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第 7 章 线性离散控制系统. 内 容 提 要. 采样（离散）控制系统与连续控制系统的根本区别在于采样系统中既包含有连续信号，又包含有离散信号，是一个混和信号系统。分析和设计采样系统的数学工具是 Z 变换，采用的数学模型是差分方程、脉冲传递函数。. 采样控制系统的特点，连续信号的离散化，采样定理，信号的恢复，保持器， Z 变换，差分方程，脉冲传递函数，采样系统的稳定性，采样系统的稳态误差，采样系统的分析，采样系统的校正，最少拍控制器。. 知 识 要 点. 7-1 基本概念.
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第7章 线性离散控制系统 内 容 提 要 采样（离散）控制系统与连续控制系统的根本区别在于采样系统中既包含有连续信号，又包含有离散信号，是一个混和信号系统。分析和设计采样系统的数学工具是Z变换，采用的数学模型是差分方程、脉冲传递函数。
采样控制系统的特点，连续信号的离散化，采样定理，信号的恢复，保持器，Z变换，差分方程，脉冲传递函数，采样系统的稳定性，采样系统的稳态误差，采样系统的分析，采样系统的校正，最少拍控制器。 知 识 要 点
7-1 基本概念 本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数(模拟信号），而在离散系统中则不然，在一般情况下，控制系统中至少有一处或几处信号在时间上为离散的脉冲或数字信号。
当炉温偏离给定值时，热敏电阻的阻值发生变化，使电桥失去平衡，检流计指针发生偏移，转角为S，同步电机带动凸轮使检流计指针上下周期性地运动，检流计指针每隔T秒与电信号接触一次，每次接触时间为τ秒。此时电位器输出是一串宽度τ，周期为T的脉冲电压信号，用 表示。 信号仅仅在检流计指针与电位器接触时才能通过，它经过放大器，电动机，减速器控制炉门角度来改变气体的进气量，使炉温趋于给定值。当检流计离开电位器时，有误差信号，但执行电机不动作，相当于开关断开。
炉温采样控制系统示意图 检流计的输出是连续偏差信号 ，而通过指针、电位器的输出为离散信号 。即连续信号 ，经采样周期为T的采样开关变为一系列脉冲信号 。
数字控制系统 数字控制系统结构图
数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不过是通过数字计算机来完成。因此，它包括工作于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器)和具有连续工作状态的被控对象两大部分，有用于控制目的的数字计算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分，通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象G(s)是系统的不可变部分，它是构成连续部分的主要部分。数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不过是通过数字计算机来完成。因此，它包括工作于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器)和具有连续工作状态的被控对象两大部分，有用于控制目的的数字计算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分，通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象G(s)是系统的不可变部分，它是构成连续部分的主要部分。
在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的被控信号c(t) (模拟量)受控于具有离散时间函数形式的控制信号 (数字量)。既然模拟量需要反应数字量，这中间便需要有数-模D/A转换环节。连续的被控制信号c(t)经反馈环节反馈到输入端与参考输入相比较，从而得到e(t)并经A／D得到偏差信号 。
离散的偏差信号 经数字计算机的加工处理变换成数字信号 ， 再经D／A转换为连续信号 馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c(t)。 复杂的计算机控制系统 目前的大型控制系统(或称大系统)的发展趋势，是将许多独立的控制系统(称为子系统)结合成单一的最优控制工程。在工业过程控制系统中，要使系统在长时间内工作在稳态，通常是不现实的。
这是因为在产品要求、原料、经济因素、加工设备和加工工艺中，总会发生变化。因此，就有必要考虑工业过程中的暂态过程。又由于过程变量中存在着相互影响，所以在每一个控制系统中，只考虑一个过程变量，将系统作为单输入-单输出系统来分析、设计，对于全面的控制系统来说是不适当的。这是因为在产品要求、原料、经济因素、加工设备和加工工艺中，总会发生变化。因此，就有必要考虑工业过程中的暂态过程。又由于过程变量中存在着相互影响，所以在每一个控制系统中，只考虑一个过程变量，将系统作为单输入-单输出系统来分析、设计，对于全面的控制系统来说是不适当的。
为了实现工业过程的最优控制，就必须考虑全部的过程变量，即需将系统作为具有多输入—多输出形式的多变量系统来研究。同时还要考虑到经济因素、产品和设备性能等方面的要求。还需指出，大系统对过程的控制能力越完善，也就越需要求解复杂的方程，也就越需要了解和利用工作变量间的正确关系。为了实现工业过程的最优控制，就必须考虑全部的过程变量，即需将系统作为具有多输入—多输出形式的多变量系统来研究。同时还要考虑到经济因素、产品和设备性能等方面的要求。还需指出，大系统对过程的控制能力越完善，也就越需要求解复杂的方程，也就越需要了解和利用工作变量间的正确关系。
大系统还必须具备能够在短时间内实时地控制其子系统工作状态的能力。显然，根据上述要求构成的大系统，如果不采用数字计算机来控制．是根本无法完成既定任务的。这样的大系统是离散系统的一种高级形式。大系统还必须具备能够在短时间内实时地控制其子系统工作状态的能力。显然，根据上述要求构成的大系统，如果不采用数字计算机来控制．是根本无法完成既定任务的。这样的大系统是离散系统的一种高级形式。
分析离散系统可以采用Z变换法，或状态空间法。Z变换法和线性定常离散系统的关系，恰似拉氏变换法和线性定常连续系统的关系；因此，Z变换法是分析单输入-单输出线性定常离散系统的有力工具，它是本章的重点内容。状态空间法特别适用于多输入—多输出线性离散系统的分析。分析离散系统可以采用Z变换法，或状态空间法。Z变换法和线性定常离散系统的关系，恰似拉氏变换法和线性定常连续系统的关系；因此，Z变换法是分析单输入-单输出线性定常离散系统的有力工具，它是本章的重点内容。状态空间法特别适用于多输入—多输出线性离散系统的分析。
§7-2 采样过程与采样定理 7.2.1 采样过程 实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列（信号）的问题。 按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。
