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Komplexität und Phasenübergänge

Komplexität und Phasenübergänge. Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann. Komplexität. Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem

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Komplexität und Phasenübergänge

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Presentation Transcript

  1. Komplexität und Phasenübergänge Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann

  2. Komplexität • Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem • wächst mit Länge der Eingabegrösse n, aber wie? Skalierbarkeit • Polynomialzeit: was rechentechnisch praktisch möglich ist • Einteilung in Komplexitätsklassen • wichtigste Frage der Komplexitätstheorie NP≠P

  3. Satz von Cook • SAT ist NP vollständig • alle Probleme aus NP lassen sich in polynominaler Zeit auf das SAT-Problem reduzieren Beweisidee • NP-Probleme sind auf einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynominaler Zeit lösbar • Turing-Maschine durch aussagenlogische Formeln beschreiben • ist genau dann erfüllt wenn die Maschine eine Lösung findet • Konstruktion geht in Polynominalzeit

  4. Beweismethode • DNF A = p v Q v S • Q : zu jedem Zeitpunkt kann es nur einen aktiven Zustand geben • S : jedes Feld kann nur ein Symbol aufnehmen • p : ist wahr wenn ein Feld zu einem bestimmten Zeitpunkt ein bestimmtes Symbol enthält • B,C,D : setzen p,Q und S durch • E : sorgt für richtige Startbedingungen • F,G,H : sorgen dafür das die Werte richtig aktualisiert werden

  5. NP = P ? • P Probleme sind mit deterministischen Turing Maschinen in p. Zeit lösbar, NP nichtdeterministisch in p. Zeit lösbar • P ≤ NP aber ist auch P ≥ NP? • wenn ein Problem aus NP in P, dann alle • NP-vollständige Probleme lassen sich vermutlich nicht effizient lösen

  6. Phasenübergänge Motivation: • Goldberg(1979); SAT ist im Durchschnitt in O(n²) lösbar • NP: worst case scenarios • Bestimmung von „average cases“ and „hard cases“ • Qualität des Generierungsverfahren der Formelmenge und deren Bezug zu realen Problemen • analytisch ist es nicht beweisbar, (n →∞)

  7. Generierungsverfahren • Formellänge K, Zeilen M, Variablen N, Zeilen / Variablen c • zufällig generierte Formeln in CNF • random K-SAT • random mixed-SAT • costant probability model (P) • random [k,l]-SAT • kritischen Wert für c (L/N) • Davis-Putnam procedure

  8. easy-hard-easy pattern and over- / underconstrained „the hardest area for satisfiability is near the point where 50% of the formulars are satisfiable“ [4] S.461

  9. SAT-Solver mit konstanter Formellänge

  10. 3-SAT mit unterschiedlicher Variablenanzahl

  11. Schlussfolgerung • scharfe Transition bei der Erfüllbarkeitsfrage • an diesem Übergang liegen die schwerstlösbaren Probleme • Schwierigkeiten bei gemischter Klausellänge • crossover-point • Übertragbarkeit der Ergebnisse auf andere SAT-Solver

  12. Quellen- und Abbildungsverzeichnis • [1] Stephen A. Cook; „The complexity of Theorem-Proving Procedures“; 1971 • [2] Ian P. Gent and Toby Walsh; „The SAT Phase Transition“;1994 • [3] David G. Mitchell and Hector J. Levesque; „Some Pitfalls for Experimenters with Random Sat“; 1995 • [4 ] David G. Mitchell, Bart Selman and Hector J. Levesque; „Hard and Easy Distributions of SAT Problems“; 1992 • Internetquellen: www.wikipedia.org; www.grundstudium.de; http://users.informatik.haw-hamburg.de/~voeller/th/thinf/node32.html Abbildungen: S.9 und S.10 [3] S S.4, S.6 S.8 [4] S.462

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