Topología digital de imágenes cerebrales

1. Topología digital de imágenes cerebrales Rafael Rodríguez León Pedro Javier Gómez Gálvez Manuel García Pazos Correo: rafpedman@hotmail.com

2. ÍNDICE 1. Introducción 2. Teoría de la topología digital 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales 2.3 Objetos simples digitales topológicos 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro 4. Aproximación a la segmentación de todo el cerebro 4.1 Restricciones de topología para la inicialización 4.2 Segmentación del camino mínimo 4.3 . Efectos de la topología en el ruido 4.4 Contabilización de Patologías en la segmentación de topología-Preservación 4.5 Parcelación del Tálamo 4.6 Homeomorfismos digitales en registro deformable 5, Conclusiones 6. Autores

3. 1. Introducción Nos centramos en los distintos métodos para la reconstrucción de forma automática de la corteza de imágenes de RM de forma que preserve la topología, basándonos en la corrección y la preservación topológica. Casi todas las estructuras anatómicas del cerebro sano y el cuerpo humano se pueden suponer que tienen una topología fija. A raíz de las ventajas de la resonancia magnética (RM) en tecnologías de imagen de alta resolución el desarrollo de algoritmos para segmentar y reconstruir el cerebro humano ha sido un área importante de interés tanto para el procesamiento de imágenes médicas y la comunidad de la neurocientífica. En particular, la reconstrucción del cortex cerebral mediante imágenes MR permite a los investigadores neurocientíficos entender mejor la estructura y la función del cerebro sano y enfermo. En esta presentación hablaremos mas ampliamente principios de segmentación y registro de imágenes que implican múltiples estructuras u objetos, mientras preserva su topología de grupo. Mediante el empleo de los conceptos fundamentales del campo de la topología digital, los cambios topológicos se pueden evaluar de manera eficiente utilizando solo cálculos locales.

4. 2. Teoría de la topología digital 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales 2.3 Objetos simples digitales topológicos

5. ¿Qué es la topología digital? 2. Teoría de la topología digital • Dominio de las matemáticas fundado por Euler en 1736

6. ¿Qué es la topología digital? 2. Teoría de la topología digital • Vertices v • Característica X de Euler • Número de superficies simples c (límites de los objetos) • Parametrización de malla de las superficies • X = 2c – 2g = V – E + F • Aristas E • Caras F • Número de bucles o asas, denominado género g de una superficie.

7. ¿Qué es la topología digital? 2. Teoría de la topología digital Imagen tridimensional binaria c = 1, g = 1, y X = 0. malla de superficie

8. ¿Qué es la topología digital? 2. Teoría de la topología digital Determina si la topología de un objeto ha cambiado Determina la topología del objeto Una sola parte del objeto Una transformación geométrica aplicada a un objeto preservara la topología del objeto, si y solo si la transformación es un homeomorfismo

9. 2. Teoría de la topología digital 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales 2.3 Objetos simples digitales topológicos

10. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital discretizados computacionalmente Los objetos en las imágenes médicas. Malla de superficie triangular Representación más común

11. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital Una representación alternativa que ha ido ganando más aceptación son funciones establecidas capaces de manejar fácilmente geometrías simples y complejas, y la existencia de métodos eficaces para resolver ecuaciones de diferencia parcial en ellos. ΩD sea una rejilla cúbica que muestrea Ω a lo largo de las direcciones x, y, z en un intervalo regular. Los puntos de muestreo están unidos por aristas a lo largo de las coordenadas x, y, z, para formar la red cubica. Teniendo en cuenta la superficie cerrada delimitada Bk para un objeto Ok, una distancia funcional asignada puede ser construida sobre cada punto de ΩD para construir una representación en un nivel establecido de muestreo, y una malla de superficie se puede recuperar por la técnica de los cubos de marcha. Sin pérdida de la generalidad, suponemos que la segmentación tiene estas dos propiedades para que los objetos continuos Ok sean equivalentes a los objetos digitales obtenidos mediante el muestreo de ellos en ΩD.

12. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

13. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

14. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

15. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital Reconstrucción de cubos “en marcha” Métodos de interpolación Interpolación del vecino más cercano

16. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

17. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

18. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital En cualquier caso, para los asuntos de la topología, la representación de nivel puede ser remplazado por una imagen etiquetada, en la que se asocia la etiqueta k para cada punto dentro de ella. Para simplificar, se considera la representación vóxel. Los puntos de la rejilla se consideran conectados a sus vecinos por las siguientes reglas habituales de conectividad: 6 puntos conectados deben compartir una cara del vóxel, 18 puntos conectados pueden compartir solo una arista del vóxel, y para 26 puntos conectados solo se necesita compartir un vértice de vóxel, además de lo anterior.

19. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

20. 2. Teoría de la topología digital 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales 2.3 Objetos simples digitales topológicos

21. 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales • 2. Teoría de la topología digital ¿Qué es un difeomorfismo? ¿Qué es el Jacobiano? Es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable. Se trata de una aplicación que posee aplicación inversa, siendo ambas aplicaciones diferenciables Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. representa la derivada de una función multivariable.

22. 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales • 2. Teoría de la topología digital Los difeomorfismos continuos no son suficientes para evitar cambios en la topología de objetos representados en la red digital Cte positiva o negativa .

23. 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales • 2. Teoría de la topología digital La aplicación de una rotación o escala a un objeto hace que la recuperación de la superficie continua se traduzca en cambios topológicos

24. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital Cambia el lugar donde el píxel no esté al menos, relleno al 50% Con una escala de s<1, todos los detalles más pequeños que 1/s pueden desaparecer haciendo la transformada del objeto.

25. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital

26. 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos • 2. Teoría de la topología digital Teorema 1: una transformación afín T(X)=AX+B aplicado a un objeto O definido en una rejilla digital ΩD es garantizado para preserva r la topología de O, si y solo si la distancia entre los dos puntos fuera de O sobre la rejilla de tal forma que la línea entre ellos que se cruza con O es estrictamente mayor que √ 3 / λ en 3D o √ 2 / λ en 2D, donde λ es el valor propio más pequeño de A.

27. 2. Teoría de la topología digital 2.1 Equivalencia entre objetos continuos y discretos 2.2 Difeomorfismos continuos en rejillas digitales 2.3 Objetos simples digitales topológicos

28. 2.3 Objetos simples digitales topológicos • 2. Teoría de la topología digital AzrielRosenfeld

29. 2.3 Objetos simples digitales topológicos • 2. Teoría de la topología digital voxel que puede ser etiquetado libremente dentro o fuera de un objeto sin cambiar la topología del objeto Punto simple

30. 2.3 Objetos simples digitales topológicos • 2. Teoría de la topología digital El vecindario geodésico Nnk (x,X) de un punto X en una región X es el conjunto de voxels con la misma etiqueta binaria para la que hay un camino N-conexo en X con longitud no mayor que K entre el vecino y x Los supuestos de conectividad pueden ser 4/8 o 8/4 en 2D y 6/18, 6/26, 18/6 o 26/6 en 3D.

31. 2.3 Objetos simples digitales topológicos • 2. Teoría de la topología digital Número de componentes conexas dentro de los barrios geodésicos definidos por la elección de una conectividad determinada Los números topológicos de x con respecto al conjunto X simple 2D

32. 2.3 Objetos simples digitales topológicos • 2. Teoría de la topología digital Cn(X) denota la cardinalidad del conjunto de componentes n-conexas en X 3D

33. 2.3 Objetos simples digitales topológicos • 2. Teoría de la topología digital Un punto x es simple si y solo si Tn(x,X)=1 y Tn’(x,X’)=1, donde (n,n’) son un par de conectividades compatibles

34. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

35. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

36. 3.1 Morfología de región de crecimiento • 3. Herramientas fundamentales Primer enfoque de la segmentación de la imagen en el cerebro Topología esférica con una sola cavidad .

37. 3.1 Morfología de región de crecimiento • 3. Herramientas fundamentales Preservación de la topología en dilatación. Dada objeto O definido en el espacio muestral D para ser dilatado por “n” vóxeles. Algoritmo 1 1. Encontrar todos los puntos de la frontera exterior B de O: B = {x/ Є O|N(x) U O ≠ 0}. 2. Para todo ‘x’ Є B, si ‘x’ es un punto simple con respecto a O, se añade ‘x’ a O. 3. Se repite este proceso 1 o 2 veces.

38. 3.1 Morfología de región de crecimiento • 3. Herramientas fundamentales

39. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

40. 3.2 Ajuste del nivel de evolución • 3. Herramientas fundamentales Ajuste de preservación de la topología de un nivel de banda estrecha. Dado un objeto O definido en Ω por una función de distancia con signo φ tal que para todo ‘x’ Є O, φ(x)<0 y un ajuste del nivel de evolución ∂φ/∂t = F Algoritmo 2 1. Construir la banda estrecha B alrededor de la vecindad de φ, 2. Para todo ‘x’ Є B, estimar φ(x, t+1) = φ(x, t) + F(x, φ(x, t)), 3. Si φ(x, t) y φ(x, t+1) tiene el mismo signo, actualizar φ, 4. Si φ cambia de signo y ‘x’ es un punto simple con relación a O| ΩD , actualiza φ, 5. De otra manera, ajustar φ(x, t+1) = ±Ɛ tal que φ(x, t) y φ(x, t+1) tienen el mismo signo, 6. Repetir los pasos 1-5 hasta que el algoritmo de banda estrecha converja.

41. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

42. 3.3 Segmentación del camino mínimo • 3. Herramientas fundamentales Preservación de la topología en camino mínimo. Dado un objeto inicial O definido en ΩD y una función de energía E= ∫f(x)dx para ser maximizada sobre ΩD, Algoritmo 3 1. Clasifica en un árbol de ordenamiento binario los puntos ‘x’ en el interior del lÍmite B de O, por su energía local f(x). 2. Elimina el punto ‘x-’ ∈ B- con el valor más bajo f(x-) del árbol de ordenamiento 3. Si ‘x-’ es un punto simple, lo elimina de O, actualiza B-e inserta estos vecinos en B-∩ N(x-) en el árbol de ordenamiento, 4. Repite los pasos 2-3 hasta que se alcanza un criterio de adelgazamiento o el objeto se reduce a un esqueleto de puntos no simples, 5. Clasifica en un árbol de ordenamiento binario los puntos ‘x’ fuera de los límites de B+ de O por su energía local f(x), 6. Elimina el punto ‘x+’ ∈ B+ con los valores más altos f(x+) del árbol de ordenamiento, 7. Si ‘x+’ es un punto simple, añádelo a O ∩ actualiza B+, e inserta los vecinos en B+∩ N(x+) en el árbol de ordenamiento, 8. Repite los pasos 6 y 7 hasta que un criterio de crecimiento sea alcanzado.

43. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

44. 3.4 Aproximación de Marcha Rápida • 3. Herramientas fundamentales Preservación de la topología de macha rápida. Dado un objeto inicial O definido en ΩD y una función imagen f(x) Algoritmo 4 1. Construir la función g(x) = gO en el objeto inicial O, donde gO es un valor arbitrario ≥ max(f), 2. Clasifica en un árbol de clasificación binaria los puntos ‘x’ fuera de los límites de B de O por sus valores f(x), 3. Elimina el punto x+ ∈ B con los valores más altos f(x+) del árbol clasificatorio, 4. Si x+ es un punto simple, modifica g(x+) = f(x+), lo añade a O, actualiza B, y inserta los vecinos en B ∩ N(x+) en el árbol clasificatorio, 5. Si x+ es un punto no simple, cambia este valor a g(x)= miny∈O∩NC(x+)g(y), 6. Repite los pasos 3-5 hasta que el árbol binario este vacío

45. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

46. 3.5 Aproximación del campo de deformación • 3. Herramientas fundamentales Preservación de la topología de la aproximación del campo de deformación. Dado un campo del vector de transformación tal que T(x) = x + u, y un objeto segmentado O, nosotros calculamos una aproximación u0i del campo vector de cada punto xi ∈ ΩD como sigue: Algoritmo 5 1. Empieza desde u0i =0, 2. Encuentra la vecindad 6-conexa más cercana xj a lo largo de la dirección ui - u0i, 3. Si xi y xj están dentro o fuera de O, mover desde xi a xj y actualizar la transformación u0i = u0i + (xj - xi), y la diferencia residual ui - u0i, 4. Si uno de xi o xj están dentro de O y el otro fuera y xj es un punto simple, actualizar la transformación anterior y mover el límite de O en consecuencia. De lo contrario u0i no se actualiza. El algoritmo termina cuando ningún punto más puede ser movido en un barrido completo del dominio o cuando la norma de la transformación máxima residual pasa por debajo de un vóxel.

47. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

48. 3.6 Estrategias de evolución • 3. Herramientas fundamentales En todos estos algoritmos, la preservación de la topología encontramos una restricción muy dura ., Existe la posibilidad en topología de que esté libre de restricciones, siempre y cuando la evolución de la frontera no genere puntos no simples.

49. 3. Herramientas fundamentales 3.1 Morfología de región de crecimiento 3.2 Ajuste del nivel de evolución 3.3 Segmentación del camino mínimo 3.4 Aproximación de Marcha Rápida 3.5 Aproximación del campo de deformación 3.6 Estrategias de evolución 3.7 Segmentación multi-objeto 3.8 Construyendo un atlas de topología para el cerebro

50. 3.7 Segmentación multi-objeto • 3. Herramientas fundamentales < La topología del objeto múltiple debe ser sustituida por el objeto simple de punto simple < Debemos tener en cuenta La evolución de varios objetos debe unir a ambos para que sólo se intercambien las etiquetas sin crear vacíos de superposiciones