采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器，它能够产生一系列单位脉冲。采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器，它能够产生一系列单位脉冲。
采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信号的调制过程如图所示。采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信号的调制过程如图所示。 载波 调制器 采样信号的调制过程
2. 采样过程的数学描述 脉冲序列的拉普拉斯变换表达式 若用jω代替s，得脉冲序列的频域表达式
另外，还可得脉冲序列 的另一种表示形式。 单位脉冲序列 是周期为T的周期函数，其采样频率 ，可展开成富里叶级数
脉冲序列的另一种拉普拉斯变换表达式 若用jω代替s，得 的频域表达式 上式看到，如果si是连续信号的极点，那么si-jkω，k=0，1，2…都是离散信号的极点，有无限多个。
采样定理(shannon香农采样定理)，给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散控制系统时是很重要的。采样定理(shannon香农采样定理)，给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散控制系统时是很重要的。 7.2.2 采样定理
从采样过程及信号频谱的变化，给出采样定理。从采样过程及信号频谱的变化，给出采样定理。 连续信号e(t)经采样后的脉冲信号 表达式 上式表明，采样信号的拉氏变换式E*(s)是以ωs为周期的周期函数。另外，上式表示了采样函数的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式E(s)之间的关系。
通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半平面，因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信号的频率特性：通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半平面，因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信号的频率特性： 上式即为采样信号的频谱函数。它反映了离散信号频谱和连续信号频谱之间的关系。
一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽是有限的，即上限频率为有限值 。 连续函数的频谱
而离散函数e*(t)则具有以ωs为周期的无限多个频谱。而离散函数e*(t)则具有以ωs为周期的无限多个频谱。 ω 在离散函数的频谱中、n=0的部分E(jω)／T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外， E*(jω)还包含无限多个附加的高频频谱。
1.若 时，采样信号频谱的各频谱分量彼此不发生重叠。
2.若 时，采样信号频谱的各频谱分量彼此相互重叠。
为了准确复现采样的 连续信号，必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，仅仅保留主频谱。 由图可见，相邻两频谱互不重迭的条件是
如果满足条件，采样后的离散信号e*(t)经理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。如果满足条件，采样后的离散信号e*(t)经理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。 倘若ωs <2ωmax ,则会 出现相邻频谱的重叠 现象，这时，即使用 理想滤波器也不能将 主频谱分离出来，因 而就难以准确复现原 有的连续信号。
香农(Shannon)采样定理： 对一个具有有限频谱为 的连续信号采样，当采样频率的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。
实际中应注意两点： （1）如果是以非周期连续函数的信号，即频谱中的最高频率是无限的，采用信号损失允许值来近似处理。 （2）采样定理给出了采样频率的最低限度，但采样频率也不能过大，实现有困难，同时干扰影响也增大。
§7-3 采样信号保持器 实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何把采样信号恢复为原连续信号。 根据采样定理，在满足ωs ≥2 ωmax的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。 保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。
通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。
7.3.1 零阶保持器 零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)恒定不变保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号和输出信号的关系如图。
零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号滞后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号滞后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。
零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号滞后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号滞后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。
零阶保持器具有如下特性： 低通滤波特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比：
在 ω=ωs/2，其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过，从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。
相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随ω的增大而加大，在 ω=ωs/2 时，相角迟后可达－180°，从而使闭环系统的稳定性变差。
时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) 其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统的稳定性不利。
2. 一阶保持器 一阶保持器是一种按线性规律外推的保持器，其外推关系为
假设系统输入为单位阶跃函数，来求一阶保持器的传递函数假设系统输入为单位阶跃函数，来求一阶保持器的传递函数
