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§13 Lineare Unabhängigkeit

§13 Lineare Unabhängigkeit. (13.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum. 1 o Eine endliche Menge {a 1 , a 2 , ... a m } von Vektoren aus V heißt linear abhängig , wenn es Skalare s 1 , s 2 , ... s m aus K gibt mit:. s 1 a 1 + s 2 a 2 + ... + s m a m = 0 , und.

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§13 Lineare Unabhängigkeit

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Presentation Transcript

  1. §13 Lineare Unabhängigkeit (13.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum. 1o Eine endliche Menge {a1, a2, ... am} von Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn es Skalare s1, s2, ... sm aus K gibt mit: • s1a1 + s2a2 + ... + smam = 0 , und • nicht alle sk sind Null: dh. es gibt ein j aus {1,2, ... ,m} mit: sj ist nicht 0 . 2o Eine endliche Menge {a1, a2, ... am} von Vektoren aus V heißt linear unabhängig, wenn für alle Skalare s1, s2, ... sm aus K gilt: • Aus s1a1 + s2a2 + ... + smam = 0 folgt s1 = s2 = ... = sm = 0 . Offensichtlich ist eine endliche Menge genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig ist.

  2. Kapitel III, §13 (13.2) Bemerkungen, Beispiele: Sei V ein K-Vektorraum. 1o Die Standardeinheitsvektoren {e1, e2, ... , en} aus Kn sind linear unabhängig. 2o Für jeden weiteren Vektor x aus Kn ist {x, e1, e2, ... , en} linear abhängig. 3o A = {a} ist genau dann linear abhängig, wenn a = 0 . 4o A = {a,b} ist genau dann linear abhängig, wenn a in Kb oder b in Ka liegt. Analog mit 3 Vektoren. Anschauung dahinter: Punkt, Gerade, Ebene („durch 0“). 5o A = {a1, a2, ... am} ist genau dann linear abhängig, wenn es einen Index k zwischen 1 und m gibt sowie Skalare s1, s2, ... sk-1, sk+1, ... , sm aus K mit Dh. ak ist Linearkombination der übrigen Elemente aus A .

  3. 1o 2o Kapitel III, §13 6o Sei A aus V eine nichtleere endliche Menge. Dann 7o {a1, a2, ... am} sei linear unabhängig, und für ein x sei die Menge {x, a1, a2, ... am} linear abhängig. Dann ist x Linearkombination der a1, a2, ... am . (13.3) Definition: (Ergänzung zu 13.1) Sei A eine Teilmenge im K-Vektorraum V . Diese Definition ist mit der von 13.1 kompatibel wegen 13.2.6o . Sie ist anwendbar auch auf beliebige Teilmengen von V.

  4. 2o Die Menge ist linear unabhängig in K(M). Kapitel III, §13 (13.4) Bemerkungen, Beispiele: Sei V ein K-Vektorraum. 1o Die leere Menge ist linear unabhängig. 3o Ebenso: {Tk : k aus N} ist linear unabhängig in K[T] . (13.5) Fundamentallemma: K sei Körper. Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und mit den m Unbestimmten xj hat im Falle m > n stets eine nichttriviale Lösung; dh. x aus Km\{0} mit den Komponenten xj , so dass das Gleichungssystem erfüllt ist. (13.6) Schrankenlemma: Hat der K-Vektorraum V ein Erzeugen-densystem mit n Elementen (n aus N), so sind je n+1 Vektoren aus V stets linear abhängig.

  5. Es gibt dann Kapitel III, §13 Beweis: Sei {a1, a2, ... an} Erzeugendensystem von V. Und seien b1, b2, ... bn, bn+1 beliebige Vektoren aus V. Gesucht werden xj aus K , nicht alle 0, mit Die Behauptung folgt jetzt aus dem Fundamentallemma 13.5, denn hat eine nichttriviale Lösung (n Gleichungen, n+1 Unbestimmte).

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