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TD4 : « Lois usuelles de statistiques »

TD4 : « Lois usuelles de statistiques ». Loi binomiale Loi de Poisson Loi normale Table de N (0;1) Exercices sur Internet Exercices 1 et 2 du TD4. Loi binomiale. Retour au sommaire. Loi binomiale.

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  1. TD4 : « Lois usuelles de statistiques » • Loi binomiale • Loi de Poisson • Loi normale • Table de N(0;1) • Exercices sur Internet • Exercices 1 et 2 du TD4 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  2. Loi binomiale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  3. Loi binomiale • Si X1, X2, ...., Xn sont n v.a indépendantes, toutes de loi de Bernoulli de paramètre p, alors X = X1 + ... + Xn suit la loi B(n ; p). On écrit alors X > B(n ; p). • On a alors : • E(X) = np • Var(X) = np(1 – p) • Exercice: On répond au hasard à un QCM comportant 10 questions. Sur 5 propositions de réponses, une seule est bonne. Calculer la probabilité d’obtenir 3 bonnes réponses. (Réponse : Si on nomme la v.a X qui correspond au nombre de bonnes réponses, on a X > B(10 ; 0,2) et P(X = 3) = 0,2013) • Les calculs peuvent être effectués à la calculatrice (voir fiche distribuée) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  4. Loi binomiale et tableur Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  5. Loi de Poisson • La loi de Poisson se rencontre lorsque la réalisation d’un événement est rare sur un grand nombre d’observations : mortalité, panne de machines... • On appelle loi de Poisson de paramètre l,notée P(l), la loi telle que : • E(X) = l et var(X) = l. • Une loi binomiale B(n ; p) peut être remplacée par une loi de Poisson P(l=np) dés que n>30 et p 0,1 . • Exercice :Une fabrication en série présente en moyenne 1,5% de produits défectueux. On contrôle 50 articles choisis au hasard. 1) Quelle est la probabilité d’obtenir 2 articles défectueux ? 2) Quelle approximation peut-on faire ? (Réponse : X > B(50 ; 0,015) avec X la v.a qui correspond au nombre de produits défectueux. On a :P(X = 2) = = 0,133 Comme 50 > 30 et 0,015 < 1, on a X qui suit la loi de Poisson avec l= 50× 0,015=7,5) Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  6. Loi normale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  7. Loi normale • Une loi normale est une distribution continue Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  8. Exemples Notes à un examen Les impôts Décès au Canada Taille des françaisSomme de 3 désFréquence battements cardiaques Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  9. Distributions normales Taille des Français Somme de 3 dés Fréquence battements cardiaques Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  10. Loi normale • La loi normale est une loi particulière • Forme de cloche • Symétrique • 2 Points d’inflexion • Infinie Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  11. Exemples de lois normales Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  12. Loi normale Moyenne : valeur centrale Écart type : distance aux points d’inflexion Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  13. Exemples de lois normales • Moyenne : 0 • Écart type : 3 • Moyenne : 4 • Écart type : 1 • Moyenne : -1 • Écart type : 0,5 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  14. 36 valeurs suivent une loi normale. • Alors, si on fait un tirage au hasard : • Probablement proche de la moyenne • Faible chance d’être loin Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  15. Interprétation graphique • Unindividu pris au hasard a : • 16% de chances d’être dans le gris • 2,5% de chances • 0,15% de chances Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  16. La distribution normale m 1s 2s3s 34,1 % 50% 13,6% 2,2% Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  17. Loi normale centrée réduite • Définition : La loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1 est appelée la loi normale centrée réduite. Si X suit une  loi normale centrée réduite, E(X) = 0 et Var(X) = 1 . On écrit X > N(0;1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  18. Loi normale centrée réduite • Propriété : Soit F(u) = P(X<u), la fonction de répartition de X, de loi N(0;1). Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  19. u F(u) = P(X<u) 0,0 0,5 0,1 0,5398 0,2 0,5793 0,3 0,6179 0,4 0,6554 0,5 0,6915 0,6 0,7257 0,7 0,7580 0,8 0,7881 0,9 0,8159 1,0 0,8413 1,1 0,8643 1,2 0,8849 1,3 0,9032 1,4 0,9192 1,5 0,9332 1,6 0,9452 1,7 0,9554 1,8 0,9641 1,9 0,9713 2,0 0,9772 2,1 0,9821 2,2 0,9861 2,3 0,9893 2,4 0,9918 2,5 0,9938 2,6 0,9953 2,7 0,9965 2,8 0,9974 2,9 0,9981 3,0 0,9987 Exemple avec la loi centrée réduite • La table donne les chances P d’être dans [- ∞ ; u] • Exemple 1 : • [- ∞ ; 1,5], F(u) = 0,9332 • [0,3 ; + ∞] , P(x  0,3) =1 – P(x<0,3) • = 1 – 0,6179 • = 0,3821 Exemple 2 : • Si les températures suivent la loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1, alors : • 2,5% des jours auront une température de 2 ou plus • 5% des jours auront une température de -1,6 ou moins Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  20. La loi normale de Laplace-Gauss • C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de pratique, et pour des raisons théoriques. • Densité de probabilité : définie de  à + • La v.a. est centrée et réduite • P(X=a) = 0 • Toute loi normale de paramètres  et  peut être ainsi transformée en loi normale centrée réduite. Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  21. Loi normale et le tableur (1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  22. Loi normale et le tableur (2) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  23. Avec la calculatrice TI82 stats Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  24. calculatrice Casio Graph35+ Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  25. Table de la loi centrée réduite Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  26. Approximations • Approximation normale de la loi binomiale : On a la loi binomiale B(n ; p) qui suit à peu prés la loi normale de moyenne np et de variance np(1-p) si n>30, np> 10 et np(1-p)>10. • Approximation normale de la loi de Poisson : On a P(m) = N(m ; m) si m>20 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  27. Exercices d’entraînement • Exercices interactifs sur Internet : (http://wims.auto.u-psud.fr/wims/ , puis rechercher statistiques) • Variables aléatoires discrètes • Loi normale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  28. Exercices du TD4 Exercice 1 : Considérer les figures à la fin de ce TD. 1°) Légender la figure b à partir des encadrés. 2°) Compléter les encadrés dans les figures 1 à 10. Exercice 2 : Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 1,96) ; P (U < − 1,96) ; P (U > 2,575) . 2°) P (− 1,21 < U < + 1,53) ; P ( < 1,96) ; P ( < 2,575) . 3°) u tel que P (U < u) = 0,10 ; P ( < u) = 0,8 . Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  29. Exercice 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  30. Figure 1 (Exercice 1) P(- ¥ < U < + ¥) = 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  31. Figure 2 (exercice 1) P(U < U1) = F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  32. Figure 3 (exercice 1) P(U > -U1) = P(U<U1) = F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  33. Figure 4 (Exercice 1) P(U > U1) = 1 - P(U<U1) = 1 - F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  34. Figure 5 (Exercice 1) F(-U1) = P(U < -U1) =1 - P(U>-U1) =1 – P(U<U1) =1 - F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  35. Figure 6 (Exercice 1) P(-U1<U<U1) = 1 – P(U< -U1) –P(U>U1) = 2P(U<U1) – 1 = 2F(U1) – 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  36. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 1,96) Réponse : P(U>1,96) = 1 – P(U< 1,96) =1 – F(1,96) = 1 – 0,9750 = 0,025 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  37. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U < -1,96) Réponse : P(U<-1,96) =P(U>1,96) = 0,025 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  38. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 2,575) Réponse : P(U>2,575) = 1 – P(U< 2,575) =1 – F(2,575) = 1 – 0,9950 = 0,005 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  39. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-1,21<U<1,53) Réponse : P(-1,21<U<1,53) = P(U<1,53)-P(U<-1,21) =F(1,53) – F(-1,21) = F(1,53) – (1 – F(1,21)) = F(1,53) – 1 + F(1,21) = 0,9370 – 1 + 0,8869 = 0,8239 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  40. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-1,96 <U< 1,96) ) Réponse : P(-1,96<U<1,96) = P(U<1,96)-P(U<-1,96) =F(1,96) – F(-1,96) = F(1,96) – (1 – F(1,96)) = F(1,53) – 1 + F(1,96) = 2F(1,96) - 1 = 2x0,9750 – 1 = 0,95 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  41. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-2,575 <U< 2,575) Réponse : P(-2,575<U<2,575) = 2F(2,575) - 1 = 2x0,995 – 1 = 0,99 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  42. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 3°) P (U<u)=0,10 Réponse : P(U<u)=0,10 1-P(U<u) = 1-0,10 = 0,9 P(U<-u) = 0,90 F(-u) = 0,90 Donc –u = 1,29 et donc : u = -1,29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

  43. Exercice 2 • Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 3°) P(çUç< u) = 0,8 Réponse : P(çUç< u) =2 F(u) – 1 = 0,8 F(u) =(1+0,8):2=0,9 Donc 1,28 < u < 1,29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

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