Autómatas Celulares

1. Autómatas Celulares Mario Hernández

2. Autómata Celular (AC) • Introducidos por primera vez en 1940 por John Von Neumann por sugerencia de Stanislav Ulam con el objetivo de crear un modelo real del comportamiento de sistemas extensos y complejos • Se han “concebido” en numerosas ocasiones con diferentes nombres y con frecuencia, diferentes conceptos se han utilizado con el mismo nombre: • En Matemática se les conoce como una rama de la dinámica topológica • En Ingeniería eléctrica se les conoce con frecuencia como matrices iterativas • Para algunos estudiantes pueden ser simplemente un juego de ordenador.

3. Cada AC está determinado por: • Un número de celdas. • El radio (r) que abarca la vecindad de cada célula. • El número de estados en que puede encontrarse cada celda. • Una regla de transición local, igual para todas las celdas, cuya entrada es el estado conjunto de las celdas que forman la vecindad.

4. Concepto (intuitivamente) • Sistema dinámico discreto extremadamente simple • Ejemplo simplificado: • Sea una retícula espacial discreta y en cada celda tenemos un valor de estado ( por simplificar sólo puede ser 0 ó 1 ) en un ámbito el tiempo también discreto. • En cada instante de tiempo cada celda analiza el valor de las celdas de un entorno a su alrededor y el suyo propio y según cierta regla local cambia ó no su valor. • Un AC es por tanto un sistema dinámico discreto. • Por tanto, sus elementos definitorios son: • Celda • Retícula • Vecindad • Reglas de Actualización

5. Los AC pues son redes de autómatas simples dispuestos sobre los nodos de una retícula y conectados localmente. Cada autómata simple produce una salida a partir de varias entradas, modificando en el proceso su estado según una función de transición. Los AC son herramientas útiles para modelar cualquier sistema natural en el universo: • Buena alternativa a las ecuaciones diferenciales • Utilizados para modelar sistemas físicos: interacciones entre partículas, formación de galaxias, cinética de sistemas moleculares y crecimiento de cristales, así como diversos sistemas biológicos a nivel celular, multicelular y poblacional.

6. Las celdas Ocupadas por autómatas que actúan como elementos de memoria que almacenan el estado xi(t) = estado de la celda que ocupa la posición i en el instante t. N = el número total de celdas. El conjunto {k} de posibles estados de cada celda debe ser finito, xi(t) {k} En lo que sigue consideraremos AC binarios, es decir la celda sólo puede estar en el estado ``1'' (activo) o en el estado ``0'' (inactivo).

7. La retícula (lattice) Red de organización espacial de autómatas Tipos: • Unidimensional: las celdas se organizan en una línea, de manera que cada celda tendrá, como máximo dos vecinos directos • Bidimensional: cada celda tendrá tantos vecinos directos como corresponda a la topología de la discretización • Multidimensional

8. La vecindad (1D) vi(t)= {xi-1(t), xi(t), xi+1(t),...} Es el conjunto de celdas alrededor de la celda i y la misma celda. El número de vecinos lo representamos por Nv. En d=1 y tomando los vecinos como el de la izquierda y el de la derecha tendríamos la siguiente vecindad: L-C-R C:celda central, L: vecino de la izquierda, R: vecino de la derecha. En este ejemplo estamos considerando una vecindad de radio r=1. Si extendemos el radio a r=2, tendríamos una vecindad como ésta: LL-L-C-R-RR En d=1 el número de vecinos es: 2r+1 y el número de posibles vecindades es k2r+1. En un AC las N celdas se encuentra en una retícula de dimensión d. Cuando el retículo es de tamaño finito siempre consideraremos condiciones de contorno periódicas, es decir que la celda en la posición tiene como vecina a la celda de la posición y viceversa.

