Algoritmo Branch-and-Bound

1. Algoritmo Branch-and-Bound Professora Adria Lyra

2. O algoritmo “branch-and-bound” (B&B) • É uma estratégia de divisão e conquista para problemas de natureza inteira mista • A idéia é dividir um problema P em um conjunto de subproblemas menores {SPk} de forma que a solução de P possa ser obtida através da solução dos subproblemas.

3. Algoritmo Branch-and-Bound • As divisões são feitas iterativamente, sempre observando que os subproblemas devem ser mais fáceis de serem resolvidos que o problema original. • Além disso, procuramos descartar subproblemas desde que estes não contenham a solução ótima.

4. Estratégia de divisão e conquista • Considere o problema: P : z = max {cT x : x ∈ S} • Como “quebrar” P em subproblemas menores e depois os “recombinar”de maneira a se obter uma solução para o problema original?

5. Estratégia de divisão e conquista • Proposição: • Seja S = S1 ∪ . . . ∪ SK uma decomposição de S em K conjuntos menores. • Seja também zk = max{cT x : x ∈ Sk} para k = 1, . . . ,K. • Então, z = max{zk : k = 1, . . . ,K}. • Uma estratégia de divisão e conquista, obedecendo as premissas da proposição acima, pode ser ilustrada com uma árvore de enumeração.

6. Estratégia de divisão e conquista • Para S ⊆ {0, 1}3, podemos construir a árvore de enumeração abaixo. S x1 = 0 x1= 1 S1 S0

7. Estratégia de divisão e conquista • Claramente S = S0 ∪ S1, onde • S0 = {x ∈ S : x1 = 0} e • S1 = {x ∈ S : x1 = 1}. • Podemos subdividir cada um dos subproblemas em subproblemas ainda menores, fazendo: • S0 = S00 ∪ S01 e • S1 = S10 ∪ S11, • onde Si1i2 = {x ∈ Si1 : x2 = i2}.

8. Estratégia de divisão e conquista S x1 = 0 x1= 1 S0 S1 x2 = 0 x2 = 1 x2 = 1 x2 = 0 S10 S00 S01 S11 Árvore de Enumeração

9. Estratégia de divisão e conquista S x1 = 0 x1= 1 S1 S0 x2 = 1 x2 = 1 x2 = 0 x2 = 0 S10 S11 S01 S00 x3 = 0 x3 = 1 S100 S101 S110 S111 S000 S001 S010 S011

10. Estratégia de divisão e conquista • Uma folha da árvore de enumeração completa Si1i2i3 é não-vazia se, e somente se, x = (i1, i2, i3) ∈ S. • Portanto, as folhas da árvore correspondem precisamente as soluções candidatas que seriam examinadas se fosse conduzida uma enumeração completa.

11. Enumeração Implícita • Enumeração completa é inviável para problemas práticos • Uma alternativa é utilizar os limites de {zk} de forma inteligente, tanto os limites superiores quanto os inferiores.

12. Enumeração Implícita • Algoritmo Branch-and-Bound • Proposição • Seja S = S1∪ . . . ∪ Sn uma decomposição de S em n subconjuntos. • Seja zk = Max{cTx : x ∈ Sk} para k = 1, . . . ,n. • Seja um limite superior para zk. • Seja um limite inferior para zk . • Então: • = Max{ : k = 1, . . . ,n} define um limite superior para z • = Max{ : k = 1, . . . ,n} define um limite inferior para z

13. O problema da Mochila 0, 1 ub = v + (W – w)(vi+1 / wi+1) A capacidade da Mochila é W = 10 Solução inicial: itens 1 e 3. Peso = 9, valor total = 65.

14. Branch-and-Bound Expansão da árvore em largura para todos os nós W=0, v=0 Ub = 100 Sem 1 Com 1 x W=4, v=40 Ub = 76 W=0, v=0 Ub = 60 Descartado, pois ub <65 Escolhe-se o nó mais promissor para expandir todos os seus filhos

15. Branch-and-Bound W=0, v=0 Ub = 119 Sem 1 Com 1 x W=4, v=40 Ub = 76 W=0, v=0 Ub = 60 Com 2 Sem 2 x W=11, W=4, v=40 Ub = 70 Escolhe-se o nó mais promissor para expandir todos os seus filhos Descartado, pois ub <65

16. Branch-and-Bound W=0, v=0 ub = 119 Sem 1 Com 1 x W=4, v=40 ub = 76 W=0, v=0 ub = 60 Com 2 Sem 2 x W=11, W=4, v=40 ub = 70 Sem 3 Com 3 x Descartado, pois ub <65 W=9, v=65 ub = 69 W=4, v=40 ub = 64 Escolhe-se o nó mais promissor para expandir todos os seus filhos

17. Branch-and-Bound W=0, v=0 ub = 119 Sem 1 Com 1 x W=4, v=10 ub = 76 W=0, v=0 ub = 60 Com 2 Sem 2 x W=11, W=4, v=10 ub = 70 Sem 3 Com 3 x W=9, v=65 ub = 69 W=4, v=10 ub = 64 Com 4 Sem 4 x W=12, W=9, v=65 ub = 65 Solução