UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS PROFESOR EST. PIERFEDERICI MAURICIO AÑO 2009

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS PROFESOR EST. PIERFEDERICI MAURICIO AÑO 2009

2. El estudio de la Estadística no es un tema sencillo ya que requiere el aprendizaje de conceptos difíciles, así como de hacer cálculos matemáticos Pero el estudiante de Estadística no necesita ser un genio de las matemáticas para entender y aplicar los métodos estadísticos. A medida que vaya introduciéndose en el estudio, se dará cuenta que solo se necesita un conocimiento acabado de algunas operaciones matemáticas básicas para el cálculo e ir aprendiendo nuevos símbolos matemáticos, que muchos de ellos lo ha ido viendo, desarrollado y aplicado en toda su Educación Secundaria. Este Capitulo pretende ser un repaso de ese material que Ud. por desuso podría estar un poco olvidado, pero que durante todo este curso los va a necesitar. Se recomienda tratar de fijar estos conceptos y si considera que no es suficiente consultar algún libro de Matemáticas.

3. LOS NÚMEROS. NATURALES ENTEROS NEGATIVOS RACIONALES REALES FRACCIONARIO IRRACIONALES

4. Los números naturales 1,2,3,4,................. aparecen al contar los objetos de un conjunto y con ellos resolvemos las expresiones de suma y multiplicación. Luego para resolver las operaciones de sustracción es que surgen los números negativos. Los números naturales con los negativos forman los llamados números enteros. Podemos decir que con los números enteros realizamos operaciones de suma, resta y multiplicación. Para resolver operaciones de división surgen los llamados números fraccionarios. Con los números racionales se resuelven operaciones de raíz. Pero como surgen cálculos de raíces que no son cuadrados perfectos, se crearon los números irracionales, que generalmente son números de infinitas cifras decimales. El conjunto de los números racionales e irracionales forman los llamados números reales.

5. SIMBOLOS ALGEBRAICOS • Es mayor que. • 8  3 8 es mayor que 3. • X  5 X es mayor que 5. • a  b a es mayor que b. • Es menor que. •  8 5 es menor que 8. • a  b a es menor que b. • 3  X  10 Que X es mayor que 3 y menor que 10. • El valor de X no incluye al 3 ni al 10. • Es mayor o igual a. • X  5 X es mayor o igual a 5.

6. a  b a es mayor o igual a b. • Es menor o igual a. • X  2 X es menor o igual a 2. • a  b a es menor o igual a b. •  X  8 X es mayor igual a 3 y menor o igual a 8. • Es decir que los incluye a ambos. •  X  9 X es mayor o igual a 5 y menor que 9 • Incluye al 5 u no incluye al 9.- • Una desigualdad permanece valida si se suma o resta el mismo número de ambos lados. • Ejemplo: • 6  2 • Si sumamos 3 a ambos lados, o bien restamos observamos que se mantiene la desigualdad. • 9  5 o 5  1

7. Cuando multiplicamos o dividimos en una desigualdad ambos lados por un número positivo, se mantiene la desigualdad. • Ejemplo: • 8  5 • Si multiplicamos por 4 a ambos lados, 32  20 • Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un mismo número negativo se invierte el símbolo de la desigualdad. • Por ejemplo: • 15  12 • si multiplicamos por (-3) ambos lados será: • - 45  - 36 • Es distinto de. • 8  5 8 es distinto de 5. • X  2 X es distinto de 2. • a  b a es distinto de b.

8. X Valor absoluto de X. El valor absoluto es igual a la magnitud X sin importar que signo tiene. +9 El valor absoluto de +9 es igual a 9. -4 El valor absoluto de (- 4) es igual a 4. OPERACIONES ARITMÉTICAS. 1.- Suma de dos números positivos. Para sumar dos números positivos se suman valores absolutos y el resultado tendrá signo positivo. Ejemplo: 6 + 4 = 10

9. 2.- Suma de dos números negativos. Para sumar dos números con signos negativos, se suman sus valores absolutos y el resultado tendrá signo negativo. Ejemplo: (-5) + (-3) = - 8 3.- Suma de dos números con signo opuesto. Para sumar dos números con signo opuesto, se determina la diferencia entre sus valores absolutos y el resultado tendrá el signo del número con valor absoluto mayor. Ejemplo: 20 + ( - 8 ) = 12 2 + ( - 6 ) = - 4

