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第 2 章 Maxwell 方程式

第 2 章 Maxwell 方程式. 綱要. 2-1 力線和場 (Line of Force and Field) 2-2 Gauss 定律， Faraday 定律和 Ampère 定律 2-3 Maxwell 方程式 △ 2-4 介電質、極化和電位移 (Dielectrics 、 Polarization 、 Electric Displacement) △2-5 磁化、磁場強度 2-6 Maxwell 方程式在一般物質中的形式 2-7 邊界條件 (Boundary Conditions) 2-8 電磁功率的守恆

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第 2 章 Maxwell 方程式

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  1. 第2章Maxwell方程式

  2. 綱要 • 2-1 力線和場(Line of Force and Field) • 2-2 Gauss定律，Faraday定律和Ampère定律 • 2-3 Maxwell方程式 • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement) • △2-5 磁化、磁場強度 • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆 • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式

  3. Maxwell方程式 • 經管一切電磁現象的基本規則 • 描述電場和磁場間的關係 • 以力線和場的觀念為基礎

  4. 綱要 • 2-1 力線和場(Line of Force and Field) • 2-2 Gauss定律，Faraday定律和Ampère定律 • 2-3 Maxwell方程式 • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement) • △2-5 磁化、磁場強度 • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆 • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式

  5. 超距力觀念 • 電力、磁力曾被視為超距力 • 超距力可以穿越空間的距離，立刻產生作用 • 在靜電學和靜磁學中可接受 • 電流如果發生變化，它對外界帶電體或磁針的影響，必然不是立即的 • 否則訊號傳遞的速率變成無窮大 • 因此超距力觀念不適用 • 被Faraday的力線和場概念取代

  6. 磁力線與靜磁場概念 • 條形磁鐵四週灑鐵屑 • 磁力線 • 鐵屑形成的線 • 任一點鐵屑所受磁力一定沿線的切線方向 • 愈密的地方，對鐵屑的吸力愈強 • 靜磁場 • 磁力線分佈的空間函數 • 代表磁鐵在各處對鐵屑的吸引力 條形磁鐵的磁力線分佈

  7. 電力線與靜電場概念 • 電力線 • 以單位正電荷(檢驗電荷)，放入帶電體附近 • 量出測試電荷在各處受力的方向，可以畫出一條一條的電力線 • 電力線的分佈 • 代表測試電荷在各處所受的靜電力 • 是空間的函數，可以稱為靜電場

  8. 電力線與電場的波動 • 假設帶電體的電荷分佈發生變化 • 電力線的分佈(電場)會隨之改變 • 這種改變不如超距力想法所預測那樣立刻影響空間各點 • 反而以一種波動的形式把電荷改變發生的影響，依次送到各處去 • 就像傳輸線把波源的變化以波動形式傳播出去一樣 • 經Hertz的實驗證實

  9. 流線與電力線、磁力線 • 流線 • 追蹤流體粒子的流動狀況所得的軌跡 • 電力線、磁力線 • 非常像流體力學中的流線 • 可以想像上面也有類似流體粒子在流(實際沒有) • 這種想像可幫助我們寫下Maxwell方程式 • Maxwell方程式 • 電磁學的基本假設 • 需要相當多的向量分析知識[附錄B]

  10. 綱要 • 2-1 力線和場(Line of Force and Field) • 2-2 Gauss定律，Faraday定律和Ampère定律 • 2-3 Maxwell方程式 • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement) • △2-5 磁化、磁場強度 • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆 • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式

  11. 電通量(Electrical Flux) • 假想在電力線上有某種東西在流動 • 每條線上的這種東西都一樣多 • 設想這種假想物由正電荷流出，流入負電荷 • 空間中做一個假想的封閉曲面S • S流出的假想物總量稱為流出S的電通量

  12. 電荷與電通量 • 假設電力線密度和電力大小有關 • 所帶的電荷愈多，電力愈強，電力線愈密 • 假設由帶電體流出的假想物之量與帶電量成正比 • 封閉曲面S外的電荷所造成的電力線在S上一出一入，對電通量沒有貢獻 • 流出任意封閉曲面S的電通量 和所包住的電荷量成正比

  13. 電場強度與電通量密度 • 電場強度(Electric Field Strength) • 簡稱電場(Electric Field) • 單位正電荷(檢驗電荷)所受的電力 • 與對應位置的電力線密度有關，假設成正比 • 電通量密度(Electric Flux Density) • 與電力線密度成正比 • 假設為 • 通過假想曲面S的電通量，依通量(Flux)定義，有

  14. Gauss定律 • 採MKS制單位 • 電荷：庫倫(Coulomb) • ：電力線根數(設每線上流動之假想物均為1單位) • 真空介電常數(Permitivity) • ≒8.854 ≒ (F/m) • 由實驗決定 • F/m為電容MKS單位(Farad除以公尺)

