מה במצגת? שקופית לחונך

1. מה במצגת? שקופית לחונך מעגל חסום במשולש מספר שקופיות: 28 שקופית 2– רקע-תכונות חוצה זווית שקופית 3 – רקע- פגישת חוצה זווית במשולש שקופית 4 – מעגל חסום במשולש –הגדרה ומושגים שקופית 5 – קשרים שכדאי לזכור שקופיות 14- 6 – 3 בעיות עם רמזים לפתרון -להפנמת הנושא שקופיות 16- 15 – מעגל חסום במשולש ישר זווית שקופית 17 – מעגל חסום במשולש ש''ש שקופית 18 – מעגל חסום במשולש שווה צלעות שקופיות 22- 19 – בעיה 4 עם רמזים לפתרון שקופיות 29- 23 – בעיה 5 עם רמזים לפתרון דגשים חשובים: לשים לב! המשכי חוצי הזווית הם לא נקודות ההשקה

2. B B K K M M D D     C C A A F F משפט: כל נקודה שנמצאת על חוצה הזווית, נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית AK חוצה זווית BAC  = KAC = BAK D – נקודה על AK ACDF , ABDM  DF = DM ADM ADF ( ז.צ.ז. ) מהחפיפה נקבל גם ש- AF =AM משפט הפוך: כל נקודה שנמצאת במרחקים שווים משוקי זווית , נמצאת על חוצה הזווית ACDF , ABDM , DF = DM   = KAC = BAK ADM ADF ( צ.צ.ז. ) 2

3. A F 1 2 M O 2 1 B 1 2 C K מסקנה מהמשפט הישר וההפוך : משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת O – נקודת פגישת חוצי הזוויות של המשולש ABC 2 =  A 1  A , 2 =  B 1  B , 2 =  C 1  C ACOM , ABOF , BCOK AOM AOF צ.ז.צ. BOK BOFצ.ז.צ. COM COKצ.ז.צ. OF = OK = OM נקודת פגישת חוצי הזוויות במשולש תמיד תהיה בתוך המשולש 3

4. A M F  O B C K הגדרה: מעגל חסום במשולש – המעגל ששלושת צלעותיו של משולש נתון משיקות לו לכל משולש יש מעגל חסום הצלעות של המשולש הם משיקים של המעגל. זוויות המשולש הן זוויות חיצוניות של המעגל מרכז המעגל החסום תמיד בתוך המשולש משפט : מרכז המעגל החסום משולש הוא מפגש חוצי זוויות המשולש. ( נקודת פגישת חוצי הזווית נמצאת במרחק שווה מצלעות המשולש המרחק - רדיוס המעגל החסום , OM = OK = OF) 4

5. 1 2 M F A 2 1 1 2  K O B C קשרים שכדאי לשים לב אליהם: O – מרכז המעגל החסום במשולש ABC F, – נקודת ההשקה של צלע AB עם המעגל M – נקודת ההשקה של צלע AC עם המעגל K– נקודת ההשקה של צלע BC עם המעגל AO - חוצה זווית A BO - חוצה זווית B CO - חוצה זווית C AC OM , ABOF , BCOK - רדיוס מאונך למשיק OF= OK = OM - רדיוסים במעגל החסום המרובעים: BFOK , AFOM , CMOK הם דלתונים למשל, קודקוד B – נקודה שיוצאים ממנה שני משיקים למעגל OBF = BK 5

6. B C A בעיה 1 נתון משולש ABC ,מצא את מרכז המעגל החסום במשולש ואת נקודות ההשקה 6

7. B K F  O C A בעיה 1– רמזים לפתרון נתון משולש ABC ,מצא את מרכז המעגל החסום במשולש נעביר CK ו- AF חוצי זוויות . מחיתוך חוצי הזווית מתקבל מרכז המעגל החסום. סמן את נקודות ההשקה 7

8. B K F  O C A בעיה 1– פתרון נתון משולש ABC ,מצא את מרכז המעגל החסום במשולש ואת נק' ההשקה P G  M מנקודה O נוריד גבהים לצלעות – יתקבלו נקודות ההשקהP ,M , G טעות נפוצה !! שהנקודות K ו-F הן נקודות ההשקה 8

