE POTENCIAS Y LOGARITMOS Bloque III * Tema 108 Matemáticas Acceso a CFGS

2. Presencia y Aplicaciones • 1.- La función exponencial en la Economía: • Interés compuesto, en Capitalización y Amortización de préstamos. • 2.- La función exponencial y sus aplicaciones en la Estadística: • Crecimiento y declive de una población. • 3.- La función exponencial y sus aplicaciones en Sanidad: • Plagas, epidemias, efectividad de los fármacos. • 4.- La función exponencial y sus aplicaciones en la Energía: • Productividad y polución atmosférica, en la Física y en la Química. Matemáticas Acceso a CFGS

3. INTERÉS COMPUESTO • En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo, (t) el interés ( r) producido por el dinero que prestamos se acumula al capital ( C) para producir nuevos intereses en el periodo siguiente. • Al final del primer periodo: Cf = C + C.r • Al final del segundo periodo: Cf = (C + C.r) + (C + C.r).r • Sacando factor común a (C+C.r) tenemos: • Cf = (C + C.r).(1+r) = C.(1+r).(1+r) = C.(1+r)2 • Al final del tercer periodo: Capital final = C.(1+r)2 + C.(1+r)2 .r • Sacando factor común a C.(1+r)2 tenemos: • Cf = C.(1+r)2.(1+ r) = C.(1+ r)3 • Al cabo de t periodo tendremos: Cf = C.(1+r)t • Tenemos f (t) = k. at , que es una función exponencial Matemáticas Acceso a CFGS

4. Ejemplo 1 • Ingresamos 6.000 € en un banco, con un 5% anual de interés compuesto. • ¿Qué dinero tendremos al cabo de 10 años?. • Al cabo de t años tendremos: Cf = C.(1+r)t • Rédito = r = 5% = 0,05 • Cf = 6000.( 1 + 0,05)10 = 6000.1,0510 = 6000.1,6289 = 9773,37 € • Ejemplo 2 • Ingresamos 6.000 € en un banco, con un 4% anual de interés compuesto. • ¿Qué dinero tendremos al cabo de 40 meses?. • Al cabo de t meses tendremos: Cf = C.(1+r)t • Rédito = r / 12 = 4% / 12 = 0,04 / 12 = 0,003333 • Cf = 6000.( 1 + 0,003333)40 = 6000.1,142377= 6854,26 € Matemáticas Acceso a CFGS

5. Ejemplo 3 • Ingresamos 5.000 € en un banco, con un 3% anual de interés compuesto. • ¿Qué dinero tendremos al cabo de 5 años?. • ¿Y al cabo de 10 años? • Al cabo de t años tendremos: Cf = C.(1+r)t • Rédito = r = 3% = 0,03 • Al cabo de 5 años tendremos: • Cf = 5000.( 1 + 0,03)5 = 5000.1,035 = 5000.1,1592 = 5796,37 € • Nota: Los intereses producidos, 796,73 €, son mayores de los producidos a interés simple: 5.(5000. 0,03) = 750 € • Al cabo de 10 años tendremos: • Cf = 5000.( 1 + 0,03)10 = 5000.1,0310 = 5000.1,3439 = 6719,58 € • Nota: Los intereses producidos en 10 años, 1719,58 €, son mayores que el doble de los producidos en 5 años. • A doble de tiempo no corresponde doble de intereses, sino más. Matemáticas Acceso a CFGS

6. POBLACIONES • Ya sean personas, animales, árboles o bacterias, el crecimiento o disminución de una población sigue las leyes de una función exponencial, que no es otra cosa que una progresión geométrica expresada en forma de función. • Una población que tiene inicialmente N individuos y que crece a razón de un p % anual, al cabo de t años se convierte en Nt individuos, donde: • Nt = N.(1+(p/100))t • Ejemplo 1 • Queremos repoblar de conejos una reserva natural, para lo cual implantamos una población de 50 elementos. Si sabemos que crecen a razón de un 150 % anual, ¿qué población tendremos al cabo de 5 años?. ¿Y al cabo de 10 años?. • Al cabo de 5 años tendremos: Nt = 50.(1+(150/100))5= 4883 • Al cabo de 10 años tendremos: Nt = 50.(1+(150/100))10= 476837 • Nota: En 5 años pasamos de 5.000 a medio millón. Matemáticas Acceso a CFGS

7. Ejemplo 2 • Una peligrosa bacteria ha infectado a 7 personas. Cada día que un individuo infectado esté en contacto con otras personas sanas se infectan 2 individuos. Si no se ponen en cuarentena a los infectados, ¿cuántas personas estarán infectadas en una semana?. • ¿Y en un mes? • Está claro que la población infectada aumenta en progresión geométrica. • Nt = N.(1+(p/100))t • N = 7 personas iniciales. • p = 200 % es el aumento, pues cada persona infecta a 2 sanas. • Al cabo de una semana: Nt = 7.(1+(200/100))7= 15309 personas • Al cabo de un mes: Nt = 7.(1+(200/100))30= 1,5.1015 • Nota: En una semana una ciudad, en dos semanas un país, y antes de tres semanas todo el planeta. Se puede comprobar. Matemáticas Acceso a CFGS

