1 / 40

DOMINOWANIE W GRAFACH

DOMINOWANIE W GRAFACH. Magdalena Lemańska. Problem pięciu królowych ( 1850 r ). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej?. Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru

waylon
Télécharger la présentation

DOMINOWANIE W GRAFACH

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska

  2. Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru dominującego” o mocy 5.

  3. G=(V,E); V=V(G)- zbiór wierzchołków, |V(G)|=n(G); E=E(G)- zbiór krawędzi. Dla danych wierzchołków x,y grafu G mówimy, że x dominujey, jeśli x=y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkie wierzchołki sąsiednie z wierzchołkiem x. Zbiór DV(G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek ze zbioru V(G)-D w grafie G jest dominowany przez wierzchołek ze zbioru D.

  4. Otwarte sąsiedztwo wierzchołka v: NG(v) – zbiór wszystkich wierzchołków połączonych krawędzią z v; Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v:NG[v]= NG(v)  {v} Otwarte sąsiedztwo zbioru X V: NG(X) =UvX NG(v); Domknięte sąsiedztwo zbioru:NG[X]=NG(X)X. dG(u,v) – odległość międzyu i v - długość najkrótszej (u-v)- ścieżki w G Jest kilka sposobów zdefiniowania zbioru dominującego, każdy z nich ilustruje różne aspekty pojęcia dominowania.

  5. Zbiór DV(G) wierzchołków grafu G=(V,E) jest zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy: (i) dla każdego wierzchołka v  V-D istnieje wierzchołek u  D taki, że v jest sąsiedni do u; (ii) dla każdego wierzchołka v  V-D, dG(v,D) 1; (iii) NG[D]=V; (iv) dla każdego wierzchołka v  V-D, |NG(v)D| 1, czyli każdy wierzchołek v  V-D jest sąsiedni do przynajmniej jednego wierzchołka z D; (v) dla każdego wierzchołka v  V, |NG[v]  D|  1.

  6. Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D’ D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D”  D jest dominujący w G. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D”  D nie jest dominujący.

  7. Twierdzenie 1. Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u  D zachodzi jeden z dwóch warunków: a)u jest izolowany w D; b) istnieje v  V-D, dla którego NG(v)  D = {u}. Niech D - zbiór dominujący i niech u  D. Mówimy, że wierzchołek v jest prywatnym sąsiadem wierzchołka u (w odniesieniu do D), jeśli NG[v]  D = {u}. Zbiór prywatnych sąsiadów wierzchołka u: PN[u,D]={v : NG[v] D = {u}}. u  PN[u,D], jeśli jest izolowany w podgrafie indukowanym G[D], wtedy mówimy, że u jest swoim własnym prywatnym sąsiadem.

  8. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek z D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada. Twierdzenie 2. Każdy spójny graf G rzędu co najmniej dwa posiada zbiór dominujący D, którego dopełnienie V-D też jest zbiorem dominującym. Twierdzenie 3. Jeśli G jest grafem bez wierzchołków izolowanych, to dopełnienie V-D każdego minimalnego zbioru dominującego D jest zbiorem dominującym w G. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu Gi oznaczamy  (G). Moc największego zbioru minimalnego dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania grafu Gi oznaczamy  (G).

  9.  (G)=3  (G)=5 Ograniczenia na liczbę dominowania. Twierdzenie 4 (Ore) Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych, to  (G)  n/2.

  10. Twierdzenie 5. Dla grafu G bez wierzchołków izolowanych, rzędu n, gdzie n jest parzyste,  (G) = n/2 wtedy i tylko wtedy, gdy składowymi grafu G są cykl C4albo korona HK1dla dowolnego grafu spójnego H. Korona dwóch grafów G1 i G2 jest to graf G = G1 G2 powstały z jednej kopii G1 oraz |V(G1)| kopii G2 gdzie i-ty wierzchołek G1 jest sąsiedni do każdego wierzchołka w i-tej kopii G2. W szczególności, G = HK1 jest grafem powstałym z kopii H gdzie do każdego wierzchołka v  V(H) dodajemy nowy wierzchołek v’ i krawędź wiszącą vv’.