10. 4.-Resta de un número de otro. Para restar un número de otro, se cambia el número por restar y se procede como en la suma ( casos vistos antes). Ejemplo: 10 - 3 = 10 + ( - 3 ) = 7 6 - 9 = 6 + ( - 9 ) = - 3 10 - (-4) = 10 + (+4) = 14 - 3 - 8 = - 3 + ( - 8 ) = - 11 5.-Multiplicación de una serie de números. a) Al multiplicar una serie de números, el resultado es positivo si existe un número par de valores negativos en la serie. Ejemplo: 3(- 4).(- 5).(6) = 360 - 4(-3).(- 5).(- 8) = 480 - a. ( - b ) = a . b

11. b) Al multiplicar una serie de números, el resultado es negativo si existe un número impar de valores negativos en la serie. Ejemplo: 3.(- 2).(4) = - 24 - 4.(-6).(- 4).(8) = - 768 - b. (- a). (- c) = - a b c 6.- División de una serie de números. a) Al dividir una serie de números, el resultado es positivo si existe un número par de valores negativos en la serie. Ejemplo: -6/-36 = 1/6 - 3. (- 5). (- 4) / -20 = 3 - b /- a = b / a

12. b) Al dividir una serie de números, el resultado es negativo si existe un número impar de valores negativos en la serie. Ejemplo: - 3 / 4 = - 0,75 (- 3).(- 3) / - 4 = - 2,25 - a / b = - a / b REGLAS PARA EL ORDEN DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS. 1.- El orden en que se suman los números no modifica el resultado. Ejemplo: 3+8+5 = 8+5+3 = 5+3+8 = 16 4+(-3)+7 = (-3)+7+4 = 7+4+(-3) = 8

13. 2.- El orden en que multiplican los números no modifica el resultado. Ejemplo: 8 * 3 * 4 = 3 * 8 * 4 = 4 * 8 * 3 = 96 3.- Si aparece una multiplicación y una suma o resta, la multiplicación debe realizarse en primer lugar, a menos que los paréntesis o corchetes indiquen lo contrario. Ejemplo: 10 * 4 + 5 = 40 + 5 = 45 8 * ( 20 – 6) * 2 = 8 * 14 * 2 = 224 5 * 3 * ( 6 + 2) = 5 * 3 * 8 = 120 4 * 2 + (5 – 2) – 2 * 5 = 8 + 3 – 10 = 11 – 10 = 1

14. 4.- Si aparece una división y una suma o una resta, la división debe realizarse en primer lugar salvo que los paréntesis o corchete indiquen lo contrario. Ejemplo: 15 / 3 + 6 - 2 = 5 + 6 - 2 = 8 20 / ( 3 + 2 ) + 6 = 20 / 5 + 6 = 4 + 6 = 10 ( 9 - 3 ) / 2 + 8 = 6 / 2 + 8 = 3 + 8 = 11 REGLAS PARA PARENTESIS Y CORCHETES. 1.- Los paréntesis y corchetes indican que lo encerrado por ellos debe considerarse como un solo número. Ejemplo: (3 + 4) * (8 – 3+2) = 7 * 7 = 49 (1+2 - 5) * (10- 4+2) = (- 2) * (8) = - 16

15. 2.-Cuando hay paréntesis dentro de unos corchetes, primero se realiza las operaciones dentro de los paréntesis. • Ejemplo:  (5-1+2)*(2) + (6-3)* 2+(3-2) = • = 6 * 2 +3  *  2+1  = • =  12 + 3  *3 = 15 * 3 = 45 • 3.-Cuando no sea conveniente reducir a un solo número lo encerrado por unos paréntesis, estos pueden eliminarse como sigue: • Si aparece un signo positivo antes de los paréntesis, estos se eliminan sin modificar el signo de los números contenidos en ellos. • Ejemplo: 5 + (8 – 2 + 4) = 5 + 8 - 2 = 15

16. Si aparece un signo negativo antes de los paréntesis estos se eliminan cambiando el signo de los números contenidos en ellos. • Ejemplo: 10 - (5 +4 - 2) = 10 - 5 - 4 + 2 = 3 • Si aparece un número multiplicando fuera de los paréntesis, todos los términos dentro de ellos deben ser multiplicados por dicho número. • Ejemplo: • 2 ( 5 + 3 – 2 + 1) = 10 + 6 – 4 + 2 = 18 - 4 = 14 • o también, resolver el paréntesis • 2 ( 5 + 3 – 2 + 1) = 2 . 7 = 14

17. Si tenemos letras solo podemos multiplicar cada término del paréntesis por su multiplicando. • a ( b+c+d – e) = a b + a c + a d + - a e • El producto de dos sumas se obtiene multiplicando cada elemento de una suma por los elementos de la otra. • Ejemplo: (a + b) . ( c + d) = a c + a d + b c + b d • (3 + 2) . (4 + 6) = 5 . 10 = 50 • (3 + 2) . (4 + 6) = 12 + 18 + 8 + 12 = 50 • Si los números contenidos dentro de los paréntesis se operan de alguna forma, siempre se realiza primero la operación antes de combinarlos con otros términos.