8. Ejemplo 3 • En una granja se sabe que la población de conejos crece de forma exponencial. Al principio había 200 y en un mes había 300. Halla la función que nos de el número de conejos de la granja en relación al tiempo transcurrido. • ¿Cuántos conejos habrá al cabo de 12 meses?. • ¿Y al cabo de 10 años? • Por los datos del problema: • Nt = N.at • Al principio t = 0 meses. • 200 = N.a0 = N • En un mes, t = 1 meses. • 300 = 200.a1 300/200 = a  a = 1,5 • Al cabo de 12 meses: Nt = 200.1,512= 25 949 • Al cabo de 10 años: Nt = 200.1,5120= 2,7.1022 Matemáticas Acceso a CFGS

9. La población mundial • Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el crecimiento de la población mundial, ha establecido que esta población, y, en función del año correspondiente, x, puede expresarse según la siguiente ecuación: • y = 100,00389.x+2 • a) Dibuja la gráfica de esta función. • b) ¿En qué año la población alcanzó los mil millones?. • c) ¿Y los 3 mil millones? • d) Del mismo modo calcula en que año alcanzará los 6 mil millones de habitantes. Matemáticas Acceso a CFGS

10. Depreciación de un valor • Con el paso del tiempo hay muchos bienes que pierden su valor, y dicha pérdida de valor sigue una proyección exponencial. • Un bien que posee inicialmente un valor de V y que disminuye a razón de un p % anual, al cabo de t años vale Vt , donde: • Vt = V.(1 – (p/100))t • Ejemplo 1 • Un coche nos costó 18.000 €. Se estima que cada año su valor se deprecia un 15%. ¿Qué valdrá al cabo de 1 año?. ¿Y de 3 años?. ¿Y de 10 años?. ¿Y de 20 años?. • Al cabo de 1 año valdrá Vt = 18000.(1 – 0,15)1= 15 300 € • Al cabo de 3 años valdrá Vt = 18000.(1 – 0,15)3= 11 054 € • Al cabo de 10 años valdrá Vt = 18000.(1 – 0,15)10= 3 544 € • Al cabo de 20 años valdrá Vt = 18000.(1 – 0,15)20= 698 € • Nota: Observar que la base de la exponencial es a=0,85, valor comprendido entre 0 y 1. Matemáticas Acceso a CFGS

11. Ejemplo 2 • Digamos que comenzaste un pequeño negocio y compraste una camioneta nueva para hacer entregas. La camioneta tuvo un costo de 25.000 € y de acuerdo a la ley de impuestos, te es permitido depreciar su valor por 15% por año. Esto significa que después de la depreciación del primer año, el valor de la camioneta será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €. • 1. ¿Disminuye el valor de la camioneta la misma cantidad cada año? • 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? • 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? • 4. ¿No tendrá ningún valor la camioneta en algún momento, de acuerdo a este modelo? ¿Qué tal en la vida real? Explica. • 5. ¿Tendrá la camioneta en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? • La fórmula: y = 25000.(1 – 0,15)x  y= 25000.(0,85)x • Usa tu calculadora para dibujar una gráfica de esta función. Matemáticas Acceso a CFGS

12. La desintegración radiactiva. • Los elementos radiactivos se desintegran transformándose en otros diferentes. Supongamos que tenemos una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada año. A este tiempo se le llama periodo de semi-desintegración. • Calcula la cantidad que queda según los años transcurridos: • Tiempo (en años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • Kilos de sustancia 1 0’5 • Elabora una función exponencial que nos de en todo momento la cantidad de material en función del tiempo. Matemáticas Acceso a CFGS

13. El pH de las disoluciones • La magnitud que mide el nivel de acidez o basicidad de una disolución se denomina pH y se define mediante la fórmula: • pH = – log [H2O+] • Siendo [H2O+] el valor de la concentración de iones hidronio en moles/litro. • Las disoluciones muy ácidas tienen un pH cercano a O, las muy básicas cercano a 14, y las neutras un valor próximo a 7. • EJEMPLO • Hallar el pH de una disolución de amoniaco que contiene una concentración de iones hidronio de 3,15.10-11 moles/litro. • pH = – log [H2O+] = – log [3,15.10-11] = – (log 3,15 + log 10-11) = • = – log 3’15 – log 10-11 = – 0,4983 – (– 11).log 10 = • = – 0,4983 + 11 = 10,5 Matemáticas Acceso a CFGS