  11. Twierdzenie 6. Dla każdego grafu G,  (G)  n - (G). Podział krawędzi uv w grafie G otrzymujemy przez usunięcie krawędzi uv, dodanie nowego wierzchołka w oraz dodanie krawędzi uw i vw. Ranny pająk jest to graf powstały przez podział co najwyżej t-1 krawędzi gwiazdy K1,tdla t  0. Twierdzenie 7. Dla każdego drzewa T,  (T) = n - (T) wtedy i tylko wtedy, gdy T jest rannym pająkiem. Twierdzenie 8. Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych oraz diam(G)  3, to  (Gd) = 2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G. Twierdzenie 9. Jeśli  (Gd)  3, to diam(G)  2.

  12. Obwód grafu G, ozn. g(G) jest to długość najkrótszego cyklu w G (jeśli graf posiada cykl). • Twierdzenie 10. Dla każdego grafu G, • jeśli g(G)  5, to  (G) (G), • jeśli g(G)  6, to  (G) 2((G)-1). Zbiory niezależne. Niech i(G) oznacza moc najmniejszego maksymalnego zbioru niezależnego w grafie G; 0 – moc największego zbioru niezależnego w G.

  13. Drzewo T ma zbiory maksymalne niezależne o trzech rozmiarach. 0(T)=5 i(T)=3

  14. Twierdzenie 11. Niezależny zbiór S jest maksymalny niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezależny i dominujący. Wniosek: Każdy zbiór maksymalny niezależny jest zbiorem dominującym. Zbiory dominujące. Drzewo T ma zbiory minimalne dominujące o czterech rozmiarach.  (T)=2  (T)=5

  15. Twierdzenie 12. Każdy zbiór maksymalny niezależny w G jest minimalnym zbiorem dominującym w G. Wniosek: Dla każdego grafu G,  (G)  i(G) 0(G)   (G). Zbiory nienadmierne. Możemy powiedzieć, że zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy: (*) dla każdego wierzchołka v  D, istnieje wierzchołek w  V-(D-{v}), który nie jest dominowany przez D-{v}. Warunek (*) można wyrazić w języku „prywatnych sąsiadów”.

  16. PN[4,D]={1,2,3,4} PN[6,D]={6} PN[7,D]={7} PN[v,D]=NG[v]-NG[D-{v}] W warunku (*) wierzchołek w musi być prywatnym sąsiadem wierzchołka v w odniesieniu do D (możliwe jest w=v). (**) zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v  D, PN[v,D] , czyli każdy wierzchołek v  D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.

  17. Jeśli jest spełniony warunek (**), to mówimy, że zbiór D jest zbiorem nienadmiernym. Twierdzenie 13. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy jest dominujący i nienadmierny. Rozważmy maksymalne zbiory nienadmierne w grafie G. Zbiór nienadmierny S jest maksymalny nienadmierny, jeśli dla każdego wierzchołka u  V-S, zbiór S  {u} nie jest nienadmierny, czyli istnieje przynajmniej jeden wierzchołek w S  {u}, który nie ma prywatnego sąsiada. W takim razie, nienadmierny zbiór S jest maksymalny nienadmierny, jeśli zachodzi następujący warunek: (***) dla każdego wierzchołka w  V-S istnieje wierzchołek v  S  {w}, dla którego PN[v,S  {w}] =  .

  18. Moc najmniejszego zbioru maksymalnego nienadmiernego w G oznaczamy ir(G) i nazywamy liczbą nienadmierności. Moc największego zbioru nienadmiernego w G oznaczamy IR(G) i nazywamy górną liczbą nienadmierności. Na czerwono zaznaczone są zbiory maksymalne nienadmierne. ir(G)=2 IR(G)=3

  19. Twierdzenie 14. Każdy zbiór minimalny dominujący w G jest zbiorem maksymalnym nienadmiernym w G. Twierdzenie 15. Dla każdego grafu G, ir(G)  (G)  i(G) 0(G)   (G)  IR(G) .  (G)=5 ir(G)=4

  20. Twierdzenie 16. Dla każdego grafu G,  (G)/2 < ir(G)   (G)  2ir(G)-1. Twierdzenie 17. Dla każdego grafu G, IR(G)  n -  (G). Inne rodzaje dominowania. Oprócz dominowania, rozważa się dodatkowe własności zbiorów wierzchołków, rozważając własności podgrafów indukowanych przez te zbiory.