  15. 磁通量的Gauss定律 • 仿照電通量的做法 • 假設磁通量 的通量密度為 • 目前尚無人發現有磁單極存在 • 磁極必成對出現而使任意封閉面曲面S內產生的磁通量相消

  16. Faraday定律 • 實驗顯示 斷點處產生的電壓等於通過S之磁通量的減少速率 • 是單位正電荷繞 一圈時電場所做的功 曲面S及其邊界 Faraday定律

  17. Ampère定律 • Ampère整理Orsted的實驗結果，推論電流可以產生磁場 • 並且構思一種數學的表示法來記述他的結論 • 以今天的向量符號表示，即 • I代表穿過S的電流， 代表電流密度(Current Density)

  18. 磁通量密度 的相關單位 • 磁通量密度的單位：Weber/m2 • Weber • 一“根”磁力線上流動假想物之量 • 電流I的單位：安培Ampère (簡記為A) • 比例常數 (H/m) • H/m代表電感單位Henry除以公尺 • 常見磁通量密度大小 • 1 Gauss = Weber/m2 • 地磁：大約 Weber/m2 (0.5 Gauss ) • 馬蹄形磁鐵：約為1Weber/m2 (10,000 Gauss)

  19. 綱要 • 2-1 力線和場(Line of Force and Field) • 2-2 Gauss定律，Faraday定律和Ampère定律 • 2-3 Maxwell方程式 • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement) • △2-5 磁化、磁場強度 • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆 • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式

  20. 散度定理(Divergence Theorem)與Stokes定理 • 散度定理 • Stokes定理 封閉曲面S與所包圍的體積V 曲面S及其邊界曲線

  21. Gauss定律、Faraday定律、 Ampère定律 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) (積分形式) (微分形式)

  22. 電荷守恆 流出S的電流 (單位時間流出的電荷) 所含電荷的減少率 (單位時間減少的電荷) 微分形式

  23. Ampère定律與電荷守恆的矛盾 • 向量恆等式 • Ampère定律 • 電荷守恆

  24. 位移電流(Displacement Current) • Maxwell判斷電荷守恆式比較基本 • 必須另加一項 到Ampère定律右方 • 位移電流： • 位移電流密度： • 滿足 及電荷守恆 • 因 故令

  25. 修正Ampère定律 • 積分形式 • 微分形式

  26. Maxwell方程式 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) (積分形式) (微分形式)

  27. Maxwell方程式的方程式數 • 四個方程式 • 兩個向量方程式 • 兩個純量方程式 • 一共8個純量的聯立微分方程式 • 兩個散度的方程式可以由兩個旋度的方程式加上電荷守恆推得 • 實際上只要運用兩個旋度方程式 • 一共六個純量聯立微分方程式 • 正好解 和 的六個分量

  28. 位移電流說明例 • 不考慮傳輸線的效應 • 電流由電源流出將電容器充電 • 比較由電荷守恆求出的導線中電流與電容器中的位移電流 電容器的充放電電路

  29. 位移電流說明例解答 電容器上所帶的電量已知為 電荷守恆，電容器所帶電量的變化必來自導線上的電流 ， 電容器中的電場強度 位移電流密度 位移電流

  30. 位移電流說明例解答的物理意義 • 兩圖中 為同一個積分 • P同時為S和S’的邊界 • 通過S的電流為I • 通過S’的只有位移電流 • 通過S和S‘的電流必須相同，都對應 • 因此 通過電容的位移電流 (曲面S在電容外， 曲面S’包入兩片電容板中的一片)

  31. 綱要 • 2-1 力線和場(Line of Force and Field) • 2-2 Gauss定律，Faraday定律和Ampère定律 • 2-3 Maxwell方程式 • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement) • △2-5 磁化、磁場強度 • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆 • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式

  32. 導體與介電質 • 導體(Conductor) • 在電場 中，物質內電流為 (Ohm定律)形式 • 介電質(Dielectric，或絕緣體Insulator) • 全無Ohm電流 • 一般的物質多半介於二者之間

  33. 極化(Polarization) • 極化現象 • 物質組成之原子、分子、離子在電場中時，帶電的粒子偏離原來的位置造成偶極矩(Dipole) • 分類 • 電子雲偏移造成的極化 • 離子偏移造成的極化 • 極性分子旋轉重排造成的極化 電子雲極化 偶極矩 離子偏移極化 極性分子極化

  34. 極化電荷(Polarization Charge) • 單位體積內具有的偶極矩為 • 假如 各處並非均勻，則某些地方會有多餘電荷產生 • 稱極化電荷或被拘束電荷(Bounded Charge) • 只存在於物質內 偶極矩 均勻及不均勻極化

