CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA

1. Professora: Maria Gorete N. Brum Orientador: Profª. Dr. ELENI BISOGNI CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO Atividades Investigativas no Ensino de Matemática para alunos de 5º Série do Ensino Fundamental Junho - 2012

2. Introdução João Pedro da Ponte. Joana Brocardo e Hélia Oliveira (2003), afirmam que investigar constitui uma poderosa forma de construir o conhecimento e isso vem ao encontro dos propósitos deste trabalho. Isto é, buscar uma forma de ajudar os alunos a construírem seus conhecimentos em matemática e não simplesmente decorarem as fórmulas. Problema de Pesquisa A exploração de padrões e regularidades em sequências numéricas e geométricas, por meio de atividades investigativas, contribui para a aprendizagem da matemática dos alunos de 5ª série do ensino fundamental?.

3. OBJETIVO GERAL Analisar as contribuições da utilização de atividades investigativas na exploração de padrões e regularidades em sequências numéricas e geométricas como elementos facilitadores da aprendizagem dos alunos de 5º série do Ensino Fundamental. Objetivos Específicos • Analisar como os alunos identificam as regularidades das figuras para construir generalizações.

4. Analisar se os alunos estabelecem relações entre as representações geométricas e as expressões algébricas. • Analisar se as atividades investigativas apresentadas propiciam aos alunos construir o conceito de número par, ímpar e múltiplos de números naturais. • Analisar se as atividades investigativas apresentadas propiciam aos alunos construir conceito de potência de um número natural. • Analisar se as atividades investigativas favorecem a construção do conceito de perímetro e área de uma figura plana.

5. METODOLOGIA DA PESQUISA Pesquisa de cunho qualitativa interpretativa. Goldenberg (2005) diz que : Os dados qualitativos consistem em descrições detalhadas de situações com o objetivo de compreender os indivíduos em seus próprios termos. Estes dados não são padronizáveis como os dados quantitativos, obrigando o pesquisador a ter flexibilidade e criatividade no momento de coletá-los e analisá-los (p.53).

6. Lüdke e André (1986) afirmam “que a pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento. [...] A preocupação com o processo é muito maior do que com o produto” (p.12). E, que os dados coletados devem ser predominantemente descritivos. A coleta de dados dessa pesquisa foi realizada no próprio local onde o fenômeno aconteceu, isto é, na sala de aula por meio da observação, que é uma das modalidades destacadas por Fiorentini e Lorenzato (2007).

7. INSTRUMENTOS DE PESQUISA Utilizou-se os relatório escrito pelos integrantes dos grupos com suas conclusões, o raciocínio desenvolvido para chegar às conclusões, as idéias que foram surgindo durante o processo do trabalho investigativo. Observou-se todas as ações desenvolvidas pelos alunos durante a realização das tarefas. Manteve-se um dialogo constante com os alunos para verificar as dificuldades que iam surgindo, para melhor auxiliá-los. Todas as observações foram anotadas em seu diário de campo. As apresentações orais dos resultados obtidos pelo grupo ocorreu na fase final da investigação matemática.

9. Explorar o conceito de padrões reconhecer, descrever e continuar a sequência. 1 Explorar a noção e a propriedade dos números pares , ímpares e seus múltiplos. 2 Trabalhar as potências dos números naturais. 3 ATIVIDADES POR OBJETIVOS Conceito de área e de perímetro de figuras planas. 4

10. Atividade 1 As figuras do desenho, a seguir, se repetem. • Identifique o conjunto de elementos que se repete. • Que figura estará na 15ª posição? • Em que posição estará o décimo quadrado? CLIQUE AQUI para os comentários

11. Alguns grupos contaram até a 10ª figura e responderam que era o 3º quadrado da sequência. ?? ??? Outros para entender melhor desenharam até chegar ao 10º quadrado para contar e ver qual a posição que ocuparia.

12. Atividade 2 Apresentou-se aos alunos a sequência, a seguir: • Identifique o conjunto de elementos que se repete e continue o desenho. CLIQUE AQUI para os comentários

13. Devido as dificuldades apresentada a professora começou a indagá-los: A primeira figura é de que forma? A primeira figura é um quadradinho verde. A segunda figura é de que forma? A segunda figura são dois quadradinhos na vertical um verde ( em baixo) e um laranja ( em cima).