  21. Dominowanie spójne (Sampathkumar, Walikar, 1979) Zbiór dominujący D nazywamy zbiorem spójnie dominującym, jeśli D jest dominujący i G[D] jest spójny. Moc najmniejszego zbioru spójnie dominującego w G nazywamy liczbą dominowania spójnego grafu G i oznaczamy c (G). Każdy zbiór spójnie dominujący jest dominujący, więc dla każdego grafu spójnego G mamy  (G)  c (G). Twierdzenie 18. W każdym grafie spójnym G istnieje zbiór spójnie dominujący S taki, że |S| 20(G) – 1. Wniosek: Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 20(G) – 1.

  22. Twierdzenie 19.(Duchet, Meyniel) Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 3 (G)-2. Lemat 20. Jeśli w grafie spójnym G istnieje najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest zbiorem niezależnym, to ir(G) =  (G) = i(G). Twierdzenie 21. Jeśli G jest spójny, to ir(G) c (G)  3ir (G)- 2. Wniosek: Jeśli G jest spójny, to c (G)  3i (G)- 2. Nierówności są najlepsze z możliwych. Przedstawimy przykłady, dla których zachodzą równości. Twierdzenie 22. Jeśli G jest grafem, który nie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafów indukowanych, to ir(G) =  (G) = i(G).

  23. A-L- graf Przykład 1. Dla dowolnej liczby naturalnej p rozważmy graf G=C3p. W takim grafie c (C3p) = 3p-2. Zbiór D, do którego należy co trzeci wierzchołek cyklu jest niezależnym zbiorem nienadmiernym i dominującym, |D|=p. Widać, że taki grafnie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafu indukowanego, więc ir(C3p) =  (C3p) = i(C3p)= p.

  24. Przykład 2. Dla dowolnych liczb naturalnych s i t rozważmy graf H otrzymany przez utożsamienie ze sobą jednego z wierzchołków każdego z cykli C3s,C3t . W takim grafie jest 3(s+t)-1 wierzchołków oraz c(H) = 3(s+t)-5. W grafie tym znajdziemy najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest również zbiorem niezależnym (do zbioru tego musi należeć wierzchołek powstały przez utożsamienie), wiec zgodnie z lematem 20 mamy ir(H) = (H) = i(H) = s + t – 1. Na rysunku jest przedstawiony graf G, dla którego s = t = 2, a wierzchołek v z jednego cyklu jest utożsamiony z wierzchołkiem u z drugiego. Widać, ze ilość wierzchołków w tym grafie n = 11; c (G) =3(2 + 2) - 5 = 7; ir(G) =  (G) = i(G) = 2 + 2 - 1 = 3.

  25. Z łańcucha dominowania oraz z tego, żec (G) 20(G) – 1wynika również, żec (G) 2 (G) – 1orazc (G) 2IR(G) – 1Ograniczenia te sa najlepsze z możliwych.Na przykład w cyklu C5mamy 0 (C5) =  (C5) = IR(C5) = 2; c (C5) = 3. (Sampathkumar, Walikar) Dla każdego spójnego podgrafu spinającego H grafu G mamy c (H)  c (G). Dla każdego grafu spójnego G istnieje drzewo spinające T grafu G takie, żec (G) = c (T) = n(G) – n1(T), gdzie n1 oznacza ilość wierzchołków końcowych w T. Drzewo to ma największą z możliwych ilość wierzchołków końcowych.

