1. 第三节 控制系统的传递函数

2. 第三节 控制系统的传递函数 • 一、传递函数的概念 • 二、传递函数的性质 • 三、典型环节及其传递函数

3. 引言 • 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。 • 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念

4. 一、传递函数的概念 图2-14所示的RC电路中电容的端电压uc(t)。根据克希霍夫定律，可列写如下微分方程： (2.60) (2.61) 消去中间变量i(t)，得到输入ur(t) 与输出uc(t)之间的线性定常微分 方程: 图2-14 RC电路 (2.62)

5. 现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压uc(0)，得:现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压uc(0)，得: (2.63) 式中 Uc(s)—— 输出电uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压ur(t)的拉氏变换。 由上式求出Uc(s)的表达式: (2.64) 当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:

6. (2.6 5) 式中第一项称为零状态响应， 由ur(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压uc (0)决定的 分量。 图2-15表示各分量的变化曲线， 电容电压uc (t)即为两者的合成。 图2-15 RC网络的阶跃响应曲线

7. 在式(2.65 )中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用，则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur (t)和初始电压uc (0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0，则有 : (2.66) 当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.66)亦可写为: (2.67) 当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象 函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。

8. 用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： 式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。 图2-16 传递函数 传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递 关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。 对传递函数作如下定义： 线性（或线性化）定常系统在零初始 条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递 函数。

9. 若线性定常系统由下述n阶微分方程描述： (2.68) 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，… an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.68)进行拉氏变换，可得到s的代数方程： [ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s) =[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)

10. 由传递函数的定义，由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数：由传递函数的定义，由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数： (2.69) 式中M(s)= bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。 传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各 阶导数在t=0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t=0 时的值也为零。

11. 二、传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义式(2.69)可知，传递函数具有以下性质： 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m低于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。 2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。 3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。将式(2.69)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如下形式： (2.70) (2.70)

12. 式中k为常数，-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。式中k为常数，-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。 一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-17所示。图中零点用“ ”表示，极点用“* ”表示。 图2-17 G(s)= 零极点分布图

13. 4. 若取式(2.69)中s = 0，则： 常称为传递系数（或静态放大系数）。从微分方程式(2.68)看， s=0相当于所有导数项为零，方程蜕变为静态方程 或 b0 /a0恰为输出输入时静态比值。 5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输 入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。

14. 三、典型环节及其传递函数 控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基本环节，也就是典型环节。 （一）比例环节 比例环节的传递函数为： G(s)= K(2.71) 输出量与输入量成正比，比例环节又称为无惯性环节或放大环节。 图2-18 比例环节 图2-18(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图2-18(b) 所示。

15. （二）惯性环节 传递函数为如下形式的环节为惯性环节： (2.72) 式中K——环节的比例系数； T——环节的时间常数。 当环节的输入量为单位阶跃 函数时，环节的输出量将按指 数曲线上升，具有惯性，如图 2-19(a)所示。 图2-19 惯性环节

16. （三）积分环节 它的传递函数为: (2.73) 当积分环节的输入为单位 阶跃函数时，则输出为t/T，它 随着时间直线增长。T称为积 分时间常数。T很大时惯性环 节的作用就近似一个积分环节。 图2-20(b)为积分调节器。积 分时间常数为RC。 图2-20积分环节

17. （四）微分环节 理想微分环节传递函数为: G(s) = T s(2.74) 输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为c(t)=Td(t)， 是个脉冲函数。 理想微分环节的实例示于图2-21(a)、(b)。(a)为测速发电机。 图中(b)为微分运算放大器。 在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为： (2.75)

18. 它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在 低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.75)的传递函数。 图2-21微分环节

19. （五）振荡环节 振荡环节的传递函数为： (2.76) 式中wn---无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； z ——阻尼比，0＜z＜1。 图2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。 图2-22振荡环节的单位阶跃响应曲线

20. （六）延滞环节 延滞环节是线性环节，t 称为延滞时间（又称死时）。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。 如图2-23所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间t后才出现阶跃信号，在0＜1＜t 内，输出为零。 图2-23 延滞环节

21. 延滞环节的传递函数可求之如下： c(t)= r(t－t) 其拉氏变换为: 式中x = t-t，所以延滞环节的传递函数为: 系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。 (2.77)