Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management SUDDIVISIONE PER ESERCITAZIONI

1. Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e ManagementLezione n°3Le distribuzioni di frequenza e le misure di sintesi univariate

2. Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e ManagementSUDDIVISIONE PER ESERCITAZIONI Venerdì ore 08.30Economia e direzione d'impresa, Marketing.Venerdì ore 11.00Amministrazione aziendale e libera professione, Banche mercati e finanza d'impresa, Management delle risorse umane.

3. Percorso di Analisi

4. Matricedeidati

5. Esempio di matricedeidati Popolazione di 20 individui N=20 Variabili rilevate su ogni unità statistica Tipologia di variabili: NUMERO DI FIGLI variabilequantitativadiscreta ALTEZZA variabilequantitativacontinua SESSO variabilequalitativanominale TITOLO DI STUDIO variabilequalitativaordinale

6. Statisticadescrittivaunivariata La statistica descrittiva univariata ha come obiettivo lo studio della distribuzione di ogni variabile, singolarmente considerata, all’interno della popolazione. Fornisce strumenti per la lettura dei fenomeni osservati di rapida ed immediata interpretazione. • Distribuzioni di frequenza • Misure di sintesi • Misure di posizione • Misure di dispersione • Misuredella forma delladistribuzione • Data Audit • Errori di imputazione • Datimancanti (missing) • Valorianomali (outliers) • Analisipreliminari

7. Le distribuzioni di frequenza Per variabili qualitative e quantitative discrete Listadeidati La distribuzione di frequenza è in grado di «compattare» la lista di dati dando un’immagine immediata e di facile lettura della distribuzione della variabile.

8. Le distribuzioni di frequenza • Frequenza assoluta: è un primo livello di sintesi dei dati, consiste nell’associare a ciascuna categoria, o modalità, il numero di volte in cui compare nei dati • Distribuzione di frequenza: insieme delle modalità e delle loro frequenze • Frequenza relativa: rapporto tra la frequenza assoluta ed il numero complessivo delle osservazioni effettuate. I due tipi di frequenze vengono usati con dati qualitativi (nominali e ordinali) e quantitativi discreti. pi= ni/ N

9. Le distribuzioni di frequenza • Rappresentazione grafica variabili qualitative: Diagr. a barre: nell’asse delle ascisse ci sono le categorie, senza un ordine preciso; in quello delle ordinate le frequenze assolute/relative corrispondenti alle diverse modalità Diagr. a torta: la circonferenza è divisa proporzionalmente alle frequenze Diagramma a barre – titolo di studio Diagramma a torta - sesso

10. Le distribuzioni di frequenza Diagramma delle frequenze – numero di figli • Rappresentazione grafica var.quantitative discrete: Diagr. delle frequenze: nell’asse delle ascisse ci sono i valori assunti dalla var. discreta (quindi ha un significato quantitativo); l’altezza delle barre è proporzionale alle frequenze relative o assolute del valore stesso Istogramma: nell’asse delle ascisse ci sono le classi degli intervalli considerati; l’asse delle ordinate rappresenta la densità di frequenza; l’area del rettangolo corrisponde alla frequenza della classe stessa.

11. Le distribuzioni di frequenzaesempi

12. Misure di sintesi Misure di posizione: Misure di tendenza centrale: • Media aritmetica • Mediana • Moda Misure di tendenza non centrale: • Quantili di ordine p (percentili, quartili) Misure di dispersione: • Campo di variazione • Differenza interquantile • Varianza • Scarto quadratico medio • Coefficiente di variazione Misure di forma della distribuzione: • Skewness • Kurtosis

13. Misure di sintesi Misure di posizione: Misure di tendenza centrale: • Media aritmetica • Mediana • Moda Misure di tendenza non centrale: • Quantili di ordine p (percentili, quartili) Misure di dispersione: • Campo di variazione • Differenza interquantile • Varianza • Scarto quadratico medio • Coefficiente di variazione Misure di forma della distribuzione: • Skewness • Kurtosis

14. Misure di Tendenza Centrale Tendenza Centrale Moda Media Mediana Valore centrale delle osservazioni ordinate Valore più frequente Media Aritmetica

15. Media Aritmetica • E’ è quel valore (non necessariamente una modalità osservata) che rileva la tendenza centrale della distribuzione • E’ la misura di tendenzacentrale piùcomune • Media = sommadeivaloridivisoilnumero di valori • Influenzata da valoriestremi (outlier) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Media = 3 Media = 4

16. Media Aritmetica

17. Mediana • In unalistaordinata, la medianaèilvalore “centrale” (50% sopra, 50% sotto) • Non influenzata da valoriestremi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mediana = 3 Mediana = 3

18. Moda • Valorecheoccorre piùfrequentemente, cioèquella modalità della distribuzione di frequenza alla quale è associata la frequenza assoluta (o relativa) maggiore • Non influenzata da valoriestremi • Usatasia per datinumericichecategorici • Può non esserciunamoda • Cipuòessere più di unamoda 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 No Moda Moda = 9