14. A terceira figura é um quadradinho laranja. E a terceira? E a quarta figura como está representada? A quarta figura é igual à segunda, porém invertida. A quinta é igual a primeira. E a quinta figura como está representada?

15. O que vocês observam na quinta figura? Começa a repetir. A partir da quinta figura começa a repetir, professora. A fig1 repete nos números: 1, 5, 9, 13,17 e 21. A fig2 repete nos números: 2, 6, 10, 14, 18 e 22. Que significa isso? Qual é a figura que estará na 61º posição? Quais os seis primeiros números que repetem as fig1 e a fig2?

16. Analisem as fig3 e 4 e identifiquem em que fichas elas se repetem. A fig3 repete nos números: 3, 7, 11, 15, 19 e 23. A fig4 repete nos números: 4, 8, 12, 16, 20 e 24. A fig3 repete nos ímpares. A fig4 repete nos pares. Os alunos perceberam que as fig 1 e a fig 3 poderiam estar na 61º posição. Tiveram que fazer muitas representações para chegar à conclusão que na posição 61 a fig1 é que se repetia.

17. Atividade 3 Analise as figuras 1, 2, 3 e 4 a seguir, compare-as e escreva suas conclusões. ... CLIQUE AQUI para os comentários O que vocês observam ao comparar as figuras? Qual a diferença da fig1. para a fig2., e da fig3. para a fig4.? Quantas bolinhas terá a fig. 10?

18. Vocês notaram que as figuras estão aumentando? Quais estão aumentando? É possível determinar quanto às figuras da sequência aumentaram? Professora! O número de bolinhas rosa aumenta e que o número de bolinhas azuis permanece constante. De quanto é esse aumento?

19. As bolinhas cor de rosa aumentam de 3 em 3. Aumentam de que forma? Na horizontal aumenta apenas uma e na vertical aumentam duas bolinhas cor de rosa. As bolinhas azuis permanecem constantes.

20. Considerando as conclusões que vocês chegaram desenhem a fig5 e a fig 6.

21. A fig1 possui 3 bolinhas; A fig2 possui 6 bolinhas; A fig3 possui 9 bolinhas; A fig4 possui 12 bolinhas. • É possível saber de quantas bolinhas aumenta a próxima figura? Professora! As figuras aumentam de 3 em 3, então, podemos multiplicar o número da figura por 3 e temos o total de bolinhas.

23. Atividade 4 Foi apresentada a sequência, a seguir, e solicitou-se aos alunos que construíssem as figuras 4 e 5. CLIQUE AQUI para os comentários

25. Quantas bolinhas azuis a fig1 tem? • E quantas cor de rosa? • A fig.2 tem quantas bolinas azuis e quantas cor de rosa? E a fig3? E a fig4? Os alunos respondiam oralmente e a professora colocava na lousa.

26. A partir das conclusões que vocês chegarem podem fazer qualquer figura sem precisar desenhar? Professora! Aumenta duas bolinhas na vertical (em pé) e duas bolinhas na horizontal (deitada), sempre com 4 bolinhas azuis. Esse momento em que os grupos expõem seus resultados é um momento muito rico para um debate com o grande grupo e também para o professor avaliar o trabalho desenvolvido.

27. Essas atividades iniciais serviram para os alunos terem um contato com o material didático manipulável e as primeiras noções com sequências de figuras. No primeiro momento eles não sabiam o que era para fazer e ficaram um pouco perdidos, olhavam para a sequência e não conseguiam perceber quase nada. No decorrer das atividades foram se familiarizando com as questões e aprendendo a olhar para a sequência e retirar algumas informações para chegarem aos resultados. Clique aqui

28. Atividade 5 Analise os desenhos a seguir e construa os dois próximos desenhos da sequência: Tente descobrir quantas bolinhas têm na 1º linha de cada figura. a) ... CLIQUE AQUI para os comentários

29. A professora organizou um quadro com os resultados obtidos pelos alunos.

30. Perceberam que no primeiro desenho tinha1 bolinha, no segundo desenho tinha 3 bolinhas na primeira linha, no terceiro desenho tinha 5 bolinhas, no quarto desenho tinha 7 bolinhas. Logo concluíram que a primeira linha do desenho estava aumentando de acordo com a sequência: 1, 3, 5, 7, 9, .... Professora! São os números ímpares. quantas bolinhas teriam a 1º linha do 6º desenho? 2 bolinhas, professora!

