第 4 章连续时间傅立叶变换 The Continuous time Fourier Transform

信号与系统 第4章连续时间傅立叶变换The Continuous time Fourier Transform

主要内容: • 连续时间傅立叶变换; • 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; • 傅立叶变换的性质; • 系统的频率响应及系统的频域分析；第4章连续时间傅立叶变换The Continuous time Fourier Transform

4.0 引言 Introduction • 工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号 • 对非周期信号应该如何进行分解， • 什么是非周期信号的频谱表示， • 线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得就是这一章要解决的问题。

4.0 引言 Introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。

4.0 引言 Introduction 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。

周期信号的傅立叶级数 周期信号的离散频谱如何研究连续非周期信号的频谱？

我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大时，频谱的幅度随的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。 4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform 一.从傅立叶级数到傅立叶变换再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 当时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 不变时周期性矩形脉冲，当周期增大时，频谱的幅度随的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 由于周期矩形脉冲的频谱

当时, 于是，我们推断出:当时，离散的频谱将演变为连续的频谱。 4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换傅立叶级数的系数乘以T0趋近于包络函数

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 则有如果令连续时间傅立叶变换与周期信号傅立叶级数对比有：根据傅立叶级数表示：这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。

当时，于是有：傅立叶反变换此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为的复指数信号之和。由于具有频谱随频率分布的物理含义，因而称为频谱密度函数。 4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换

4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 二. 傅立叶变换的收敛既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。

1. 若 则存在。 a. 绝对可积条件 b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。 c. 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。 4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换傅立叶变换的收敛的两组条件：这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2.Dirichlet条件

这两组条件并不等价。例如： 是平方可积的，但是并不绝对可积。和周期信号的情况一样，当的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs 现象。 4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。

1. 1 0 0 4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换三.常用信号的傅立叶变换：

4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 2. 对此例有 1 0 三.常用信号的傅立叶变换：结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。

4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 0 这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。 1 0 3.

4. 矩形脉冲: 4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换

显然，将中的代之以再乘以 ，即是相应周期信号的频谱 4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换

1 0 0 1 0 0 4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换不同脉冲宽度对频谱的影响可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。

1， 0， 5. 1 0 0 4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 (称为理想低通滤波器) 与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。

1 0 0 1 0 0 4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换对偶关系可表示如下:

4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例5. 我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。 6. 若则有因为所以

4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 四. 信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:

4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换 下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。 1. 2. 对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。四. 信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C (脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。

4.2 周期信号的傅立叶变换 考查所对应的信号 The Fourier Transformation of Periodic Signals 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下, 会给我们带来不便。但由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。

若则 于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为周期信号的傅立叶变换表示 4.2 周期信号的傅立叶变换这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。就有

这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。例1： 4.2 周期信号的傅立叶变换

例2： 例3：均匀冲激串 4.2 周期信号的傅立叶变换

1 0 0 例3：均匀冲激串 4.2 周期信号的傅立叶变换

1 0 4.2 周期信号的傅立叶变换例4. 周期性矩形脉冲

4.2 周期信号的傅立叶变换

若则 4.3 连续时间傅立叶变换的性质 Properties of the Continuous-Time Fourier Transform 1. 线性: Linearity

若则若则 2. 时移: Time Shifting 这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry

证明：由 可得所以 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry 即

（1）当是实信号时，因为 • 若则可得则可得出 • 若于是有: 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry 即实部是偶函数虚部是奇函数即：模是偶函数，相位是奇函数

（2）当信号是实偶函数，即 所以又因为表明是实函数。 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry 表明：实偶信号的傅立叶变换是偶函数。

（3）当信号是实奇函数，即 表明是奇函数表明是虚函数 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry 同样可以得出:

则有: • 若 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry （4）当信号是复函数（包括实函数），结论：函数的共轭对称部分xe(t)的傅立叶变换是X(j)的实部。序列的共轭反对称部分xo(t)的傅立叶变换是X(j)的虚部。

例: 的频谱: 1 0 将分解为偶部和奇部有 1/2 0 1/2 0 -1/2 3. 共轭对称性: Conjugate and Symmetry

4.3连续时间傅立叶变换的性质

4.3连续时间傅立叶变换的性质 4.时域微分与积分:Differentiation and Integration 若（时域微分特性）则 (将微分运算变为代数运算) （时域积分特性）由时域积分特性

当时，有 4.3连续时间傅立叶变换的性质 5. 尺度变换:Scaling 若则尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）

证明： 4.3连续时间傅立叶变换的性质 6.对偶性: Duality 若则

4.3 连续时间傅立叶变换的性质 6.对偶性: Duality

例如: 由有对偶关系 利用时移特性有再次对偶有 6.对偶性: Duality 由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域根据得移频特性

由得所以 6.对偶性: Duality 频域微分特性频域微分特性该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:

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