9. La vecindad (1D) Alternativo t t+1 Alternativo Se denomina radio r al número de celdas a cada lado de la actual que influyen en el cálculo de su valor futuro

10. La vecindad (2D) Diversos tipos en función de la naturaleza de la retícula y la elección de vecinos. P.e. para rectangular: t t+1 Alternativo Vecindad von Neumann Vecindad Margolus Vecindad Moore Vecindad Moore Extendida

11. La vecindad (2D) Retícula hexagonal: Vecindad Triunfante Dominio Dominio Codominio

12. La vecindad (2D) Q*Bert: Alternativo t t+1

13. La vecindad (2D) Estrella de David Dominio Codominio

14. La vecindad (2D) Triángulo-6 t t+2 t+1 Alternativo Y otros muchos más ...

15. La vecindad (3D) 3D-X Dominio Codominio Y otros muchos más ...

16. Tratamiento de Bordes ¿Qué ocurre con los bordes en las actualizaciones?. Hay tres soluciones posibles: • Los bordes opuestos de la retícula se pliegan y se unen, de manera que si el AC es d=1, se convierte en un círculo a efectos de tratamiento y si d=2 se convierte en un toro • Las celdas de borde son especulares, por lo que se darán propiedades de simetría • Las celdas fuera del borde de la retícula están desactivadas La primera es la más usual

17. Las reglas • Definen la mecánica de interacción y la evolución temporal del estado de cada celda • La regla local de evolución nos permite obtener el valor cuando conocemos el valor de las celdas en la vecindad en el instante anterior. • La idea fundamental es que LAS REGLAS DE INTERACCIÓN LOCAL PERMITEN ALCANZAR UNA DINÁMICA GLOBAL

18. t=0 vecindad 1 1 0 0 111 1 1 110 0 1 101 0 0 100 1 1 011 010 001 000 Las reglas para AC 1D bit de salida t=1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 Por ejemplo en el caso de un AC binario en d=1 (es decir, unidimensional) con r=1 la vecindad de una celda tiene que ser alguna de las configuraciones siguientes (primera fila) y la regla de generación de salida, la indicada en la segunda linea: Evolución de un reticulado. Regla 90 (expresión decimal de la regla de evolución) . Las condiciones de contorno son periódicas.

19. Si-1(t-1) Si(t-1) Si+1(t-1) • Como hay 256 reglas posibles 28, se pueden generar 256 tramas de celdas (universos) distintos • En la práctica algunas coinciden

20. De estos universos, aproximadamente el 25 % generan universos "interesantes", es decir, con una patrón. • Los demás, o tienen todas las celdas apagadas (código -1), todas encendidas (código +1) o no varían las filas al pasar las generaciones (código 2). • Otro tipo es el "fractal" (código 3), ya que resulta un patrón de triángulos, que se subdividen en otros triángulos, que se subdividen en otros triángulos... • Este tipo es francamente raro, ya que solo se puede originar si hay una célula encendida lo suficientemente lejos de las otras para no interferir.

21. Ejemplo Regla de código 90. Evolución en un diagrama espacio-tiempo de la misma regla partiendo de un estado inicial en el que sólo hay una celda en estado 1 y el resto 0. El estado de las celdas se pueden representar por una línea cambiante o dibujando una línea debajo de otra, quedando así un mosaico de células. Cada fila de células se conoce como una generación, y todo el entramado de células, universo.

22. Ejemplo Regla 54, r=1, inicio con una sola celda activa Regla 62, r=1, inicio con una situación aleatoria

23. Ejemplo Regla 30, r=1, inicio con una sola celda activa Regla 30, r=1, inicio con una situación aleatoria

24. Ejemplo • La regla 30 se ha usado para: • Generar números aleatorios • Criptografía • Lo único que es necesario escoger en ambos casos es la semilla inicial que hay que poner a evolucionar. Aleatoriedad: La Regla 30 ha sido estudiada para poner de manifiesto como surgen procesos aleatorios a partir de reglas deterministas simples. Si por ejemplo nos fijamos en la celda central y vamos tomando la sucesión de valores tendremos un conjunto de 0 y 1 que supera todos los test de aleatoriedad. Criptografía: con la R30 se toma un mensaje     , el mensaje cifrado                     y la descodificación se hace                    .