31. ???????????? • Como se escreve um número ímpar? • Olhando para a sequência dos números ímpares, o que vocês percebem? • Como podemos escrever um número ímpar utilizando os números naturais? • Como posso escrever o número 1 utilizando os números naturais a partir do número zero?

32. Depois de muitas tentativas de respostas um grupo conseguiu chegar a uma conclusão. Professora! O número 1 é igual 2 vezes o zero mais um! • E o número 3 como pode ser representado utilizando os números naturais? O número 3 é duas vezes o número 1 mais um. É só multiplicar por 2 e somar 1.

33. A professora concluiu com eles que no segundo desenho a 1º linha tinha: 2 x nº da figura + 1, por exemplo: fig2 = 2 x 2 + 1 = 5 . Este é o número de bolinhas da 1º linha. fig3 = 2 x 3 +1 = 7 . Número de bolinhas da 1º linha. fig4 = 2 x 4 + 1 = 9 . Número de bolinhas da 1º linha. Então, na n-ésima figura resulta Fig n = 2 x n + 1 Esta foi uma forma de obter a generalização do resultado e escrever uma expressão para identificar um número ímpar qualquer.

34. b) A professora colocou mais uma sequência de figuras e solicitou aos alunos que analisassem os desenhos e construíssem os outros dois seguintes. Quantas bolinhas tem a fig n? CLIQUE AQUI para os comentários

36. Como houve divergência com a quantidade de bolinhas das fig5 e fig6 a professora montou um novo quadro com a análise dos resultados, juntamente com os grupos.

37. Após analisarem a tabela os grupos perceberam que o número de linhas do desenho corresponde ao número da figura e que o número de colunas acrescenta uma unidade.

38. Quantas bolinhas tem a fig n? Da mesma forma professora! A fig n tem n x (n+1) bolinhas.

39. Atividade 6 O pedreiro está forrando de azulejos a parede do banheiro. Ele está usando azulejos verdes e rosa e colocou no centro da parede o seguinte desenho:

40. a) Quantos azulejos verdes há na fila 3? b) Quantos azulejos há na fila 3? c) Quantos azulejos há nas sete primeiras filas? d) Quantos azulejos verdes e quantos azulejos rosa terão na décima fila?

42. g) Qual a relação entre o número de azulejos verdes da fila 12 e o número de filas? - Professora! O número de azulejos verdes é o mesmo número da fila h) Como você pode encontrar o número de azulejos das 12 filas? Como você pode verificar que 144 é a resposta correta? - O número total de azulejos no desenho é o número de filas vezes ele mesmo. Essa atividade foi muita rica em discussões, em debates pela diversidade das respostas dos grupos, pois teve mais de uma forma de interpretação e de representar a continuação do desenho.

43. Atividade 7 Nas figuras abaixo, considere um quadradinho como uma unidade e responda:  CLIQUE AQUI para os comentários

44. a) Quantos quadradinhos verdes e quantos quadradinhos rosa têm as fig 1, fig 2 e fig 3? b) Compare a fig 1 com a fig 2, a fig 2 com a fig 3, e diga o que vc observa. Qual a diferença entre elas?

46. Vamos construir uma tabela com os resultados obtidos até o momento, relacionando o número da figura com a quantidade de quadradinhos verdes e rosa de cada um dos desenhos que vocês construíram. É possível descobrir quantos quadrados rosa terá a fig 7? Os alunos não perceberam que o número de quadradinhos rosa representava o quadrado do número da figura

47. Há alguma relação entre o número da figura e o número de quadrados verdes? Levaram um tempo tentando achar uma relação. Em um primeiro momento decompuseram o número da seguinte forma como mostram os quadros.

48. - Como você faria para encontrar a quantidade de quadradinhos verdes da fig 10? fig10 = 10 + ( 10 + 1) - Como podemos encontrar o número de quadradinhos verdes de uma figura qualquer? -substitui pelo número da figura. E para descobrir quantos quadrados rosa terá uma figura qualquer? Embora os alunos não tenham escrito uma expressão algébrica eles conseguiram compreender e expressar uma generalização.

49. Atividade 8 Você esta vendo no desenho abaixo, só o começo de uma fita que tem 60 partes e uma sequência de 6 estampas diferentes que se repetem na mesma ordem. CLIQUE AQUI para os comentários

50. Continue desenhando a fita até a 12ª parte • Qual a estampa da 21ª parte?