18. Ejemplo 1º. 3+2(4+2)+5 = 3+2 (6) +5 = 3+12+5 = 20 Ejemplo 2º: 5+(2+4)/2+6 = 5+6/2+6 = 5+3+6 = 14 Ejemplo 3º: 3+6+(2+2)² +4 = 3 + 6 + 4² +4 = = 3 + 6 + 16 + 4 = 29 Ejemplo 4º: 6 – 2 + (3+2)² - 2 + 8 - (5+4) / 3 = = 6 – 2 + 25 - 2 + 8 - 3 = = (6+25+8) – (2+2+3) = 39 - 7 = 32 Ejemplo 5º: 10 - (4 - 2) + 6 (3+4) - 6 + 2 - 42 = 10 - 2 + 42 - 6 + 2 - 42 como el (-2) y el (+2) el (-42) y (+42) se simplifica, nos queda: = 10 - 6 = 4

19. OPERACIONES CON FRACCIONES. 1.- Suma de fracciones. Para sumar dos fracciones, 1º se determina el común denominador, 2º se expresa cada fracción en términos del mínimo común denominador, y 3º se suman los numeradores y se divide la suma entre el común denominador. Ejemplo: a) 3/4 +1/5 = 15+4 / 20 = 19/20 b) 4/3 + 1/2 + 3/4 = 16/12+6/12+9/12 = 33/12 c) a/b +c/d = a d / b d + c b / b d 2.- Multiplicación de fracciones. Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre si los numeradores y se divide este resultado entre el producto de los denominadores.

20. Ejemplo. a) 2/5 . (3/4) = 6/20 b) 3/2 . (-5/6) = - 15/12 3.- División de fracciones. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la segunda invertida. Ejemplo: a) 3/4 : 5/2 = 3/4 . 2/5 = 6/20 O también, se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y se divide este producto por el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. 4.- Cambiar una fracción por su equivalente decimal. Para convertir una fracción en decimal, se realiza la división indicada, redondeando al número necesario de cifras( generalmente a dos dígitos). Ejemplo: 5/6 = 0,83

21. 5.- Multiplicar un entero por una fracción. Para multiplicar un entero por una fracción, se multiplica el entero por el numerador de la fracción y se divide este producto entre el denominador. Ejemplo: 4/7 . (3) = 12/7 6.- Cambiar un decimal por un porcentaje. Para convertir una fracción decimal en un porcentaje, se multiplica la fracción decimal por 100. Ejemplo: 5/6 = 0,83  0,83 x 100 = 83 % 7.- Cancelación. Al multiplicar varias fracciones entre si, podemos cancelar los factores en el numerador y denominador. Ejemplo: 4/3 . (12/8) . (10/5) . 7/5 = = 1 . (2) . (2) 7/5 = 28/5

22. OPERACIONES CON EXPONENTES. 1.- Multiplicación de un número por si mismo N veces. Ejemplo: 3 =(3).(3)……(3)..............(3)  lo multiplicamos por si mismo N veces. Un número al cuadrado Ejemplo: 5² = 5 . (5) = 25 Un número al cubo. Ejemplo: 2³ = 2 . (2) .(2) = 8 y así sucesivamente. 2.-Multiplicación de dos cantidades exponenciales con la misma base. El producto de dos cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la suma de los exponentes. Ejemplo: (3)² .(3)³ = (3)² ³ = (3) = 243 N 5 +

23. 3.-División de dos cantidades exponenciales con la misma base. El cociente de dos cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la resta del exponente en el numerador menos el exponente del denominador. Ejemplo: (3) / (3) = (3) = (3)² = 9 4.- Elevar una base a un exponente negativo. Una base elevada a un exponente negativo es igual a 1 entre la base elevada al valor positivo del exponente. Ejemplo: ( 3 ) = 1/(3)² = 1/9 6- 4 6 4 - 2

24. 5.- Elevar un número o fracción a dos exponentes. Cuando tenemos una base elevada a dos exponentes es igual a la base elevada al producto de los exponentes. Ejemplo: a) [ ( 3 )² ]³ = (3) = 729 b) [ (1/4)²]³ = (1/4 ) = 1/4096 6.- Fracción elevada a exponente negativo. Cuando tenemos una fracción elevada a exponente negativo, se transforma en potencia positiva invirtiendo la base. Ejemplo: (3/5) = ( 5/3) ² = 25/9 6 6 - 2

