8.5 – Centro de massa

1. 8.5 – Centro de massa i 1 Posição do centro de massa de um sistema de N partículas: 2 Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas Em componentes: (idem para y e z)

2. x xCM 2/3 1/3 x xCM m x=0 2m x=L Exemplos em 1D: 2 partículas (a) x xCM (b) (c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2: Kits LADIF

3. Exemplo: sistema de 3 partículas em 2D

4. Distribuições contínuas de massa (qualitativo) Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto

5. Movimento do centro de massa Velocidade do centro de massa: Massa total: (momento linear total) Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa

6. Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado: Vídeo: PhysicsDemonstrations in Mechanics: Part II, No. 5 Exemplo: Y&F 8.14 E se houver força externa resultante não-nula? Derivando mais uma vez:

7. Soma das forças externas Soma das forças internas Somatório de todas as forças que atuam sobre todas as partículas Pela 2ª Lei de Newton: Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton: (pares ação e reação se cancelam)

8. Assim: Ou: O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ação da resultante das forças externas Vídeo: PhysicsDemonstrations in Mechanics: Part II, No. 6

9. Colisões no referencial do centro de massa: • ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela colisão • referencial do c.m. é inercial • Mostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html Trajetória do c.m. B B A Referencial do c.m. Velocidades no referencial do centro de massa: A A B B C.m. está parado A Referencial do laboratório

10. Conservação do momento linear: Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

11. Energia cinética no referencial do lab: Antes: Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa: Invertendo, obtemos:

12. Substituindo na expressão para a energia cinética: Após alguma álgebra (quadro negro): Definindo: (massa total) e (massa reduzida)

13. Obtemos finalmente: Energia cinética do movimento relativo Energia cinética do movimento do centro de massa Análise: 1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas” 2. No referencial do c.m., temos: Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.

14. 3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é: Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado) 4. Em uma colisão elástica, temos: Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão

15. 0 5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando: Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica

16. 8.6 – Propulsão de um foguete Exemplo de movimento de um sistema de massa variável: Instante t + dt Instante t Massa m m +dm dm < 0 http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4 -dm Velocidade de exaustão dos gases relativa ao foguete

17. Conservação do momento linear: Infinitésimo de ordem superior Força de propulsão do foguete (proporcional à taxa e à velocidade de exaustão) Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente

18. Cálculo da velocidade: Exemplo: Y&F8.16

19. Próximasaulas: • 4a. Feira 26/10: Aula de Exercícios (sala A-327) • 6a. Feira 28/10: Feriado • 4a. Feira 02/11: Feriado • 6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8