Raiz quadrada exata de números inteiros

1. Raiz quadrada exata de números inteiros Matéria: Matemática Professora: Mariane Krull Turma: 7º ano Obs: Toda matéria desta apresentação encontra-se no capítulo 1 do livro.

2. Quadrados perfeitos • Os números quadrados perfeitos são os resultados de números elevados ao quadrado, mais a frente veremos que um quadrado perfeito são números que possuem raiz quadrada exata. Veja: Importante: Os quadrados perfeitos são infinitos.

3. Raiz quadrada de um número Representação: É representada pelo seguinte símbolo: Veja alguns exemplos da representação de raiz quadrada: a) Lê-se: raiz quadrada de 1. b) Lê-se: raiz quadrada de 9. c) Lê-se: raiz quadrada de 16.

4. Cálculo de uma raiz quadrada • Só é possível calcular a raiz quadrada exata de um número, quando este número for um quadrado perfeito. • (Exemplo) Calcule a raiz quadrada dos casos abaixo: Resolução: a) = 2, pois 2² = 2 x 2= 4 , Lê-se: raiz quadrada de quatro é igual a dois. b) = 3, pois 3² = 3 x 3= 9 Lê-se: raiz quadrada de nove é igual a três. c) = 4, pois 4²= 4 x 4= 16 Lê-se: raiz quadrada de dezesseis é igual a quatro.

5. Cálculo de uma raiz quadrada Continuação: d) = 5, pois 5² = 5 x 5= 25 Lê-se: raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco. e) = 6, pois 6²= 6 x 6= 36 Lê-se: raiz quadrada de trinta e seis é igual a seis. f) = 7, pois 7² = 7 x 7= 49 Lê-se: raiz quadrada de quarenta e nove é igual a sete. g)= 8, pois 8² = 8 x 8= 64 Lê-se: raiz quadrada de sessenta e quatro é igual a oito.

6. Termos de uma raiz quadrada • Qualquer raiz quadrada é composta de termos, estes termos recebem nomes. Observe: Onde: • 2 é o índice ( não aparece, mas é 2); • 9 é o radicando; • é o radical; • 3 é a raiz ( o resultado); 2

7. Raiz quadrada não exata • Vimos que somente os quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata; • Veja alguns exemplos abaixo de números que não possuem raiz quadrada exata: Você conhece outros números que não possuem raiz quadrada exata? Escreva 5 exemplos.

8. Outras raízes • Além da raiz quadrada existem outros tipos de raízes. Veja: • Raiz cúbica de um número. Veja alguns exemplos abaixo: = 1 , pois 1x1x1= 1 = 2 , pois 2x2x2= 8 = 3 , pois 3x3x3= 27 = 4 , pois 4x4x4= 64 Obs: Devemos pensar em um número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dê um resultado igual ao radicando.

9. Outras raízes Lembrando que os termos de uma raiz recebem nomes: • 3 é o índice; • 27 é o radicando; • é o radical; • 3 é a raiz ( o resultado);

10. Outras raízes • Exemplos de outros tipos de raízes: • = 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625 Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco. • = 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256 Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro. • = 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32 Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois. Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.

11. IMPORTANTE: O foco do nosso estudo neste momento será somente a raiz quadrada.

12. Outras raízes • Exemplos de outros tipos de raízes: • = 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625 Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco. • = 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256 Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro. • = 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32 Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois. Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.

13. Exercícios

14. Calculando a raiz quadrada de um número através da fatoração • Antes de aprendermos a calcular a raiz quadrada de um número por fatoração, precisamos relembrar alguns conceitos: 1)Números primos: Um número primo é todo número que tem somente dois divisores: o 1 e ele mesmo. Exemplos: • O número 2 é primo? Sim, porque só conseguimos ter divisão do 2 por 1 e por ele mesmo;

15. Relembrando números primos Exemplos: • O número 3 é primo? Sim, porque só conseguimos ter divisão do 3 por 1 e por ele mesmo; • O número 42 é primo? Não, pois temos divisão exata do 42 por vários números: pelo 1, 2, 3, 6, 7, 14 e 42. Existem infinitos números primos. Porém, os mais utilizados são: 2 , 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Observe abaixo a tabela com esses principais números primos:

16. Relembrando fatoração O que é fatoração? É transformar um número qualquer em um produto de números primos. Exemplos: • 36 = 2 . 2 . 3 . 3 • 15 = 3 . 5 • 8 = 2 . 2 . 2

17. Relembrando fatoração Como é feita a fatoração? Veja através do exemplo abaixo como fatorar um número qualquer. Lembre-se, é importante ter em mente os números primos. (Exemplo 1) Fatore o número 16. 16 2  Quando dá, sempre começo dividindo por 2. 8 2 4 2 2 2 1 16 = 2 . 2 . 2. 2

18. Relembrando fatoração (Exemplo 2) Fatore o número 15. 15 3  Não deu para começar por 2, tento pelo próximo número primo, que é 3. 5 5 1 15 = 3 . 5

19. Relembrando fatoração (Exemplo 3) Fatore o número 85. 85 5  Só deu para começar por 5. 17 17 1 85 = 5 . 17

20. Calculando raiz quadrada exata através da fatoração • A fatoração é utilizada como ferramenta no cálculo da raiz quadrada de um número qualquer, principalmente quando não sabemos “ de cabeça” a raiz quadrada desse número. (Exemplo 1) Calcule a . 1º Passo: Fatorar 400. 400 2 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1

21. Calculando raiz quadrada exata através da fatoração Por estarmos calculando uma raiz quadrada, vamos agrupar os números primos iguais utilizados na fatoração de dois em dois. Veja: 400 2 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1 = = 2 . 2 . 5 = 20  Resposta Obs.: Podemos tirar de dentro da raiz todos os números que estão elevados a 2. 2² 2² 5²

22. Calculando raiz quadrada exata através da fatoração (Exemplo 2) Calcule a . 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 = = 2 . 2 . 3 = 12  Resposta 2² 2² 3²

23. Calculando raiz quadrada exata através da fatoração (Exemplo 3) Calcule a . 3969 3 1323 3 441 3 147 3 49 7 7 7 1 = = 3 . 3 . 7= 63 Resposta 3² 3² 7²

24. EXERCÍCIOS

25. Raiz quadrada exata de um número inteiro E como calculamos a raiz quadrada exata de números positivos e negativos? 1) Raiz quadrada exata de números positivos: Calcula-se da mesma forma que aprendemos até aqui. Exemplos: a) = + 2 b) = + 3 c) = + 10

26. Raiz quadrada exata de um número inteiro 2) Raiz quadrada exata de números negativos: Simplesmente não existe. Dizemos então que é impossível em Z ( conjunto dos números inteiros) Exemplos: a) = Impossível em Z. b) = Impossível em Z. c) = Impossível em Z.

27. EXERCÍCIOS

28. FIM !