25. FACTORIZACION Al factorizar una expresión algebraica, intentamos reducir la expresión a los componentes más sencillos tales que al ser multiplicados entre sí dan la expresión original. Ejemplos: a b c - 2 a b = a b ( c - 2) a b c + ad +a g = a ( b c + d + g) a² + b a² c - a² d e = a² ( 1 + b c - de ) 2x + 4xy - 8 xyz + 4xm = 2x( 1+2y-4yz+2m) a² + 2ab + b² = ( a + b)²

26. ECUACIONES. Las ecuaciones la enunciamos como A = B, donde A se llama miembro izquierdo y B miembro derecho de la ecuación. Al resolver ecuaciones con una incógnita, la idea básica es dejar la incógnita de un lado de la ecuación y reducir el otro lado a su menor valor posible. Para esto utilizamos el principio de que la ecuación seguirá siendo una igualdad si todo lo que hagamos a un lado de la ecuación lo hacemos también al otro lado. Así por ejemplo, la ecuación sigue siendo una igualdad si sumamos el mismo número a ambos lados. Para resolver una ecuación, modificamos ésta, sumando, restando, multiplicando, dividiendo, elevando al cuadrado, etc. de modo que la incógnita quede despejado de un lado de la ecuación.

27. Esto es válido siempre que se realice la misma operación en ambos lados de la ecuación, con lo cual se mantiene la igualdad. Una ecuación con una incógnita se dice de primer grado o lineal, cuando el mayor grado con que figura la incógnita es el primero. Así por ejemplo: 4 x + 5 = 3 Es una ecuación de primer grado, pues la incógnita “x” figura únicamente elevada a la primer potencia. Los términos en que no figura la incógnita se llaman “independientes”; pasándolos todos a un miembro y efectuando las operaciones indicadas, puede reducirse a un solo término. En nuestro ejemplo, los términos independientes son el 3 y el 5. Pasando el 5 y el 3 al segundo miembro, nos queda: 4x = 3 - 5 despejamos x x = - 2/4  - 1/2

28. Veamos otros ejemplos: a) 12 = x - 3 12 + 3 = x x = 15 b) 2 y + 4 = 10 2 y = 10 - 4 y = 6/2 y = 3 EJERCICIOS 1) 4 ( x + 1) = 3 ............Rpta: x = 1/4 2) x + x + 1 + x + 4 = 9x - 1 ...............Rpta: x = 1 3) 2x + 14 - 9x = 6x - 12 ..........Rpta: x = 2 4) 8x - 3 = 4 x - 2 ......Rpta: x = 1/4 5) 5 x = 7/2 x + 15 ........Rpta: x =10

29. FUNCIONES. Cuando a cada valor posible de una variable X le corresponde una o más valores de otra variable Y, decimos que Y es función de X y la escribimos como Y = F (X).- La variable X se la llama variable “independiente” y a la variable Y “dependiente”. La dependencia funcional de las variables a veces se anotan en una tabla, sin embargo podemos también indicarlas por medio de una ecuación que conecta ambas variables. Por ejemplo: Y = 4 X - 2 donde vemos que los valores de Y, depende de los valores que toma la variable X. Vemos que en este caso Y = F (X) y si la variable X toma el valor 2, entonces la variable Y vale 6.

30. COORDENADAS RECTANGULARES. Si consideramos dos rectas perpendiculares, llamadas ejes cartesianos ortogonales, donde el eje horizontal X se llama abscisa y el eje vertical Y se llama ordenada, que se cortan en un punto cuyo valor es 0; el plano que determinan se llama plano XY y observamos cuatro cuadrantes el I, II, III ,IV. Entonces sería Y I II - X X IV III - Y

31. Los signos de cada cuadrante serán: (+ ; +) ( - ; + ) ( - ; - ) ( + ; - ) donde los pares de valores son (X;Y). Las coordenadas de un punto en el plano serán por ejemplo: ( 1 ; 3 ) ; ( -2 ; 4 ) ( - 2 ; - 4 ) ; ( 3 ; - 3 ), etc.. 1; 3 - 2; 4 0 3; - 3 - 2; - 4

32. REDONDEO DE DATOS NUMÉRICOS

33. El resultado de redondear un dato como 41,8 en unidades es 42, puesto que 41,8 esta más próximo a 42 que a 41. Análogamente, si tenemos por ejemplo 25,8246 se redondea en centésimas, es decir a dos decimales a 25,82 porque el número 25,8246 está más cerca de 25,82 que de 25,83. Al redondear por ejemplo 32,465 en centésimas nos hallamos ante un problema ya que está equidistante de 32,46 y de 32,47. Para estos casos se adopta redondear al entero par que precede al 5. De esta manera entonces el número planteado redondeado será 32,46. Si tenemos el número 243,375 se redondea a dos decimales como 243,38. Este procedimiento es particularmente muy útil para minimizar los errores de redondeo acumulados, cuando se efectúa un gran número de operaciones, e incluso cuando calculamos medidas estadísticas de la estadística descriptiva e inferencial.

34. Veamos algunos ejemplos: 36,6 (unidades) = 37 2,484 (centésimas) = 2,48 243,5 (unidades) =244 0,0235 (milésima) = 0,024 2,50001 (unidades) = 3 143,95 (unidades) = 144 4,36501 (centésimas) = 4,37 168,3 (unidades) = 168 54,448 (unidades) = 54 4,46500 (centésimas) =4,47

35. SIGNO DE SUMACION (SUMATORIA)

36. En todo el análisis estadístico se trabaja frecuentemente con suma de números y necesitaremos símbolos matemáticos para indicar estas sumas. En Estadística para representar una cantidad utilizamos las letras x, y, z.............., y que sirven para identificar la variable que estamos estudiando. Por ejemplo X indica el peso en Kilogramos de los alumnos de este curso.- Otro símbolo muy utilizado es el N para indicar el número de observaciones que estamos tratando. Si estamos analizando estadísticamente la Edad de los alumnos de este curso, evidentemente N será igual a 100 alumnos. Es decir que: N = 100alumnos.-

37. Cuando queremos identificar o modificar un valor numérico, para identificarlo con precisión empleamos generalmente subíndices. Por lo tanto si se tiene una serie de resultados u observaciones, podemos identificarlos con Resumimos esta serie de datos anotando Xi donde el subíndice i puede tomar los valores que nosotros deseemos. El símbolo de  (sigma mayúscula, del abecedario griego) nos indica que debemos sumar. Se registra con subíndices arriba y abajo del símbolo  cuales son los valores que queremos sumar.

38. Por ejemplo, si tenemos los siguientes valores y deseamos sumarlos: Me indica que debemos sumar los valores donde el subíndice toma desde el valor 1 hasta el 8.-

39. Entonces En algunas oportunidades nos interesa parcialmente esta suma, supongamos querer sumar solo el tercer, cuarto y quinto valor, entonces expresamos: Cuando la sumatoria se realiza con todos los datos (de 1 a N), es frecuente que la propia expresión de esta operación se abrevie, omitiendo las notaciones arriba y abajo del signo de la suma, al igual que el subíndice “i”.- Así:

40. Como la sumatoria me indica una operación matemática, se sabe que estas se rigen por una serie de reglas. Mediante un ejemplo veamos algunas de estas reglas. Si N = 5, indica que tendremos cinco datos, por ejemplo: 1.- Sea A una constante, que debemos por ejemplo, sumar 3 veces Luego generalizando será “La suma de una constante es igual a N veces la constante”

41. 2) Si A es una constante y expresamos Σ ( Xi ± A) la sumatoria es distributiva respecto a la suma y la diferencia, entonces Generalizando “La sumatoria de una variable más menos una constante es igual a la sumatoria de la variable más menos N veces la constante”

42. 3) Si A es un valor constante y expresamos Como el valor A es constante y no esta afectado por la sumatoria, podemos sacarla fuera de la sumatoria. Generalizando: “La sumatoria de una constante por una variable es igual a la constante por la sumatoria de la variable” Idéntico caso es para cuando tenemos la situación de la división.

43. 4)Si tenemos dos variables Xi, Yi donde en ambas el subíndice i varía de 1 a 5 y expresamos por propiedad distributiva será Generalizando, tenemos “La sumatoria de la suma de dos variables es igual a la suma de la sumatoria de cada variable”

44. Existe dos tipos de sumatoria que veremos con frecuencia en estadística. Estas son:  x² y ( x)² Aunque se parecen, son diferentes y en general proporcionan diferentes respuestas. El símbolo  x² (suma de los cuadrados de los datos), indica que primero debemos elevar al cuadrado cada uno de los datos “x” y luego sumarlos. El símbolo ( x)² o el cuadrado de la suma de los datos ”x” y luego elevar al cuadrado la suma resultante.

45. Veamos un ejemplo: dado los siguientes valores En cambio: Observamos de esta manera que  x² y ( x)² son muy distintas 246  1156. La confusión de estas dos sumatoria es un error muy común entre el alumnado.

46. EJERCICIOS

47. Supongamos tener la siguiente serie de datos:

49. Exprese en sumatoria las siguientes expresiones:

50. EL SIGNO DE SUMACION EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA.-