EIE - 340 “CAMPOS Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS”

1. EIE - 340 “CAMPOS Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS”

2. CAPÍTULOS • 1.- Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Frontera. • 2.- OEM en Medios No Confinados. • 3.- Reflexión y Refracción de OEM en Obstáculos Ideales. • 4.- Líneas de Transmisión Electromagnéticas. • 5.- Ondas Guiadas. • 6.- Guías de Ondas. • 7.- Propagación en Fibras Ópticas. • 8.- Radiación. • 9.- Propagación de OEM en el Entorno Terrestre.

3. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

4. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

5. 2.1 Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. Toda OEM debe cumplir con las ecuaciones de Maxwell y con las características que identifican al medio. Características Ideales del Medio: Homogéneo: ε, , σ constantes. Isotrópico: La dirección de E y D es la misma. Lineal: E y D se relacionan mediante una constante. Espacio Libre de Fuentes o Dieléctrico Perfecto: Medio Sin Cargas (posee ε y ):

6. 2.1 Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. Con estas condiciones ideales, las ecuaciones de Maxwell quedan como: 0 0 y

7. 2.1 Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. Derivando con respecto al tiempo, queda: Dado la identidad: Usando el rotor, y las características del medio:

8. 2.1 Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. Por la identidad, podemos escribir: Para dieléctrico perfecto:

9. 2.1 Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. Por lo tanto: Éstas son llamadas Ecuaciones de Ondas en espacio libre.(Ecuaciones de Helmotz). Toda OEM en espacio libre debe satisfacer estas dos ecuaciones.

10. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

11. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). PROPAGACIÓN DE ONDAS PLANAS Y SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ONDA A una gran distancia de la fuente de radiación, se registra aprox. una OPU (Onda Plana Uniforme).

12. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). CARACTERÍSTICAS DE UNA OPU En esta condición se asume que E y H no son dependientes de las variables dimensionales transversales a la dirección de propagación y la condición uniforme asume que E y H no varían tampoco en la dirección de propagación. Si la propagación es en la dirección “x”: 0 0

13. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). CARACTERÍSTICAS DE UNA OPU EN ESPACIO LIBRE O sea, para OPU en “x”: Ahora, E es de la forma:

14. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). CARACTERÍSTICAS DE UNA OPU EN ESPACIO LIBRE (2) Por condición de OPU:

15. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). CARACTERÍSTICAS DE UNA OPU EN ESPACIO LIBRE (3) Luego, las ecuaciones que rigen para las OPU en la dirección “x” son:

16. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). CARACTERÍSTICAS DE UNA OPU EN ESPACIO LIBRE (4) La solución de estas ecuaciones de 2º orden son del tipo paramétrico. Ejemplo: Donde vo es la velocidad de propagación de la OEM.

17. 2.2 Onda Plana Uniforme (OPU). SOLUCIONES VÁLIDAS DE UNA OPU Son válidas, las siguientes soluciones: Se cumple siempre: Sólo para dieléctrico perfecto: Donde: A y B constantes arbitrarias a evaluar en condiciones límites.(Ver animacion de oem). Nº de Onda o Constante de Fase.

18. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en Espacio Libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

19. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. DEFINICIÓN PARA UN MEDIO DIELÉCTRICO Dada, una propagación en “+z”, según vectores unitarios cartesianos: Polarización Vertical: EX z Hy Polarización Horizontal: HX Ey z

20. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. DEFINICIÓN PARA UN MEDIO DIELÉCTRICO (2) Se define la impedancia intrínseca del medio η como: (Polarización Vertical) (Polarización Horizontal)

21. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. DEFINICIÓN PARA UN MEDIO DIELÉCTRICO (3) Es posible demostrar que para un medio dieléctrico caracterizado por las constantes , ε (distintas de cero) y σ=0 que: (Polarización Vertical) (Polarización Horizontal)

22. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. DEFINICIÓN PARA UN MEDIO DIELÉCTRICO (4) Sus unidades son en Ohms. Para el caso del vacío:

23. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en espacio libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

24. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. CONDICIONES INICIALES Y DEDUCCIÓN DE ECUACIONES En este caso, σ es distinta de cero (pueden existir corrientes de conducción y de desplazamiento). Se sabe que:

25. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. CONDICIONES INICIALES Y DEDUCCIÓN DE ECUACIONES (2) Como: Ahora: Conociendo la validez de la identidad:

26. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. CONDICIONES INICIALES Y DEDUCCIÓN DE ECUACIONES (3) Usando en rotor de E y las características del medio: Por la identidad, podemos escribir:

27. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. CONDICIONES INICIALES Y DEDUCCIÓN DE ECUACIONES (4) Por lo tanto, se llega a: Representan las “Ecuaciones de Ondas” para cualquier medio.

28. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. ECUACIONES PARA UN CONDUCTOR PERFECTO Dentro de un conductor perfecto no pueden existir cargas, pues emigran a la superficie ya que ρv=0 en su interior. Por lo tanto: De esta forma, las “Ecuaciones de Ondas” quedan:

29. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en espacio libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

30. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. VARIACIÓN SINUSOIDAL EN EL TIEMPO Y NOTACIÓN FASORIAL Recordar que: ∂( )/∂t = jω(~) y ∫( )dt = (1/jω)(~). De esta forma, las ecuaciones de Maxwell en forma puntual:

31. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. ECUACIONES DE ONDA EN FORMA FASORIAL • Espacio libre y medio dieléctrico perfecto sin pérdidas:

32. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. ECUACIONES DE ONDA EN FORMA FASORIAL (2) • En un medio conductor (medio en general): • Se sabe que: Fasorialmente:

33. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. ECUACIONES DE ONDA EN FORMA FASORIAL (3) Donde: : Constante de Propagación de Onda y representa un número complejo, cuya parte real se designa como “α”, constante de atenuación y la parte imaginaria representa la constante de fase “β”, por lo tanto: En consecuencia, para OPU en un medio con pérdidas, es decir σ>0 propagándose en la dirección “x”:

34. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. ECUACIONES DE ONDA EN FORMA FASORIAL (4) Una solución válida a las ecuaciones de ondas antes descritas y en forma fasorial para una OPU viajando en la dirección “z” está dada por:

35. CAPÍTULO 2 ONDAS ELECTROMAGENETICAS (OEM) EN MEDIOS NO CONFINADOS. 2.1. Ecuaciones de Onda en espacio libre. 2.2. Onda Plana Uniforme. 2.3 Impedancia Intrínseca de un Medio Dieléctrico. 2.4 Ecuaciones de Onda para un Medio en General. 2.5 Ecuaciones de Onda en Forma Fasorial. 2.6 Conductores y Dieléctricos. 2.7 Energía y Densidad de Potencia en OEM. 2.8 Polarización y Cosenos Directores.

36. 2.6 Conductores y Dieléctricos. CLASIFICACIÓN • Los materiales se pueden clasificar en forma aproximada en: • Conductores. • Dieléctricos. • El comportamiento como tal, depende de varios factores, pero los que más influyen son: ω, σ y ε.

37. 2.6 Conductores y Dieléctricos. CLASIFICACIÓN (2) Analizando: El 1er término representa la densidad de corriente de Desplazamiento en un dieléctrico con magnitud: El 2º término representa la Densidad de Corriente de conducción en conductores con magnitud:

38. 2.6 Conductores y Dieléctricos. CLASIFICACIÓN (3) • Se define el Factor de Disipación (D) o Tangente de Pérdidas (tgθ) efectuando la razón: • Factor que identifica a un conductor de un dieléctrico. La línea divisoria es D=1 donde si D>1 se trata de conductor y si D<1 se trata de un dieléctrico. • Ejemplo: DCu = 3,5·108 a 10 GHz. • Dmica = 2·10-4 independiente de la frecuencia. • En conductores σ y ε son independientes de la frecuencia, pero D es f(ω). • En dieléctricos σ y εson f(ω), pero D es independiente de la frecuencia.

39. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) Condición: En este caso, se puede aproximar:

40. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (2) Teniendo en cuenta que:

41. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (3) Con esta aproximación, las fórmulas generales quedan como:

42. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (4) Ó: Para el caso de dieléctricos perfectos:

43. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (5) Para la velocidad de fase, sabemos que:

44. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (6) Para Dieléctrico Perfecto σ=0, (no significa vacío):

45. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (7) Luego: Se aprecia que la pequeña pérdida en el medio reduce la velocidad de fase levemente.

46. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS (σ≠0) (8) La impedancia intrínseca para cualquier medio está dada por: Dado que para un “Buen Dieléctrico”, D=σ/ωε <<<<< 1:

47. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS CONDUCTORES Condición: Luego:

48. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS CONDUCTORES (2) Por lo tanto (valores grandes): Para la velocidad de Fase: Representa una Onda Lenta, pues posee una baja velocidad.

49. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN EN BUENOS CONDUCTORES (2) Para la impedancia intrínseca: • Se observa que: • Si α=| β|, y de gran magnitud existe una atenuación elevada a la OEM.

50. 2.6 Conductores y Dieléctricos. PROPAGACIÓN SUPERFICIAL EN BUENOS CONDUCTORES Se determinará la Profundidad de Penetración δ para “Buenos Conductores”. Suponiendo una OEM que se propaga en la dirección “z”: