Pesquisa Operacional Max Vinicius Bedeschi – CRE 6849

1. Pesquisa Operacional Max Vinicius Bedeschi – CRE 6849

2. Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. Sistema Organizado com o auxílio de um modelo. Experimentação modelar com fins de otimização da operação do sistema.

3. Fases de um Estudo em P.O. • Formulação do problema • Construção do modelo do sistema • Cálculo da solução através do modelo • Teste do modelo e da solução • Estabelecimento de controles da solução • Implantação e acompanhamento

4. Formulação do Problema Nesta fase, o administrador do sistema e o responsável pelo estudo em P.O. deverão discutir, no sentido de colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra. Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e as relações desse sistema com outros da empresa ou do ambiente externo, com a finalidade de criticar a validade de possíveis soluções em face destes obstáculos. Deverá ainda ser acordada uma medida de eficiência para o sistema que permita ao administrador ordenar as soluções encontradas, concluindo o processo decisório.

5. Construção do Modelo do Sistema • Os modelos que interessam em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto de equações e inequações. • Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos: • Variáveis controladas ou de decisão. • Variáveis não controladas.

6. Variáveis controladas ou de decisão são variáveis cujo valor está sob controle do administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar. Variáveis não controladas são as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são variáveis não controladas.

7. Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. Um bom modelo para um objetivo pode ser péssimo para outro. A fidelidade de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar o desempenho de um modelo.

8. Cálculo da solução através do modelo É feito através de técnicas matemáticas específicas. A construção do modelo deve levar em consideração a disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução.

9. Teste do modelo e da solução Esse teste é realizado com dados empíricos do sistema. Se houver dados históricos, eles serão aplicados no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao desempenho observado no sistema. Se o desvio verificado não for aceitável, a reformulação ou mesmo o abandono do modelo será inevitável. Caso não haja dados históricos, os dados empíricos serão anotados com o sistema funcionando sem interferência, até que o teste possa ser realizado.

10. Estabelecimento de controles da solução A construção e experimentação com o modelo identificam parâmetros fundamentais para solução do problema. Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser controlada para garantir a validade da solução adotada. Caso alguns desses parâmetros sofra desvio além do permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária.

11. Implementação e acompanhamento Nesta fase, a solução será apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a compreensão e gera boa vontade para a implantação que está sendo sugerida. Essa implantação deve ser acompanhada para se observar o comportamento do sistema com a solução adotada. Algum ajuste pode ser requerido.

12. Modelo em Programação Linear O modelo matemático é composto de uma função objetiva linear; e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares. Exemplo: Função objetivo a ser maximizada: Lucro =

13. Restrições técnicas: Restrições de não negatividade:

14. As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2 A função objetivo ou função eficiência mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para cada solução apresentada. O objetivo é maximizar o lucro. As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema. As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de programação linear.

15. Roteirização • Variáveis de decisão? • Objetivo? • Restrições?

16. Quais as variáveis de decisão? Problema Variáveis de decisão Programação de produção Quantidades a produzir no período Programação de investimento Decisões de investimento Nas descrições sumárias de sistemas, isso fica claro quando lemos a questão proposta, isto é, a pergunta do problema.

17. Quais o objetivo? Identificar o objetivo da tomada de decisão. Eles aparecem geralmente na forma da maximização de lucros ou receitas, minimização de custos, perdas, etc. A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, custo receita, perda, etc.), em função das variáveis de decisão.

18. Quais as restrições? Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão.

19. Exemplo 1: Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso.

20. Solução: • Quais as variáveis de decisão? • O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. • Portanto, as variáveis de decisão serão X1 e X2 • X1 quantidade anual a produzir de P1 • X2  quantidade anual a produzir de P2

21. b) Qual o objetivo? O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P1: 1000 . X1 (lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1) Lucro devido a P2: 1800 . X2 (lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2) Lucro total: L = 1000X1 + 1800X2 Objetivo: maximizar L = 1000X1 + 1800X2