19. Moda Quale è la modadellavariabile “Titolo di Studio”? Quale è la modadellavariabile “Sesso”?

20. 1 2 3 4 1 2 3 4 Media, Moda & Mediana La moda è pari a 1, è ilvalorecheoccorre piùfrequentemente In unalistaordinata, la medianaèilvalore “centrale”, è pari a 2 1 1 1 2 2 3 4 Media = sommadeivaloridivisoilnumero di valori = 2 (1+1+1+2+2+3+4)/7 = (1*3 + 2*2 + 3*1 + 4*1)/7 = 14/7 = 2

21. Misure di Tendenza Non CentraleI quantili di ordine p • Il quantile di ordine p (p (0,1)) è quella modalità della distribuzione che lascia prima di sé almeno il p% delle n unità statistiche indagate e dopo di sé almeno il restante (1-p)%. • Quantile è il termine generico che individua una famiglia di indici di posizione, ad esempio si parla di: • percentiliquando p assume un valore dell’insieme {0.01;0.02;…;0.99} • quartiliquando p assume uno dei seguenti valori {0.25;0.50;0.75}. • Si noti che la mediana (il quantile più famoso) coincide con il 50° percentile o il 2° quartile.

22. Misure di Tendenza Non CentraleI Quartili • I Quartili dividono la sequenza ordinata dei dati in 4 segmenti contenenti lo stesso numero di valori 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 • Il primo quartile, Q1, è il valore per il quale 25% delle osservazioni sono minori e 75% sono maggiori di esso • Q2 coincide con la mediana (50% sono minori, 50% sono maggiori) • Solo 25% delle osservazioni sono maggiori del terzo quartile

23. Misure di Tendenza Non CentraleESEMPIO PRINCIPALI QUANTILI: MATRICE DEI DATI: • Il primo quartile, Q1, è 167, cosa significa? • Il 25% delle unità statistiche che compongono il campione hanno un’altezza minore di 167 cm e il 75% un’altezza maggiore

24. Box Plot Mediana (Q2) X X Q1 Q3 massimo minimo 25% 25% 25% 25% 12 30 45 57 70 Differenza Interquartile 57 – 30 = 27 INDICE DI DISPERSIONE OUTLIERS: Q1 - 1,5 * Differenza interquartile Q3 + 1,5 * Differenza interquartile

25. Misure di sintesi Misure di posizione: Misure di tendenza centrale: • Media aritmetica • Mediana • Moda Misure di tendenza non centrale: • Quantili di ordine p (percentili, quartili) Misure di dispersione: • Campo di variazione • Differenza interquantile • Varianza • Scarto quadratico medio • Coefficiente di variazione Misure di forma della distribuzione: • Skewness • Kurtosis

26. Misure di Variabilità Variabilità Campo di Variazione Differenza Interquartile Varianza Scarto Quadratico Medio Coefficiente di Variazione • Le misure di variabilità forniscono informazioni sulla dispersione o variabilità dei valori. Stesso centro, diversa variabilità

27. Campo di Variazione • La più semplice misura di variabilità • Differenza tra il massimo e il minimo dei valori osservati: Campo di variazione = Xmassimo – Xminimo Esempio: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Campo di Variazione = 14 - 1 = 13

28. Campo di Variazione • Ignora il modo in cui i dati sono distribuiti • Sensibile agli outlier 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 Campo di Var. = 12 - 7 = 5 Campo di Var. = 12 - 7 = 5 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5 Campo di Var. = 5 - 1 = 4 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120 Campo di Var = 120 - 1 = 119

29. Differenza Interquartile • Possiamo eliminare il problema degli outlier usando la differenza interquartile • Elimina i valori osservati più alti e più bassi e calcola il campo di variazione del 50% centrale dei dati • Differenza Interquartile = 3o quartile – 1o quartile IQR = Q3 – Q1

30. Varianza • Media dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione e la media • Varianza della Popolazione: dove = media della popolazione N = dimensione della popolazione xi = iimo valore della variabile X

31. Scarto Quadratico Medio • Misura di variabilitàcomunementeusata • Mostra la variabilitàrispettoalla media • Ha la stessa unità di misuradeidatioriginali • Assume valori maggiori o uguali a 0; il caso particolare SQM=0 si verifica solamente in caso di assenza di variabilità • ScartoQuadraticoMediodellaPopolazione:

32. Scarto Quadratico Medio Scarto quadratico medio piccolo Scarto quadratico medio grande

33. Scarto Quadratico Medio Dati A Media = 15.5 s = 3.338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Dati B Media = 15.5 s = 0.926 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Dati C Media = 15.5 s = 4.570 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

34. Scarto Quadratico Medio • Viene calcolato usando tutti i valori nel set di dati • Valori lontani dalla media hanno più peso (poichè si usa il quadrato delle deviazioni dalla media) • Le stesse considerazioni valgono anche per il calcolo della Varianza

35. Coefficiente di Variazione • Misura la variabilitàrelativa • Sempre in percentuale (%) • Mostra la variabilitàrelativarispettoalla media • Puòessereusato per confrontare due o più set di datimisurati con unità di misuradiversa • Assume valori maggiori di 0 e crescenti al crescere della variabilità; ancora una volta, si avrà che CV=0 in assenza di variabilità.