9. A M F  O B C K בעיה 2 מעגל O חסום במשולש ABC F , M , K נקודות ההשקה נתון: 20 ס''מ = BC 8 ס''מ = BF 5 ס''מ = AM חשבו את אורכי צלעות המשול ש ABC  שרטוט לדיון בשיקופית הבאה 9

10. A M F  O B C K בעיה 2 - שרטוט לדיון מעגל O חסום במשולש ABC F , M , K נקודות ההשקה נתון: 20 ס''מ = BC 8 ס''מ = BF 5 ס''מ = AM חשב: AB , AC ,BC 5 8 20 10

11. A M F  O B C K בעיה 2 - פתרון מעגל O חסום במשולש ABC F , M , K נקודות ההשקה נתון: 20 ס''מ = BC 8 ס''מ = BF 5 ס''מ = AM חשבו את אורכי צלעות המשול ש ABC  5 5 12 8 8 12 20 זכרו את המשפט: מנקודה יוצאים שני משיקים למעגל  שווים הפתרון בשרטוט 11

12. O מרכז המעגל החסום במשולש ABC תארו את זווית 12  O באמצעות  ,  ,    M F A      K O B C בעיה 3 1 2 12

13. O מרכז המעגל החסום במשולש ABC תארו את זווית 12  O באמצעות  ,  ,    M F A      K O B C בעיה 3 – רמזים לפתרון 1 2  נסתכל על משולש BOC  (  +  ) -  180 = 12  O  180 =  2 +  2+ 2 – סכום זוויות ב- ABC   90 =  +  +  -  90 =  +   +  90 = (  -  90 ) -  180 = (  +  ) -  180 = 12  O 13

14. בעיה 3 – מסקנה A   O מרכז המעגל החסום במשולש ABC M F  O 1 2     B C K A½ +  90 = 12  O יתרון הצגה זו ,היא מתארת את זווית 12  O באמצעות זווית A בלבד 14

15. מעגל חסום במשולש ישר זווית A מעגל O חסום במשולש ישר זווית ABCº ) 90 = C( M , F , K נקודות ההשקה סמנו את הגדלים השווים בשרטוט M  O F מה תוכלו לומר על מרובע FOKC C B K 15

16. A M  O F C B K מעגל חסום במשולש ישר זווית - מסקנות נתון : ABC º 90 = C מעגל O חסום במשולש ABC M , F , K נקודות ההשקה 2 1 ה מרובע FOKC הוא כל זוויותיו ישרות  מלבן זוג צלעות סמוכות שוות( רדיוסים) ריבוע מתקיים גם :  45 = 1  C= 2  C 16

17. A F M  O B C K מעגל חסום במשולש שווה שוקיים נתון : ABC AC = AB מעגל O חסום במשולש ABC M , F , K נקודות ההשקה מרכז המעגל החסום O נמצא על הגובה לבסיס  נקודת ההשקה נמצאת באמצע הבסיס (K )  הנקודות A , O , K נמצאות על ישר אחד –הגובה לבסיס 17

18. A F M  O B C K מעגל חסום במשולש שווה צלעות נתון : ABC AC = AB=BC מעגל O חסום במשולש ABC M , F , K נקודות ההשקה מרכז המעגל החסום O הוא פגישת חוצי הזוויות ( שנקודה זו היא גם פגישת האנכים האמצעיים גם פגישת הגבהים וגם פגישת התיכונים)  המשכי חוצי הזוויות הן נקודות ההשקה  הנקודה O היא גם מרכז המעגל החוסם את המשולש (למי שלמד על נקודת פגישת התיכונים: רדיוס המעגל החסום הוא 3 / 1 מהגובה 18

19. A M F  O B C K בעיה 4 בתוך משולש ABC חסום מעגל O. נקודות ההשקה הן F , M , ו- K נתון:  80 =  A ,  30 =  C חשב את זוויות המשולש FMK שרטוט לדיון בשיקופית הבאה 19

20. A M F  O B C K בעיה 4– שרטוט לדיון 80 3 בתוך משולש ABC חסום מעגל O. נקודות ההשקה הן F , M , ו- K נתון:  80 =  A ,  30 = C חשב את זוויות המשולש FMK 3 2 1 2 1 2 3 1 30 20