25. Ejemplo Regla 182, r=1, inicio con una sola celda activa y aleatorio respectivamente (1 blanco, 0 negro)

26. Ejemplo Clase 1: r=2, k=2, regla=100100 Clase 2: r=2, k=2, regla=111010 Clase 1: r=2, k=2, regla=111100 Clase 3: r=2, k=2, regla=010010 Clase 2: r=2, k=2, regla=111000

27. Ejemplo Universo de la regla 105

28. Tipos de reglas • Legales: (Wolfram) son aquellas en que la vecindad nula da siempre un valor nulo y además son simétricas. Dicho de otra manera, del estado total cero no puede emerger ningún desarrollo. • Totalísticas: aquellas en que la regla de evolución sólo depende de la suma de los estados de los vecinos. La codificación de estas reglas se hace de manera más sencilla. Pe. si la suma de las celdas adyacentes es 4, el nuevo estado de la celda actual es 1, en otro caso es 0. • Elementales: son las reglas legales con r=1 en d=1. Las condiciones de simetría que impone el concepto de legal hace que la vecindad 110 debe dar lo mismo que la 011 y que la 100 debe dar lo mismo que la 001. Hay sólo 32 reglas elementales.

29. Propiedades Globales • Organización: partiendo de un estado inicial en el que se encuentren todas las configuraciones posibles, el AC evoluciona reduciendo el número de configuraciones finales. Hay una disminución del “desorden” y por tanto una disminución de “entropía”. • Irreversibilidad Local: En un AC diferentes situaciones iniciales pueden dar lugar a la misma situación final. Es decir que “padres distintos” dan lugar al mismo “hijo”. De esta manera conociendo sólo al hijo es imposible saber quien es el padre, no es posible ( en general ) volver hacia atrás en el tiempo y reconstruir la historia completa. • Jardines del Edén: Situaciones que sólo se dan como configuración inicial.

30. Tipos de AC. Universalidad de los AC E. Inicial Aleatorio Regla Según S. Wolfram el comportamiento espacio-tiempo de los ACs se puede clasificar en 4 grupos: • Clase I: (punto límite) Estado final homogéneo y configuración que se estabiliza en el tiempo. • Clase II: (ciclo límite) Estado final formado por un conjunto de estructuras periódicas. Se pueden entender como un tipo de filtro, l oque los hace interesante para, pe, proceso de imágenes. • Clase III: (atractor extraño) Estado final aperiódico caótico. Los patrones creados por este tipo son una especie de curvas fractales autosimilares: • Clase IV: Comportamiento más complejo) Aparecen estructuras localizadas y complejas que perduran a lo largo del tiempo (Juego de la Vida). Son capaces de computación universal (Máquina de Turing)

31. AC 2D

33. Ejemplos

34. Juego de la Vida

35. El Juego de la Vida de Conway (Life Game) Es uno de los ejemplos más simples de lo que se ha denominado “complejidad emergente”, o “sistemas autoorganizados”: • El estudio de cómo pueden emerger patrones y comportamientos elaborados a partir de reglas muy simples, permitiendo estudiar y simular cómo pueden aparecer. • Idea concebidas a finales de los años sesenta por John Horton Conway y descritas en Scientific American en Octubre de 1970 como un universo y unas simples reglas que fuesen capaces de computación.

36. El Juego de la Vida de Conway (Life Game) Es un autómata celular bidimensional en cuadrícula con dos estados por celda. Cada celda o célula puede estar viva o muerta y en cada generación se aplica un algoritmo que sigue estas tres reglas: • Superviviencia: Cada célula viva con dos o tres células vecinas vivas sobrevive a la siguiente generación. • Nacimiento: Cada célula muerta con tres células vecinas vivas resucita en la siguiente generación. • Muerte: Cada célula viva con ninguna, una, o más de tres células vivas a su alrededor pasa a estar muerta.

37. Las reglas del Juego de la Vida esta´n especialmente concebidas para generar los comportamientos • El Juego de la Vida balancea las tendencias de nacimiento, crecimiento y muerte haciéndose difícil predecir si un cierto patrón morirá completamente, formará una población estable o crecerá indefinidamente. • En el Juego de la Vida, como en la naturaleza, se observan muchos fenómenos fascinantes. La naturaleza, sin embargo, es complicada y no estamos seguros de todas las reglas. • El Juego de la Vida The Game ofLife nos permite observar un sistema donde conocemos todas las reglas. De forma análoga a como el estudio de animales simples permite descubrir cosas sobre animales más complejos, la gente puede estudiar el Juego de la Vida para aprender , sobre los patrones y comportamientos de sistemas más complejos.