  35. 極化電荷密度推導：步驟1~5 • 偶極矩的方向由負電荷指向正電荷 • 作一封閉曲面S，包住體積V • 若同一偶極兩端之正負電荷均在V內，偶極矩向量不會穿過S • 若同一偶極矩負電荷均在內，正電荷被屏於S之外，則造成V內有多餘負電荷，偶極矩向量向外穿過S • 若同一偶極矩正電荷在內，負電荷在外，偶極矩向量向內穿過S 偶極矩 均勻及不均勻極化

  36. 極化電荷密度推導：步驟6~7 V內多餘之電荷總量 等於向內穿過S的偶極矩總和 極化電荷密度 均勻及不均勻極化

  37. 介電質內的Gauss定律 • 自由電荷(Free Charge) 、 • 在真空中一樣可以存在 • 和 對電力線都有貢獻 積分形式 微分形式

  38. 電位移(Electric Displacement) • 電位移 • 產生的電通量 • 把可以如此移來移去的自由電荷(以及其造成的電通量)叫做電位移 • 電位移密度(也簡稱電位移) 將帶電金屬球放入另一中空金屬球中，不論中空的地方填塞何種物質， 中空球的外側便會帶上同量的電荷， 此時再將原先帶的球移去，看起來 就像是裏頭的自由電荷 移到 外球一樣

  39. 介電質內的Ampère定律 • 極化電流 • 極化電荷也必須要守恆 • 極化電荷改變將會造成極化電流 • 也該出現在Ampère定律中

  40. 引用電位移 的好處 • 統一各種物質中Gauss定律和Ampère定律的形式 • 各種物質的特性都包含在 裏

  41. 介電係數(Dielectric Constant) • 大部份物質其 和 同向 • 電漿(Plasma)中可能反向 • 介電常數(Permittivity) ： • 相對介電常數(介電係數) ： • 典型介電係數 • 氣體： • 固體或液體 ： 在1至10之間(酒精25～30，水約80是例外)

  42. 鐵電性物質(Ferroelectric) • 鐵電性物質 • 如Rochelle Salt，Barium Titanate • 外加電場移去後，極化現象仍未完全消除，有如鐵磁性物質中的磁滯現象(Hysteresis) • 說明見下節

  43. 壓電效應(Piezoelectric Effect)與Electrets • 壓電效應 • 如石英(Quartz)等晶體，外加壓力可產生極化現象 • 也可以外加電場使之極化，該物質即會產生壓力變化，發生某特定頻率的振動 • 石英錶為其應用之一 • Electrets • 具有永久極化特性 • 有如永久磁鐵，但產生的是電場

  44. 各向異性(Anisotropic)與各向同性(Isotropic) • 各向異性 • 介電質本身構造的對稱性使它在某些方向比較容易極化，某些方向則否 • 各向同性 • 和 同向(或反向)

  45. 線性與均勻各向同性介電質 • 線性(Linear) • 與電場大小無關，因此 和 成線性關係 • 反之即為非線性(Non-linear) • 均勻(Homogeneous) • 在該物質中各處均相同 • 本課程處理的介電質全是線性、均勻、各向同性的介電質

  46. 綱要 • 2-1 力線和場(Line of Force and Field) • 2-2 Gauss定律，Faraday定律和Ampère定律 • 2-3 Maxwell方程式 • △ 2-4 介電質、極化和電位移(Dielectrics、Polarization、Electric Displacement) • △2-5 磁化、磁場強度 • 2-6 Maxwell方程式在一般物質中的形式 • 2-7 邊界條件(Boundary Conditions) • 2-8 電磁功率的守恆 • 2-9 Maxwell方程式在時諧問題中的形式

  47. 物質存在對磁通密度的影響 • 原子、分子、離子之中的電荷運動會造成電流，使磁場分佈受其影響 • 帶電基本粒子運動的圈圈半徑頂多是1Å的數量級，可看成小迴圈電流 • 小迴圈電流I造成的磁場只和 有關 • a是迴圈圍成的面積，而 是它的單位法向量，方向由右手定則決定 • 構成磁偶極

  48. 磁偶極(Magnetic Dipole) • 造成的靜磁場與距離立方成反比 • 與電偶極 造成立方反比靜電場很相似 • 可以仿照處理介電質中電偶極的步驟來處理物質中的磁偶極 I 小迴圈電流造成的磁偶極

  49. 物質內磁偶極的成因 • 電子在軌道上的運動 • 外界磁通量發生改變時，電子會改變它的速率(即改變電流)，以抗拒此種磁通量的改變 • 電子本身的自轉(Spin) • 外界的磁場只能改變它的方向 • 類似極性分子天生具有的電偶極 • 其他基本粒子的自轉 • 效應甚微，可以略去

  50. 磁化電流(Magnetization Current) • 磁化密度(Magnetization Density) • 物質中，每單位體積所含的磁偶極之和 • 均勻磁化時沒有“過剩”電流產生 • 反之，則各點電流不為零，稱為磁化電流 均勻磁化 不均勻磁化產生磁化電流

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