21. A M F  O B C K בעיה 4– רמזים לפתרון – דרך א' 80 50 בתוך משולש ABC חסום מעגל O. נקודות ההשקה הן F , M , ו- K נתון:  80 =  A ,  30 = C חשב את זוויות המשולש FMK 50 2 75 2 55 2 70 55 75 30  70 = B - משלימה ל-  180 במשולש ABC  משולשים BFK , MKC , AFM - משולשים שווה שוקיים  מחישובי זוויות נקבל ש:  55 = 2  M ,  75 = 2  F ,  50= 2  K 21

22. A M F  O B C K בעיה 4– רמזים לפתרון – דרך ב' 80 50 בתוך משולש ABC חסום מעגל O. נקודות ההשקה הן F , M , ו- K נתון:  80 =  A ,  30 = C חשב את זוויות המשולש FMK 50 2 75 2 2 75 30  משולשים, MKC , AFM - משולשים שווה שוקיים ,נשלים את זוויות הבסיס  75 = 2  F= 3  K - זווית בין משיק ומיתר  50 = 2  K= 3  M - זווית בין משיק ומיתר  55 = 2  M - משלימה ל - 180 במשולש FMK  22

23. בעיה 5 K נתון מעגל O . המשכי המיתרים השוויםAB ו – CF נפגשים בנקודה K KO חותך את המעגל בנקודה M. הוכח: הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF B M F  A O C שרטוט לדיון בשיקופית הבאה 23

24. K B 1 2 M 2 1 F  A O C בעיה 5 – שרטוט לדיון 1 נתון: מעגל O . AB = CF צ.ל. : הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF הדרכה: M צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות צ.ל. : 2  K= 1  K , 2 A= 1  A , 24

25. בעיה 5 – שרטוט לדיון 2 K נתון: מעגל O . AB = CF צ.ל. : הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF B 1 2 M F  A O נתרכז רק ב: צ.ל. : 2  K= 1  K C 25

26. בעיה 5 – רמזים לפתרון K נתון: מעגל O . AB = CF צ.ל. : הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF B 1 2 M T F  A O P נתרכז רק ב: צ.ל. : 2  K= 1  K C בנית עזר : מרחקים למיתרים : CFOP , ABOT AB = CFOP = OT - למיתרים שווים מרחקים שווים מהמרכז OPKOTK - משפ' חפיפה רביעי צ.צ.ז. 2  K= 1  K - מהחפיפה ( ז.מ.ב.ח.) 26

27. K B 1 2 M 2 1 F  A O C בעיה 5 – שרטוט לדיון 3 נתון: מעגל O . AB = CF צ.ל. : הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF הדרכה: M צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות נתרכז ב: צ.ל. : 2 A= 1  A , צ.ל. : Mאמצע הקשת BF ( ואז הזויות ההיקפיות תהיינה שוות ) צ.להראות שהזוויות המרכזיות הנשענות על קשתות אלה שוות נעבור לשרטוט נח יותר... 27

28. בעיה 5 – שרטוט לדיון 3 K נתון: מעגל O . AB = CF צ.ל. : הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF B 1 2 M T 1 2 F  A O P הדרכה: M צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות נתרכז ב: צ.ל. : 2 A= 1  A ,  צ.ל. : 2 O= 1  O C 28

29. בעיה 5 – רמזים לפתרון -המשך K נתון: מעגל O . AB = CF צ.ל. : הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש AKF B 1 2 M T 1 2 F  A O P הדרכה: M צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות נתרכז ב: צ.ל. : 2 A= 1  A ,  צ.ל. : 2 O= 1  O C OPKOTK - משפ' חפיפה רביעי צ.צ.ז. OPFOTB - משפ' חפיפה שלישי צ.צ.צ. ( חצאי מיתרים שווים – שווים ) 2 O= 1  O - הפרשי זוויות שוות לסכום: הראנו ש- KM חוצה זווית KAM חוצה זווית A ולכן M – מרכז מעגל החסום במשולש AFK 29