  26. Twierdzenie 23.Dla każdego grafu spójnegoGznwierzchołkami zachodzi równośćc (G)+ (G)= n, gdzie  (G)oznacza największą ilość wierzchołków końcowych w drzewie spinającym grafuG. Twierdzenie 24.Dla każdego grafu spójnegoGz nwierzchołkami i największym stopniem wierzchołka(G) zachodzi nierówność c (G)  n - (G). W roku 1956 E.A. Nordhaus oraz J.W. Gaddum znaleźli ograniczenia dla sumy i iloczynu liczb chromatycznych grafu G i jego dopełnienia Gd: (G)+ (Gd)  n+1, n  (G)(Gd) (n+1)(n+1)/4

  27. Podobnych ograniczeń szuka się również dla różnych liczb dominowania. Ogólnie zagadnienia typu Nordhausa-Gadduma polegają na znalezieniu podobnych ograniczeń dla sumy i iloczynu pewnego niezmiennika grafu G i tego samego niezmiennika dopełnienia Gd grafu G. Hedetniemi i Laskar znaleźli górne ograniczenie dla sumy liczb spójnego dominowania dla grafu G i jego dopełnienia. Twierdzenie 25.JeśliGi jego dopełnienieGdsą spójne, to c (G)+ c (Gd)  n+1. Twierdzenie 26.Dla każdego drzewaTz co najmniej dwoma wierzchołkami, różnego od gwiazdy, mamy c (T)+ c (Td)  n.

  28. Dominowanie wypukłe i słabo wypukłe. (prof. Topp) Zbiór XV jest wypukły w G, jeśli wszystkie wierzchołki każdej najkrótszej (x-y)-ścieżki należą do X dla każdych x,y należących do zbioru X. Zbiór XV nazywamy słabo wypukłym w G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków x,y należących do zbioru X istnieje najkrótsza (x-y)-ścieżka, której wierzchołki należą do X. Liczba dominowania słabo wypukłego w G, oznaczana wcon(G), jest to moc najmniejszego zbioru słabo wypukłego dominującego w G, natomiast liczba dominowania wypukłego w G, oznaczana con(G), jest to moc najmniejszego zbioru wypukłego w G.

  29. Dominowanie spójne: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie słabo wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje najkrótsza(u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, wierzchołki ze wszystkich najkrótszych (u-v)- ścieżek należą do D.

  30. Lemat 27 Dla każdej liczby naturalnej n 7 i dla każdej liczby naturalnej k, 7k  n, istnieje graf G rzędu n taki, że con(G)= wcon(G) = k. Obserwacja 28: Dla każdego grafu spójnego G jest (G) c(G)  wcon(G)  con(G). Twierdzenie29 Dla dowolnych k,r N, r 3, istnieje graf G taki, że c(G) - wcon(G) = r oraz con(G) - c(G) = con(G) - wcon(G) =k. Twierdzenie 30 Każda z różnic con(G) - 0 oraz con(G) -  może być dowolnie duża. Twierdzenie 31 Jeśli G jest spójny, nie posiada wierzchołków końcowychoraz nie istnieje w G cykl indukowany długości mniejszej niż 6, to con(G) = n.

  31. Niech G  H będzie iloczynem kartezjańskim grafów spójnych G i H. Dla zbioru D V(G  H ) oznaczmy: DG = {u V(G): (u,v)  D dla pewnego v V(H)}; DH = {u V(H): (u,v)  D dla pewnego v V(G)}. Hipoteza Vizinga:Dla każdych dwóch grafów G, H jest (G) (H)   (G  H ) Twierdzenie 32(Canoy, Garces) Zbiór D V(G  H ) jest wypukły w G  H wtedy i tylko wtedy, gdy D=DG DH, gdzie DG jest wypukły w G i DHjest wypukły w H. Twierdzenie 33 Jeśli D jest dominujący w G  H, to DG jest dominujący w G i DH jest dominujący w H. Twierdzenie 34 Dla dowolnych grafów spójnych G i H jest con(G) con(H)  con(G H).

  32. Dominowanie słabo spójne (Dunbar, Grossman, Hedetniemi, Hatting, 1997) Podgraf słabo indukowany przez D  V(G)- graf G[D]w=(NG[D],Ew);e Ewjeśli e ma przynajmniej jeden koniec w D; D  V(G) – zbiór słabo spójny dominujący, jeśli D jest dominujący oraz G[D]w (<D>w) jest spójny; Liczba dominowania słabo spójnego grafu G, ozn. w(G)- moc najmniejszego zbioru słabo spójnego dominującego w G.

  33. G[D]w = (NG[D], Ew)

  34. Równości między liczbami dominowania.

More Related