38. El juego presenta configuraciones finales estables, periódicas o no y presenta (según Langton) propiedades: • Catálisis (acciones de construcción arbitrarias), • De transporte (borrando estructuras y reconstruyéndolas en otro lugar del espacio celular), • Estructurales (como elementos estáticos, barreras, etc.), • De regulación, • De defensa • E incluso informativas, • Y que por tanto estos autómatas virtuales tienen capacidades computacionales suficientes para cumplir los papeles funcionales que juegan las macromoléculas en la lógica molecular de la vida. • En definitiva, que funcionalmente, los autómatas son equiparables a los componentes básicos de la vida en nuestro planeta.

39. These simple rules can produce various behavioural states, ranging from stable to chaotic, depending on the initial pattern of cells. The number of living cells may be ever increasing, oscillating between a finite number of values, static, or always decaying. A stable system may involve cells which always remain alive in future generations, or may contain groups of cells which oscillate between two shapes periodically, known as ‘blinkers’, which will continue indefinitely unless distant cells approach and interfere. Chaotic and unstable states quickly die out, just as they do in nature. Complex states can also occur, and these states are not periodic and do not die out. There are several interesting shapes that seemingly produce new shapes, or appear to be alive. An example of one of these complex states is called a “glider”, a period-4 oscillating pattern that moves diagonally across the grid. There are many Life enthusiasts who experiment with Life simply to discover new and interesting shapes, or interactions between shapes. • Conway's prediction that the system was capable of computation has been confirmed. By using "gliders" to represent bit streams, researchers at MIT have been able to build AND- and OR-gates and even a whole adding unit, which adds the digital values two streams of gliders represent and sends out the result of the addition as a new stream. • A Turing Machine has also been implemented in Life, which is extendable to a Universal Turing Machine, capable of computing any computable function. The pattern is shown in Appendix B, and requires 11,000 generations just to advance one cycle of computation.

40. Propagación de Incendios Forestales

41. Células

42. La Sopa Primordial

43. Autorreproducción

44. L-Systems

45. Aplicaciones en Proceso de Imágenes

46. Redes de Autómatas Celulares

47. "Células" de Peter Donnelly Es en esencia una curiosidad científica propuesta por primera vez por Peter Donnelly del University College de Swansea, Gales, y Dominic Welsh, de la universidad de Oxford. El programa fue descrito en detalle por A. K. Dewdney en su artículo "Cinco piezas sencillas" para Scientific American. En este artículo se bautiza al programa con el nombre de “Votación", ya que según el autor pretende simular una votación política algo particular.

48. "Las casillas de una cuadricula rectangular están coloreadas de blanco o negro, aleatoriamente. Se supone que cada color refleja la opinión política de una persona residente en esa casilla. Un color podría representar 'demócrata' y el otro 'republicano'. [...] • A cada señal de reloj, se selecciona al azar uno de los votantes y su opinión política se somete a cambio: se selecciona al azar uno de sus ocho vecinos y la convicción política del elector se transforma en la de este vecino, independientemente de cuál fuera su opinión anterior. [...]

49. Al hacer funcionar este modelo, confesadamente simplista, del proceso político, ocurren cosas llamativas y extrañas. Primero se desarrollan grandes bloques de voto homogéneo. Estos bloques son zonas geográficas donde todo el mundo es de la misma opinión política. Seguidamente tales bloques van migrando en torno al cuadriculado y, durante cierto tiempo luchan, como buscando su predominancia. Finalmente, el sistema bipartidista se viene abajo, por acabar todo el mundo votando de igual manera".

50. Además de esta interpretación, hay otra más aproximada, y mucho más sugerente para los interesados en la vida artificial y temas afines. • Podemos llegar a apreciar comportamientos "cuasi-biológicos" si observamos la evolución de los votantes como un ejemplo de la coexistencia-competitividad de dos especies similares en un mismo medio con abundancia de alimento, como podría ser el caso de dos especies de bacterias en un fluido rico en nutrientes.