36. Coefficiente di Variazione • Azione A: • Prezzo medio scorso anno = $50 • Scarto Quadratico Medio = $5 • Azione B: • Prezzo medio scorso anno = $100 • Scarto Quadratico Medio = $5 Entrambe le azionihanno lo stessoscartoquadraticomedio, ma l’azione B èmenovariabilerispetto al suoprezzo

37. Misure di sintesi Misure di posizione: Misure di tendenza centrale: • Media aritmetica • Mediana • Moda Misure di tendenza non centrale: • Quantili di ordine p (percentili, quartili) Misure di dispersione: • Campo di variazione • Differenza interquantile • Varianza • Scarto quadratico medio • Coefficiente di variazione Misure di forma della distribuzione: • Skewness • Kurtosis

38. Forma della Distribuzione • La forma della distribuzione si dice simmetrica se le osservazioni sono bilanciate, o distribuite in modo approssimativamente regolare attorno al centro.

39. Forma della Distribuzione • La forma della distribuzione è detta asimmetricase le osservazioni non sono distribuite in modo simmetrico rispetto al centro. Una distribuzione con asimmetria positiva (obliqua a destra) ha una coda che si estende a destra, nella direzione dei valori positivi. Una distribuzione con asimmetria negativa (obliqua a sinistra) ha una coda che si estende a sinistra, nella direzione dei valori negativi.

40. Misure di Forma della Distribuzione • Descrive come i dati sono distribuiti • Misure della forma • Simmetrica o asimmetrica Obliqua a destra Simmetrica Obliqua a sinistra Media < Mediana Media = Mediana Mediana < Media

41. Misure di Forma della Distribuzione Skewness: indice che informa circa il grado di simmetria o asimmetria di una distribuzione. • γ=0 ditribuzione simmetrica; • γ<0 asimmetria negativa (mediana>media); • γ>0 asimmetria positiva (mediana<media). Kurtosis: indice che permette di verificare se i dati seguono una distribuzione di tipo Normale (simmetrica). • β=3 se la distribuzione è “Normale”; • β<3 se la distribuzione è iponormale (rispetto alla distribuzione di una Normale ha densità di frequenza minore per valori molto distanti dalla media); • β>3 se la distribuzione è ipernormale (rispetto alla distribuzione di una Normale ha densità di frequenza maggiore per i valori molto distanti dalla media).

42. altezza The mode displayed is the smallest of 3 modes with a count of 3.

43. Univariate Analysis • Frequency distribution • Synthesis measures • Measures of location • Measures of spread • Measures of shape • Data Audit • Input errors • Outliers • Missing values • Basic insights … …

44. Analisi di Concentrazione Caratteriquantitativitrasferibili • Un carattere è trasferibile se possiamo immaginare che un’unità possa cedere parte del carattere che possiede ad un’altra unità. • Sono esempi di carattere trasferibile: reddito, fatturato, numero addetti, audience televisiva, clienti. • Sono esempi di carattere non trasferibile: altezza e peso.

45. Analisi di Concentrazione Caratteriquantitativitrasferibili • Si rilevi il reddito delle famiglie di un campione. • L’analisi di concentrazione ci aiuta a ripondere alla seguente domanda: • Il reddito complessivo è equidistribuito tra le famiglie oppure la maggior parte dell’ammontare complessivo del reddito è posseduto da un numero esiguo di famiglie? • Vogliamo misurare il grado di concentrazione del carattere nella nostra popolazione.

46. Equidistribuzione: Max concentrazione: Analisi di Concentrazione Per caratteri quantitativi trasferibili Nel caso in cui tutto il reddito sia posseduto da una sola famiglia mentre tutte le altre hanno zero reddito, si parla di massima concentrazione. Se tutte le famiglie hanno lo stesso reddito, si parla di equidistribuzione;

47. 2.Calcolare le quantità: Analisi di Concentrazione 1.Ordinare le osservazioni le unità sono ordinate dalla più povera alla più ricca Dove Fi è la frazione, sul totale delle unità, delle i unità più povere e Qi è la frazione di ammontare del carattere, sull’ammontare complessivo, posseduto dalle i unità più povere.

48. CURVA DI CONCENTRAZIONE REDD. >=0 QI 1.0 20% 50% 0.9 0.8 0.7 0.6 60% 90% 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 FI Analisi di Concentrazione