22. c) Quais as restrições? As restrições impostas pelo sistema são: Disponibilidade de horas para a produção: 1200 horas. Horas ocupadas com P1: 20X1 (uso por unidade x quantidade produzida) Horas ocupadas com P2: 30X2 (uso por unidade x quantidade produzida) Total em horas ocupadas na produção:20X1 + 30X2 Disponibilidade: 1200 horas. Restrição descritiva da situação: 20X1 + 30X2≤ 1200

23. Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda) Disponibilidade para P1: 40 unidades Quantidade a produzir de P1: X1 Restrição descritiva da situação X1≤ 40 Disponibilidade para P2: 30 unidades Quantidade a produzir de P2: X2 Restrição descritiva da situação: X2 ≤ 30

24. Resumo do modelo: max L = 1000X1 + 1800X2 Sujeito a: Restrições técnicas: Restrições de não negatividade:

25. Exemplo 2: Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias.

26. Solução: • Quais as variáveis de decisão? • Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. As variáveis de decisão serão, portanto: • X1  quantidade de carne a consumir no dia • X2  quantidade de ovos a consumir no dia

27. b. Qual o objetivo? O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado: Custo devido à carne: 3 . X1 (custo por unidade x quantidade a consumir de carne) Custo devido aos ovos: 2,5 . X2 (custo por unidade x quantidade a consumir de ovos) Custo Total: C = 3X1 + 2,5X2 Objetivo:minimiza C = 3X1 + 2,5X2

28. c. Quais as restrições? As restrições impostas pelo sistema são: Necessidade mínima de vitamina: 32 unidades Vitaminas de carne: 4 . X1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) Vitamina de ovos: 8 . X2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) Total de vitaminas: 4X1 + 8X2 Necessidade mínima: 32 Restrição descritiva da situação: 4X1 + 8X2≥ 32

29. Necessidade mínima de proteína: 36 unidades Proteína de carne: 6 . X1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) Proteína de ovos: 6 . X2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) Total de proteínas: 6X1 + 6X2 Necessidade mínima: 36 Restrição descritiva da situação: 6X1 + 6X2≥ 36

30. Resumo do modelo: min C = 3X1 + 2,5 X2 Sujeito a: Restrições técnicas: Restrições de não negatividade:

31. FUNÇÃO OBJETIVO: MAXIMIZAÇÃO Problema de Max Vinicius Bedeschi CRE 6859

32. EXEMPLO Uma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina Ms. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto à demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições desse enunciado.

33. Variáveis de decisão A e B Os dois produtos a serem fabricados X1 (quantidades do produto A) X2 (quantidades do produto B) § Hipótese: toda a produção será vendida

35. Função objetivo Vamos chamar de x e y, respectivamente, às quantidades dos produtos A e B que devemos fabricar (as quais serão vendidas integralmente). Portanto, x e y são os valores procurados, que darão a solução ao nosso problema de programação linear. Queremos maximizar o lucro na venda de x unidades de A e y unidades de B, ou seja, queremos maximizar o resultado numérico da seguinte expressão: 80x + 60y

36. Restrições As restrições dizem respeito à escassez de recursos, por um lado, e a limites impostos sobre nossas ações na tentativa de maximiza a função objetivo. Quais são os nossos recursos escassos? Horas consumidas na máquina M1 ≤ 24 Horas consumidas na máquina M2 ≤ 16

37. Horas consumidas na máquina M1 = 4x + 6y Horas consumidas na máquina M2 = 4x + 2y Reescrevendo, temos: 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16

38. Restrições Não se pode fabricar mais de 3 unidades do produto B, pois sua demanda máxima é essa: y ≤ 3 Restrições de não-negatividade X ≥ 0; Y ≥ 0

39. Formulação completa Maximizar 80x + 60y Sujeito a: 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16 y ≤ 3 X ≥ 0; Y ≥ 0

40. A solução do problema nos dá: x=3 e y=2 O valor da função objetivo é máximo e igual a 80(3) + 60(2) = 240 + 120 = R$360,00 Repare o leitor que os recursos disponíveis são totalmente consumidos, pois: 4(3) + 6(2) = 12 + 12 = 24 (horas consumidas da máquina M1) 4(3) + 2(2) = 12 + 4 = 16 (horas consumidas da máquina M2)

41. FUNÇÃO OBJETIVO: MINIMIZAÇÃO Problema de Max Vinicius Bedeschi CRE 6859

42. EXEMPLO A Granja Cocoró quer misturar dois tipos de alimentos para criar um tipo especial de ração para suas galinhas poedeiras. A primeira característica a ser atingida com a nova raçção e o menor preço possível por unidade de peso. Cada um dos alimentos contém os nutrientes necessários à ração final (aqui chamados de nutrientes X, Y e Z), porém em proporções variáveis. Cada 100g do alimento 1, por exemplo, possuem 10g do nutriente X, 50g do nutriente Y e 40g do nutriente Z. O alimento 2, por sua vez, para cada 100g, possui 20g do nutriente X, 60g do nutriente Y e 20g do nutriente Z. Cada 100g do alimento 1 custam, para a Granja Cocoró, R$0,60 e cada 100g do alimento 2 custam R$0,60. Sabe-se que a ração final deve conter, no mínimo, 2g do nutriente X, 64g do nutriente Y e 34g do nutriente Z. É preciso obedecer a essa composição, minimizando ao mesmo tempo o custo por peso da nova ração.

43. O objetivo é misturar dois alimentos, Alimento 1 e Alimento 2, de forma a obter uma nova ração, com uma certa composição de nutrientes X, Y e Z. Os nutrientes estão presentes nos dois alimentos. Nossa ração final será uma mistura dos dois alimentos – digamos, x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2. Portanto: X e Y são nossas variáveis de decisão.

45. Função objetivo Nosso problema é de minimização, ou seja, devemos usar x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2 para compor (x + y) gramas da nova ração, e x e y devem ser tais que seu custo total seja mínimo. Ora, cada 100 gramas do Alimento 1 custam R$0,60; um só grama custaria 0,60/100 e x gramas custariam 0,60x/100, ou 0,006x. Usando o mesmo raciocínio para o Alimento 2, y gramas custariam 0,008y. Logo, quer-se minimizar 0,006x + 0,008y

46. Restrições • A quantidade total do nutriente X, em x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2, deve ser pelo menos igual a 2 gramas; • A quantidade total do nutriente Y, em x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2, deve ser pelo menos igual a 64 gramas; • A quantidade total do nutriente Z, em x gramas do Alimento 1 e y gramas do Alimento 2, deve ser pelo menos igual a 34 gramas.

47. x gramas do Alimento 1 contêm, respectivamente, 10x/100 gramas do nutriente X, ou 0,1x gramas do nutriente X 40x/100 gramas do nutriente Y, ou 0,4x gramas do nutriente Y 50x/100 gramas do nutriente Z, ou 0,5x gramas do nutriente Z Enquanto y gramas do Alimento 2 contêm 20y/100 gramas do nutriente X, ou 0,2y gramas do nutriente X 60y/100 gramas do nutriente Y, ou 0,6y gramas do nutriente Y 20y/100 gramas do nutriente Z, ou 0,2y gramas do nutriente Z

48. Reescrevendo, temos: Quantidade total do nutriente X: 0,1x + 0,2y ≥ 2 Quantidade total do nutriente Y: 0,4x + 0,6y ≥ 64 Quantidade total do nutriente Z: 0,5x + 0,2y ≥ 34

49. Formulação completa Maximizar 0,006x + 0,008y Sujeito a: 0,1x + 0,2y ≥ 2 0,4x + 0,6y ≥ 64 0,5x + 0,2y ≥ 34 X ≥ 0; Y ≥ 0

50. A solução do problema nos dá: x=34,5 gramas y=83,6 gramas Essas quantidades, correspondem a exatamente 64 gramas do nutriente Y e 34 gramas do nutriente Z e, com folga, a 20,1 gramas do nutriente X. A soma (x + y) é igual a 118,1 gramas, formados por 20,1g do nutriente X, 64g do nutriente Y e 34g do nutriente Z. Corresponde a um custo de R$0,88. Na verdade, as quantidades de x e de y correspondem a uma proporção, que pode ser escrita de inúmeras formas, tais como: 34,5g do alimento 1 para 83,6g do Alimento 2 1g do Alimento 1 para 2,4g do Alimento 2 100g do Alimento 1 para 240g do Alimento 2 etc.